第二章

第二章 函数

第10讲 函数的图象

作图【例1】作出下列函数的图象．　 (1)y＝|x－2|(x＋1)； (2)y＝|log2x－1|； (3)y＝2|x－1|.

点评作函数的图象，首先要对函数表达式进行化简，再根据自变量的范围描画函数的图象；也可以应用函数图象的变换规律描述函数的图象．要熟练掌握基本初等函数的图象．

【变式练习1】 作出下列函数的图象． (1)y＝|lgx|和y＝lg|x|； (2)y＝a|logax|(a>0，且a≠1)．【解析】(1)第一个函数的图象只需将y＝lgx在x轴下方部分的图象沿x轴翻折上去，并去掉x轴下方的图象，如下图(1)；第二个函数的图象只需将y＝lgx的图象沿y轴翻折过去，同时保留y轴右边的图象，如下图(2)．

函数图象的变换过程

(3)分如下三个步骤求解： 第一步，将函数y＝f(x－1)的图象沿x轴的负方向(或向左)平移一个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象；第二步，将函数y＝f(x)的图象以y轴为对称轴翻折180°，得到函数y＝f(－x)的图象；第三步，将函数y＝f(－x)的图象沿x轴的正方向平移2个单位长度，得到y＝f[－(x－2)]＝f(－x＋2)的图象．

点评图象变换有三种：平移变换、对称变换、伸缩变换，要掌握三种变换的基本规律．本题(1)小题是伸缩变换(联系三角函数中的周期变换和振幅变换)；(2)小题是对称变换，也可以理解为翻折变换，对称变换有轴对称变换和中心对称变换；(3)小题是平移变换，对自变量作平移必须注意，如将－x向右平移1个单位长度，即－(x－1)，而不是－x－1.

(2)分两步完成： 第一步：将函数y＝f(2x－1)的图象沿y轴翻折180°，得到函数y＝f(－2x－1)的图象；第二步：将函数y＝f(－1－2x)的图象沿x轴的正方向平移2个单位长度，得到函数y＝f(3－2x)的图象．

识图【例3】已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，如右图是函数f(x)的图象．令g(x)＝af(x)＋b，证明：当a＝－1，－2<b<0时，方程g(x)＝0有大于2的根．

【解析】将f(x)的图象以x轴为对称轴翻折得到－f(x)的图象，【解析】将f(x)的图象以x轴为对称轴翻折得到－f(x)的图象，又－2<b<0，所以g(x)的图象由－f(x)的图象向下平移|b|个单位长度得到，所以g(x)在(2，＋∞)上是增函数，且g(2)＝b<0，于是方程g(x)＝0有大于2的根．

点评识图就是充分应用所给图象反映出来的信息解决问题，如图象上可以反映出函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．

【变式练习3】 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如右图，求实数b的取值范围．

【解析】由图象知，方程f(x)＝0的三个根是0,1,2，【解析】由图象知，方程f(x)＝0的三个根是0,1,2，设f(x)＝ax(x－1)(x－2)，又由图象知x>2时，f(x)>0，所以a>0，又因为f(x)＝ax3－3ax2＋2ax＝ax3＋bx2＋cx＋d，所以b＝－3a<0，即实数b的取值范围是(－∞，0)．

用图

点评将不等式(含参数)转化为函数的关系，借助于函数图象来研究，是数学思想灵活运用的体现．本题直接解不等式是困难的．本题也可以作另外的解释，即

【变式练习4】 已知关于x的方程x2－4|x|＋5＝m有四个不相等的实根，求实数m的取值范围．【解析】设y1＝x2－4|x|＋5，y2＝m，作函数y1＝x2－4|x|＋5，y2＝m的图象如右图，由图可知要使方程x2－4|x|＋5＝m有四个不相等实根，只需两图象有四个不同的交点，即1<m<5.

2.函数f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，α、β(α<β)是方程f(x)＝0的两个实数根，则α、β、a、b的大小关系是 __________________ α<a<b<β

3 【解析】分别画出两函数的图象(如图)，易知它们有3个交点．

函数图象是函数的一种表达方式，它直观地显示了函数的性质．正确画出函数图象，熟练识别函数图象，熟练应用函数图象，必须熟悉基本初等函数的图象，掌握它们所具有的性质．函数图象是函数的一种表达方式，它直观地显示了函数的性质．正确画出函数图象，熟练识别函数图象，熟练应用函数图象，必须熟悉基本初等函数的图象，掌握它们所具有的性质． 1．熟悉函数图象的变换(掌握三种函数图象变换)

(1)平移变换 ①水平平移：把函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向左(a>0)平移a个单位长度，就得到函数y＝f(x＋a)的图象；把函数y＝f(x)的图象沿x轴方向向右(a>0)平移a个单位长度，就得到函数y＝f(x－a)的图象； ②上下平移：把函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向上(a>0)平移a个单位长度，就得到函数y＝f(x)＋a的图象；把函数y＝f(x)的图象沿y轴方向向下(a>0)平移a个单位长度，就得到函数y＝f(x)－a的图象．

(2)对称变换 ①轴对称：设函数y＝f(x)的图象的对称轴是直线x＝a，则f(a－x)＝f(a＋x)或f(2a－x)＝f(x)；当a＝0时，函数f(x)是偶函数；　　 ②中心对称：设函数y＝f(x)的图象的对称中心为(a,0)，则f(a－x)＝－f(a＋x)或f(2a－x)＝－f(x)；当a＝0时，函数f(x)是奇函数；设对称中心是(a，b)，则f(a－x)＝2b－f(a＋x)或f(x)＝2b－f(2a－x)．

图象的对称变换中，要注意两个函数图象的对称性问题：如函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于原点对称；函数y＝f(x)与函数y＝f－1(x)的图象关于直线y＝x对称等．

图象对称变换中的翻折问题：如把函数y＝f(x)在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，在x轴上方的保持不变，就得到函数y＝|f(x)|的图象；把函数y＝f(x)在y轴右边的图象沿y轴翻折到y轴左边，保留y轴右边的图象，就得到函数y＝f(|x|)的图象．

2．应用图象可以直观地解决很多问题，如解决与方程的解的个数有关的问题、解不等式等，应用图象解决问题的前提是正确地画出图象，而画图的步骤：求定义域；化简解析式；确定基本函数及图象变换的顺序；作出图象．

1．(2011·无锡一中期中卷)将函数y＝log2(2x＋1)的图象向右平移1个单位长度可以得到函数的解析式是____________．1．(2011·无锡一中期中卷)将函数y＝log2(2x＋1)的图象向右平移1个单位长度可以得到函数的解析式是____________．答案：y＝log2(2x－1) 选题感悟：函数图象是最为直观形象表达函数关系的工具，而图象的变换是作函数图象的重要手段，也是历年高考考查的重点．

选题感悟：这是一道识图题，从图中看出图象经过的点，通过解方程组求解．选题感悟：这是一道识图题，从图中看出图象经过的点，通过解方程组求解．

3．(2011·徐州市考前适应卷)已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是____________．3．(2011·徐州市考前适应卷)已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个根，则k的取值范围是____________．

选题感悟：这是一道已知方程根的个数，求字母的取值范围的问题，这类问题一般是将方程的根转化为两个函数图象的交点个数，常用数形结合的方法求解．选题感悟：这是一道已知方程根的个数，求字母的取值范围的问题，这类问题一般是将方程的根转化为两个函数图象的交点个数，常用数形结合的方法求解．

第二章

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