第九章 点的合成运动

1. 第九章 点的合成运动

2. 运 动 学 本章重点、难点 ⒈重点 点的运动的合成与分解，点的速度合成定理及 加速度合成定理及其应用。 ⒉难点 牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念， 以及动点、动坐标系的选择。

3. 运 动 学 §9-1　点的合成运动的概念 一．坐标系 — 静系 动系 1.静坐标系：把固连于地面上的坐标系称为静坐标系,简称静系。 2.动坐标系：把固连于相对于地面有运动的物体上的坐标系称为动坐标系，简称动系。例如固连在行驶列车车厢的坐标系。

4. 点的运动 运 动 学 二．动点：作为研究对象的运动着的点。 三．三种运动 ⒈ 绝对运动：动点相对静系的运动。 ⒉ 相对运动：动点相对动系的运动。

5. 刚体的运动 绝对运动中,动点相对于静系的速度与加速度称为绝对速度　 与绝对加速度 。 相对运动中,动点相对于动系的速度和加速度称为相对速度　 与相对加速度 。 在某一瞬时，动坐标系中与动点 M 相重合的点 M′点相 对于静坐标系的速度和加速度称为动点 M 的 牵连速度　 与牵连加速度 。 运 动 学 ⒊ 牵连运动：动系相对于静系的运动。　 四．三种速度与三种加速度 ⒈ 绝对速度与绝对加速度 ⒉ 相对速度与相对加速度 ⒊ 牵连速度与牵连加速度

6. 运 动 学 牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点 M 相重合的 M′点，称为牵连点。因此，牵连运动中,牵连点相对于静坐标系的速度和加速度称为动点 M 的牵连速度与牵连加速度。 五．点的合成运动 合 成 动点 M 因动系的牵 连运动而有的运动 动点 M 相对动 系的相对运动 动点 M 的 绝对运动 分 解 六．动点与动系的选取原则 ⒈ 动点与动系不能选在同一物体上，否则无相对运动。 ⒉ 动点相对于动系的相对运动轨迹要一目了然，即是一条 简单、明了的已知轨迹曲线 —-圆弧或直线。 下面举例说明以上各概念：

7. 动点： 动系： 静系： AB杆上A点 固连于凸轮上 固连在地面上 绝对运动： 运 动 学 动点A 静系 绝对轨迹：铅直直线

8. 相对运动： 牵连运动： 运 动 学 动点A 动系（凸轮） 相对轨迹： 曲线（圆弧） 静系 动系（凸轮） 直线平动

9. 绝对速度 ： 牵连速度 ： 相对速度 ： 运 动 学

10. 绝对加速度： 相对加速度： 牵连加速度： 运 动 学

11. 运 动 学 动点：M（在圆盘上) 动系： 静系： 固连机架 固连圆 绝对运动： 动点 静系 相对运动： 动点 动系 （摆杆) 相对轨迹为圆 牵连运动： 动系 （圆盘) 静系 定轴转动

12. 运 动 学 若动点A在 偏心轮上时，动 系固连AB杆，绝 对运动轨迹为以 OA为半径的圆， 而相对运动轨迹 为未知曲线。 动点：A(在AB杆上) 静系：固连地面 动系：固连偏心轮 绝对运动： 动点A 绝对轨迹：铅直直线 静系 相对运动： 动点A （偏心轮） 动系 相对轨迹： 曲线（圆弧） 牵连运动：　 定轴转动 动系 （偏心轮) 静系

13. 当tt+△tABA'B' MM' 也可看成M  M１  M′ MM′—　绝对轨迹 MM′ —　绝对位移　　 M1M′ — 相对轨迹 M1M′—　相对位移 运 动 学 §9－２点的速度合成定理 点的速度合成定理建立了动点的绝对速度，相对速度和 牵连速度之间的关系。 一．定理的导出 ⒈两种轨迹和两种位移

14. ＝ ＋ 将上式两边同除以 后， 取 时的极限，得 运 动 学 ⒉ 三种速度 va— 动点的绝对速度； vr— 动点的相对速度； ve— 动点的牵连速度， 是动系上一点(牵连点) 的速度。

15. ⑴ 是矢量式，符合矢量合成法则； ⑵ 是瞬时关系式，两边可以求导； ⑶ 共包括大小﹑ 方向 六个要素，已知任意四个要素，能求出另外两个要素。 运 动 学 二．点的速度合成定理 ⒈ 定理 上式表明：在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。 ⒉ 讨论

16. 解： ⒈ 选取动点、动系、静系： ⑴ 绝对运动： 运 动 学 二．应用举例 [例1]桥式吊车 已知：小车水平运行，速度为v1，物块A相对小车垂直上升的速度为v2。求物块A的运行速度。 动点: 物块A， 静系: 固连地面。 动系: 固连小车， ⒉ 三种运动分析： 绝对轨迹： 未知曲线 动点A 静系

17. ⑵ 相对运动: ⑶ 牵连运动: 大小： 方向： 两未知 量可解 运 动 学 动点A 动系（小车） 相对轨迹：铅直直线 静系 动系（小车） 直线平动 ⒊ 三种速度分析: ⒋ 作速度矢量关系图求解： 由速度合成定理： 作出速度平行四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为：

18. 解： ⒈ 选取动点、动系、静系： ⑴ 绝对运动： ⑵ 相对运动: ⑶ 牵连运动: 运 动 学 [例2]曲柄摆杆机构 已知：OA= r , , OO1=l　图示瞬时OAOO1求：摆杆O1B角速度1 动点: OA杆上A点, 动系:摆杆O1B， 静系: 固连地面。 ⒉ 三种运动分析： 绝对轨迹： 动点A 静系 动点A （摆杆O1B） 动系 相对轨迹： 斜直线 定轴转动 静系 动系（摆杆O1B）

19. 大小： 方向： 两未知 量可解 （ ） 运 动 学 ⒊ 三种速度分析: 由速度合成定理： ⒋ 作速度矢量关系图求解： 由速度合成定理 作出速度平行四边形如图示。

20. [例3]圆盘凸轮机构 已知：OC＝e ,, （匀角速度） 图示瞬时, OCCA且O,A,B三点共线。 求：从动杆AB 的速度。　 解： ⒈ 选取动点、动系、静系： ⑴ 绝对运动： ⑵ 相对运动: ⑶ 牵连运动: 运 动 学 动点: AB 杆上A点, 动系: 固连凸轮 ， 静系: 固连地面。 ⒉ 三种运动分析： 绝对轨迹： 动点A 静系 （凸轮） 动点A 动系 相对轨迹： 定轴转动 静系 动系（凸轮）

21. 大小： 方向： 两未知 量可解 运 动 学 ⒊ 三种速度分析: 由速度合成定理： ⒋ 作速度矢量关系图求解： 作出速度平行四边形如图示，则A点（即AB 杆）的速度大小为：

22. ⒊ 三种速度分析: 根据速度合成定理 确定各已知量和未知量； 　 作出速度平行四边形，根据速度平行四边形，求出未知量。 ⒋ 作速度矢量关系图求解： 运 动 学 由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为： ⒈ 选取动点、动系、静系; ⒉ 三种运动分析; 恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。

23. [例４]已知: 凸轮半径r , 图示时　　　　　 杆OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。　　　　　 运 动 学 分析：相接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，一个物体上的某点不和另一个物体始终接触，因此两物体的接触点都不宜选为动点，这种情况下，需选择满足动点与动系的选取原则的非接触点为动点。

24. 解： 　　⒈ 选取动点、动系、 静系： ⑴ 绝对运动： ⑵ 相对运动: ⑶ 牵连运动: 运 动 学 动点：凸轮上的Ｃ点, 动系：固连摆杆OA， 静系：固连地面。 ⒉ 三种运动分析： 绝对轨迹： 动点C 静系 动点C （摆杆OA） 动系 相对轨迹： 定轴转动 静系 动系（摆杆OA）

25. 大小： 方向： 两未知 量可解 （　　） 运 动 学 ⒊ 三种速度分析: 由速度合成定理： ⒋ 作速度矢量关系图求解： 作出速度平行四边形如图示，则C点牵连速度的大小为：

26. 由于牵连运动为平动，故 由速度合成定理 运 动 学 §9-3　牵连运动为平动时点的加速度合成定理 一．定理的导出 　 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z' 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z' 相对静系Oxyz平动。

27. 对t求导： (其中 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ） 运 动 学 二．牵连运动为平动时点的加速度合成定理 ⒈ 定理 上式表明：当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于

28. ⑵ 是矢量式，符合矢量合成法则； 运 动 学 牵连加速度与相对加速度的矢量和。 ⒉ 讨论 ⑴ 定理的一般表达式 ∴一般式： ⑶若采用一般表达式或矢量方程的的总项数 >3 时，则一般不再采用四边形或三角形合成法则，而采用矢量投影定理求解，此时也只能解两个未知量。

29. [例1]已知：凸轮半径　 求：j =60o时, 顶杆AB的加速度。 解： ⒈ 选取动点、动系、静系： 运 动 学 动点: AB 杆上A点, 动系: 固连凸轮 ， 静系: 固连地面。

30. ⑴ 绝对运动： 大小： 方向： 两未知 量可解 ⑵ 相对运动: ⑶ 牵连运动: 运 动 学 ⒉ 三种运动分析： 绝对轨迹： 动点A 静系 （凸轮） 动点A 动系 相对轨迹： 平动 静系 动系（凸轮） ⒊ 三种速度分析: 由速度合成定理： ⒋ 作速度矢量关系图求解： 作出速度平行四边形如图示，

31. 大小： 方向： 两未知 量可解  运 动 学 则A点的相对速度大小为： 因牵连运动为平动，故有 ⒌ 加速度分析: 

32. 大小： 方向： 两未知 量可解 n 整理得 运 动 学  ⒍ 作加速度矢量关系图求解： [注]加速度矢量方程的投影 是等式两端的投影，与 静平衡方程的投影关系 不同 将上式投影到沿法线的n轴上，得

33. 运 动 学 §9-4　牵连运动为转动时点的加速度合成定理 　 上一节我们证明了牵连运动为平动时的点的加速度合成定理，那么当牵连运动为转动时，上述的加速度合成定理是否还 适用呢？下面我们来分析一特例。 一．特例分析 　 设一圆盘以匀角速度 绕定轴Ｏ 顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大 小不变的相对速度 vr沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是 多少呢？

34. 运 动 学 选点M为动点，动系固连于圆盘上， 则M点的牵连运动为匀速转动 （方向如图） 相对运动为匀速圆周运动， （方向如图） 由速度合成定理可得出 即绝对运动也为匀速圆周运动，所以 方向指向圆心Ｏ点

35. 分析上式： 还多出一项2 vr 。 可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度　　并不等于牵连加速度　　和相对加速度　　的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。 运 动 学

36. 运 动 学 二．牵连运动为转动时点的加速度合成定理 ⒈ 定理的导出(由该特例导出） 设有已知杆OA在图示平面内以匀角速 绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒M为动点，动系固结于杆OA上，静系固结于机架。 ⑴ 三种速度分析 t+Dt 瞬时在位置II t瞬时在位置Ｉ 牵连速度 相对速度 绝对速度

37. Dt 时间间隔内的速度变化分析 相对速度：由 作速度矢量三角形， 在　 矢量上截取　 长度后， 分解为 和 其中 -- 在Dt内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。 -- 在Dt内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量，与牵连转动的 的大小有关。 牵连速度： 由 作速度矢量三角形， 在 矢量上截取等于　 长后， 运 动 学 可以看出，经过Dt 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。

38. 将 　 分解为 　 和 　 　， 其中: — 表示Dt内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改 变量，与相对运动无关。 — 表示Dt内动点的牵连速度，由于相对运动而引起的 大小改变量，与相对速度 有关。　　　　 运 动 学 ⑵ 加速度分析 根据加速度定义

39. 上式中各项的物理意义如下： 第一项大小： 方向：Dt0时，D0 , 其方向沿着直杆指向O点。 因此，第一项正是 t瞬时动点的牵连加速度 　　。 第三项大小：　　　　　　　　　　 为对应于　 大小改变　　　　　　　　　 方向：总是沿直杆。 因此，该项恰是ｔ瞬时动点的相对加速度　　。 运 动 学

40. 第二项大小： 第四项大小： ⑶ 科氏加速度 由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都 相同，可以合并为一项，用　 表示，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度。 运 动 学 该项为由于相对运动的存在而引起 牵连速度的大小改变的加速度。 这一项表明由于牵连转动而引起相 对速度方向改变的加速度。

41. 一般式 一般情况下 科氏加速度　 的计算可以用矢积表示 运 动 学 ⒉ 牵连运动为转动时点的加速度合成定理 上式表明：当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。 ⒊ 一般情况下科氏加速度的计算

42. 方向：按右手法则确定。 解： ⒈ 选取动点、动系、静系： 运 动 学 [例2]已知：凸轮机构以匀 绕O轴转动，　　　　图示瞬时OA= r，A点曲率半径 ,  已知。 求：该瞬时杆 AB的速度和加速度。　　 动点: 顶杆AB 上A点, 动系: 固连凸轮 ， 静系: 固连地面。

43. ⑴ 绝对运动： 大小： 方向： 两未知 量可解 ⑵ 相对运动: ⑶ 牵连运动: 运 动 学 ⒉ 三种运动分析： 绝对轨迹： 动点A 静系 动系 相对轨迹： （凸轮） 动点A 静系 定轴转动 动系（凸轮） ⒊ 三种速度分析: 由速度合成定理： ⒋ 作速度矢量关系图求解： 作出速度平行四边形如图示，

44. 大小： 方向： 两未知 量可解 运 动 学 ⒌ 加速度分析: 因牵连运动为定轴转动，故有 ⒍ 作加速度矢量关系图求解： 将上式投影到沿法线的n轴上，得：

45. [例3]矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 　和　 ，计算点M1 、M2的科氏加速度大小, 并标明方向。 D A B C 运 动 学 解：点M1的科氏 加速度大小： 方向：垂直板面向里。 　点M2 的科氏加速度

46. 根据 做出速度平行四边形 方向：与　 相同。 运 动 学 [例4]曲柄摆杆机构 已知：O1A＝r ,  ,  , 1; 取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点A的科氏加速度。 解：