B. MASSAN- JA LÄMMÖNSIIRTO

1. B. MASSAN- JA LÄMMÖNSIIRTO • Edellä on tarkasteltu massan, liikemäärän ja energian siirtoa itse fluidin liikkuessa • Massaa voi kuitenkin siirtyä virtauksen lisäksi diffuusiolla, jolle on tyypillistä makroskooppisten virtausnopeuksien puuttuminen; pienen mittakaavan ilmiö • Energiaa tai nyt lähinnä lämpöä voi siirtää virtauksen lisäksi johtumalla ja säteilemällä • Esimerkkejä: lukemattomia teollisuusprosesseista ympäristöön • teollinen polttoprosessi: virtauksessa tapahtuu palamista, josta yritetään ottaa lämpö talteen • ilmakehä: pilvipisaroiden kasvu ja haihtuminen • ydinjätteiden loppusijoitustila kalliossa: lämmönsiirtoa, pohjaveden virtausta ja radionuklidien kulkeutumista

2. Termodynamiikan kertausta • Sisäinen energia on ektensiivisten suureiden funktio (S, V, N, ...) • Intensiiviset kertoimet ovat tavallaan energiatiheyttä: paine per tilavuus, lämpötila per epäjärjestys, kemiallinen energia per hiukkanen, ... • Vakio tilavuudessa sisäisen energian muutos vastaa lämmön muutosta, mutta vakio paineessa lämmön muutos on sama kuin entalpian muutos • Työn merkki niin, että kun systeemi kasvaa se tekee työtä ja sisäinen energia pienenee; entalpiassa ei ole mukana tätä työtä

3. Lisää termodynamiikkaa • Termodynaamiset muuttujat voi lausua myös yksikkömassaa M kohti • Mahdollista käyttää tilavuutta per yksikkömassa tai sen käänteislukua, tiheyttä

4. Perusyhtälöt • Euler ja Navier-Stokes, sekä jatkuvuusyhtälöt tiheydelle ja entropialle

5. 23 ENERGIAVUO • Tarkastellaan lyhyesti johonkin paikkaan kiinnitetyn tilavuuselementin kokonaisenergian muutosta ideaalisessa fluidissa. Fluidin energia yksikkötilavuutta kohti on kirjoitettavissa nopeuden v, tiheyden ρ ja sisäisen energian kohti tilavuusyksikköä e avulla. Johdetaan lauseke energiavuolle ...

6. Eli energia säilyy ideaalisessa fluidissa, mutta energiavuossa on sisäisen energian sijasta entalpia • Energia säilyy luonnollisesti myös kitkallisessa virtauksessa, mutta yhtälön oikealle puolelle energiavuohon tulee uusi termi (LL §16) • Lisäksi jos fluidissa on lämpötilaeroja tulee mukaan lämmönsiirtyminen (thermal conduction), jossa energiaa siirtyy (spontaanisti) lämpönä isommasta lämpötilasta alempaan (kuten on sallittua termodynamiikan 2. pääsäännön mukaan). Molekuulaarisen tason ilmiö, jota voi tapahtua myös fluidin ollessa levossa • Jos lämpötilaerot ovat riittävän pieniä, voidaan lämmönsiirtoa arvioida sarjakehitelmällä, johon otetaan mukaan vain kaksi ensimmäistä termiä, joista vakiotermi on selvästi nolla, mutta gradientti jää • Tällainen linearisointi on yleinen piirre kaikissa siirtoilmiöissä ja se mahdollistaa yleisen teorian kehittämisen; kemialliset reaktiot ovat poikkeus, sillä ne ovat yleensä liian epälineaarisia

7. Yleinen lämmönsiirtoyhtälö

8. Selitystä • Jos viskositeetti ja lämmönjohtavuus katoavat, jäljelle jää ideaalifluidin entropian säilymisyhtälö • Yhtälön vasen puoli on entropiatiheyden kokonaisaikaderivaatta kerrottuna tiheydellä ja lämpötilalla eli se kuvaa yksikkömassan aikayksikössä saamaa lämpöä, joka koostuu viskositeetin tuottamasta lämmöstä ja lämmönjohtavuuden yksikkötilavuuteen tuomasta lämmöstä

9. Kokonaisentropian aikaderivaatan tulee olla positiivinen

10. Entropia jatkuu • Ensimmäinen termi kertoo entropian kasvun lämmönjohtumisen seurauksena, kun kaksi muuta liittyvät sisäiseen kitkaan • Entropia voi vain kasvaa, joten summan on oltava positiivinen, joten toisen viskositeetin z on oltava positiivinen, kuten viskositeetista ja lämmönjohtavuudesta jo tiedetään • Jos lämpövuo riippuisi myös paineen gradienteista, entropia voisi pienetä! Eli sellaista riippuvuutta ei ole.

11. Entropiasta epätasapainotilanteessa • Tarkasti ottaen fluidi, jossa on lämpötila ja nopeusgradientteja ei ole termodynaamisessa tasapainossa, joten suureiden määritelmiä pitää tarkentaa • Tarpeellista on, että ρ,Є ja v on määritelty kuten aiemmin: ρ ja ρЄ ovat massan ja energian tiheydet per yksikkötilavuus, ja v on yksikkömassan liikemäärä • Muut termodynaamiset suureet määritellään sitten samoina ρ:n jaЄ:n funktioina, joita ne ovat tasapainotilanteessakin • Entropia s = s(ρ,Є) ei kuitenkaan enää ole oikea termodynaaminen entropia, mutta pienillä nopeus- ja lämpötilagradienteilla entropia on oikea, koska sen sarjakehitelmä ei voi sisältää lineaarisia gradientteja (entropia voisi pienetä), joten alhaisimmillaan toisen kertaluvun korjaukset ovat mahdollisia • h, z ja k määräävät lineaarisessa approksimaatiossa virtausmekaaniset ominaisuudet täysin ja lisätermeillä ei olisi fysikaalista merkitystä, suoraa haittaa voisi olla

12. 24 LÄMMÖN JOHTUMINENEI-KOKOONPURISTUVASSAFLUIDISSA • Yleistä lämmönsiirtoyhtälöä voihuomattavasti yksinkertaistaatietyissä tapauksissa. Jos virtaus-nopeus on selvästi alle äänen-nopeuden, niin virtauksen aiheut-tamat painevaihtelut ovat pieniäja niiden aiheuttamat vaihteluttiheydessä voidaan hylätä. • Epätasaisesti lämmitetty virtaus ei kuitenkaan ole kokonaan kokoon puristumatonta aiemmin esitetyllä tavalla, sillä tiheys vaihtelee lämpötilan funktiona ja tätä vaihtelua ei yleisesti voida hylätä • Seuraavassa tarkastelussa tutkitaan siis termodynaamisten suureita lämpötilan, mutta ei paineen funktiona

13. Tiheyserotkin pieniä • Jos tiheyttäkin halutaan pitää vakiona, on edellä esitettyjen ehtojen lisäksi lämpötilaerojen (ei siis pelkästään lämpötilagradienttien) oltava pieniä. Jos lämpötilaerot ovat pieniä, voidaan myös hylätä lämpötilariippuvuus kertoimissa h, z ja k, ja pitää niitä vakioina. Käytetään lisäksi viskositeettitensoritermille jälkimmäisen kaavan muotoa • n on kinemaattinen viskositeetti ja c on termometrinen johtavuus

14. Fourierin yhtälö • Jos fluidi on levossa, muuttuu lämmönjohtavuus-yhtälö vielä yksinkertaisempaan muotoon - Fourierin (toiseksi)yhtälöksi, joka voidaan luonnollisesti johtaa paljon edellä esitettyä yksinkertaisemminkin. Pitää vain yhdistää lämpövuon yhtälö lämmön jatkuvuusyhtälöön. • Yhtälön (LL50.4) käyttäminen fluideihin on kuitenkin hyvin rajoitettua, sillä gravitaatiokentässä jo aivan pienetkin lämpötilaerot (ja niistä seuraavat tiheyserot) johtavat fluidin huomattavaan liikkeeseen (konvektio). Joten fluidi voi olla epätasaisessa lämpötilajakaumassa tasapainossa, vain jos lämpötilagradientti vastustaa (sopivasti) painovoimaa tai fluidi on hyvin viskoosia. • Yhtälön (LL50.4) tarkastelu on kuitenkin tärkeää, sillä samanmuotoinen yhtälö kuvaa lämmön johtumista kiinteissä aineissa ja (merkkiainepitoisuuden) diffuusiota (Fickin lait) monissa systeemeissä

15. Jos liikkumatonta kappaletta ja fluidia pide-tään ajasta riippumattomassa lämpötilakentässä (ulkoisella lämmönlähteellä), katoaa vielä aikaderivaattakin yhtälöstä (LL50.4) - lämmönjohtavuuden riippuessa lämpötilassa yhtälö hiukan mutkistuu • Jos systeemin tuotetaan lämpöä, jostain ulkoisesta lähteestä, on tämä lämmöntuotto Q lisättävä yhtälöön • Kahden kappaleen rajalla lämpötilojen on oltava samat; samoin lämpövoiden on oltava yhtäsuuret • Jos pinnalla on lämmönlähde, se on lisättävä reunaehtoon • Jos lämmöntuotto systeemissä tai sen reunoilla on liian suurta, voi olla mahdotonta saavuttaa stabiilia tilaa annetuilla reunan lämpötiloilla

16. 25 LÄMMÖN JOHTUMINEN ÄÄRETTÖMÄSSÄ VÄLIAINEESSA • Tarkastellaan seuraavaksi lämmön johtumista äärettömässä levossa olevassa väliaineessa • Kehitettään lämpötilakenttä Fourier-integraaliksi ja sijoitetaan se yhtälöön (LL50.4). Kunkin eksponenttitermin kertoimen tulee olla riippumattomasti nolla

17. Koska on T = T(x,y,z), kun t = 0, tiedetään, että kertoimet T0k voidaan esittää alkuperäisen lämpötilajakauman Fourier-integraalina, joka sijoitetaan yhtälöön (LL51.2). • Integrointi k:n yli on suoraviivaista suorittaa ja sini-termit nollia

18. Vain yksi ulottuvuus • Jos alkutilan lämpötila riippuu vain koordinaatista x, voidaan integroida y:n ja z:n yli. Oletetaan alkulämpötila nollaksi lukuun ottamatta tasoax = 0. • Samoin voidaan tutkia tilannetta, jossa kaikki lämpö on alunperin yhdessä pisteessä

19. Dimensioanalyyttiset tarkastelut • Eksponentiaalitermistä voidaan laskea lämmön johtumisen pituusmittakaavan riippuvuus ajasta tai päinvastoin aikamittakaavan riippuvuus pituudesta

20. 26 LÄMMÖN JOHTUMINEN ÄÄRELLISESSÄ VÄLIAINEESSA • Äärellisessä väliaineessa tarvitaan lämpötilan alkuarvon lisäksi reunaehto: lämpötilan tai lämpövuon arvo reunalla. Tarkastellaan aluetta x > 0, paikassa x = 0 on vakiolämpötila (joka voidaan valita vapaasti vaikkapa nollaksi) kaikkina ajanhetkinä (reunaehto); muissa pisteissä annetaan lämpötilan alkuarvojakauma • Pienellä ”kikalla” voidaan tämä tapaus palauttaa äärettömän väliaineen ongelmaksi: luodaan samanlainen, mutta erimerkkinen jakauma negatiiviselle x-akselille ja sovelletaan äärettömän väliaineen kaavaa. Antisymmetriasta seuraa, että reunaehto toteutuu automaattisesti.

21. Jos alkuperäinen lämpötilajakauma on vain x:n funktio, yhtälö yksinkertaistuu huomattavasti • Tarkastellaan sitten tilannetta, jossa alkulämpötila on -1 (voisi olla jotain muutakin) kaikissa muissa pisteissä paitsi x = 0, jossa T = 0 aina • Huom. kuvassa (LL52.6)alkulämpötila on kuitenkin - 100 !

23. Tarkastellaan sitten tapausta, jossa vasemmanpuoleinen osa x-akselia onkin eriste. Tehdään samanlainen “kikka” kuin edellä, mutta nyt lämpötilajakauma oletetaan symmetriseksi, jolloin lämpötilan gradientti on aina nolla origossa

24. Tarkastellaan seuraavaksi tapausta, jossa reunan x = 0 läpi virtaa (ajasta riippuva) lämpövuo. Tutkitaan aluksi tapausta, jossa lämpövuo on Diracin deltapulssi ajanhetkellä t = 0. Fysikaalisesti se merkitsee yksi yksikkö lämpöä tulee läpi jokaista rajapinnan pinta-alayksikköä kohti ja jakautuu ohueen kerrokseen rajapinnalle. Tämä vastaa jo aiemmin tarkasteltua tilannetta, kts. kaava (LL51.5): kaksi yksikköä, joista toinen oikealle toinen vasemmalle • Koska yhtälöt ovat lineaarisia ja eikä aiemmin tilaan tullut lämpö siis vuoro vaikuta myöhemmin tulleen kanssa, voidaan ratkaisu saada suoraan integroimalla

25. Todistetaan vielä reunaehdon paikkansa pitävyys suoralla derivoinnilla

26. Edellä olevilla tuloksilla, voidaan johtaa ratkaisu myös tapaukselle, jossa reunaehtona on ajasta riippuva lämpötila • Derivoidaan (LL52.12) paikan suhteen ja havaitaan, että näin saatu funktio toteuttaa lämmönsiirtoyhtälön (seuraavalla sivulla) ja ajasta riippuvan reunaehdon; merkitään funktiota T(x,t):llä ja sijoitetaan lämmönlähteen sijaan ajasta riippuva lämpötila T0(t)

28. Osoitetaan, että (LL52.15) toteuttaa lämmönsiirtoyhtälön • Tapaukselle, jossa reunaehtona on jaksollisesti vaihteleva lämpötila, on helppo tuottaa ratkaisu; suoraan soveltamalla yhtälöä (LL24.4) • Lopuksi vielä eräs tapa äärellisen epätasaisesti lämmitetyn kappaleen lämmönjohtoon: ominaisfunktiot, joilla reaaliset positiiviset ominaisarvot

29. 27 Similaarisuus lämmönsiirrossa • Lämmönsiirto fluideissa on monimutkaisempaa kuin kiinteissä aineissa, koska myös fluidi liikkuu. Liikkuvan fluidin sisällä oleva lämmitettävä kappale jäähtyy huomattavan paljon nopeammin kuin liikkumattomassa fluidissa. Epätaisesti lämmitettävän fluidin liikkeelle käytetään nimeä konvektio. • Oletamme, että läpötilaerot fluidissa ovat niin pieniä, että sen ominaisuudet eivät riipu lämpötilasta, mutta toisaalta taas selvästi suurempia kuin sisäisestä kitkasta aiheutuvat lämpötilaerot. Tässä tilanteessa voidaan sisäisen kitkan termi unohtaa yhtälöstä (LL50.2) • Tutkitaan lisäksi steady state tapausta

30. Prandtlin luku Pr ja Nusseltin luku Nu

31. 28 LÄMMÖNSIIRTO RAJAKERROKSESSA • Lämpötilajakauma fluideissa, kun Reynoldsin luku on hyvin suuri, on samankaltainen nopeusjakauman kanssa. Suuret Reynoldsin luvut merkitsevät (suhteellisesti) pientä viskositeettia. Mutta koska Prandtlin luku ei ole pieni, on myös termometrisen johtavuuden oltava pieni. Eli suurilla nopeuksilla virtaus käyttäytyy kuin ideaalifluidi: ei sisäistä kitkaa eikä lämmönjohtumista • Mutta tämä ei pidä paikkaansa rajakerroksessa, jossa nopeus pienenee nopeasti nollaan ja lämpötila muuttuu rajapinnan lämpötilaksi • On helppo huomata lämmitetyn kappaleen ohittava virtaus lämpiää (kun Re on suuri) vain vanavedessä, mutta sen ulkopuolella lämpötila ei muutu. Syynä tähän on se, että suurilla Re:n arvoilla päävirtauksessa tapahtuu vain vähän lämmönsiirtoa, joten lämpötila vaihtelee vain alueilla, johon virtaava fluidi on lämmennyt rajakerroksessa. Tiedämme lisäksi, että rajakerroksen virtaus menee turbulenttiseen vanaveteen, josta ei ole poistuvaa virtausta => lämpö menee vanaveteen (nollasta poikkeava vortisiteetti) ja pysyy siellä

32. Turbulenttisessa alueessa lämmönsiirto sen sijaan on voimakasta, joka johtuu turbulenssin aiheuttamasta voimakkaasta sekoittumisesta. Tätä kutsutaan turbulenttiseksi johtumiseksi ja sitä kuvaa turbulenttinen lämmönsiirtokerroin κturb (vrt turbulenttinen viskositeetti LL §31). Turbulenttinen termometrinen johtavuus on suuruusluokaltaan • Siten lämmönsiirto laminaarissa ja turbulentissa virtaukselta on perusteiltaan täysin erilaista. Mentäessä hyvin pienen viskositeetin ja lämmönjohtavuuden rajalle laminaarissa virtauksessa ei enää ole lämmönsiirtoa (-> vakiolämpötila kaikkialla), kun taas turbulentissa virtauksessa raju lämmönsiirto tasaa nopeasti lämpötilaerot • Turbulentissa virtauksessa myös lämpötila on keskiarvoistettava ajan suhteen, koska vaihtelut ovat suuria ja nopeita • Tutkitaan aluksi lämmönsiirtoa laminaarissa ja sitten turbulentissa rajakerroksessa ja käytetään hyväksi aiemmin johdettuja tuloksia (LL §39-§45

33. Lämmönsiirto laminaarissa rajakerroksessa • Tutkitaan taas tilannetta, jossa rajakerros muodostuu xz-tasoon (virtaus-suunta x-akseli) ja päävirtauksen virtausnopeus on vakio; rajakerros muodostuu y-suuntaan. Liikeyhtälö (LL39.10) pysyy muuttumattomana, mutta yhtälössä (LL53.2) on tehtävä vastaavat yksinkertaistukset • Vertaamalla liike- ja lämmönsiirtoyhtälöitä toisiinsa, huomataan, ettäPrandtlin luvun ollessa luokkaa yksi: x-akselinsuuntaisen nopeuskompo-nentin ja lämpötilankäytös on sa-laista ja kummankin ra-jakerrospaksuus riippuusiten kääntäen Re:n neliö-juuresta

34. Lämmönsiirto turbulentissa rajakerroksessa • Käytetään samanlaista tarkastelua kuin (LL §42). Äärettömän tason yläpuolella lämpövuo qy-akselin suunnassa on vakio (ei riipu y:stä) ja sitä voidaan pitää annettuna parametrina kuten tiheyttä ja lämpö-kapasiteettiakin. Kun Re on tarpeeksi suuri viskositeetti ja lämmön-johtavuus eivät voi esiintyä yhtälöissä eksplisiittisesti. Liikemäärätensorin sijaan käytetään kitkanopeuttav*. Vakion riippuvuus Pr:sta saadaan laminaarista rajakerroksesta pinnan välittömässä läheisyydessä

35. 29 LÄMPÖMITTARIFLUIDISSA • Pidetään mielivaltaista kappaletta virtaavassa fluidissa. Tarkastellaan lämpötilaeroa T1-T0 kappaleen ja fluidin välillä, kun riittävän pitkä aika on kulunut termisen tasapainon saavuttamiseksi • Jos kappaleen lämmönjohtavuus on hyvin pieni, niin lämpövuo kappaleen sisään on nolla • Jos kappaleen lämmönjohtavuus on hyvin suuri, niin koko kappale on samassa lämpötilassa ja kappaleen eri osien lämpövoiden summan tulee olla nolla

36. 30 VAPAA KONVEKTIO • Aiemmin (LL §3) on osoitettu, että fluidi voi olla mekaanisessa tasa-painossa gravitaatiokentässä vain, jos sen lämpötila riippuu vain korkeu-desta (paine ei saa muuttua vaakasuunnassa -> virtaus; p ≈ρ≈T). Tämäkään ei ole riittävä ehto, vaan lisäksi lämpötila ei saa laskea liian nopeasti korkeuden kasvaessa (LL §4). • Jos mekaanista tasapainoa ei ole, seurauksena on sisäisiä virtoja, jotka pyrkivät tasoittamaan lämpötilaeroja. Gravitaatiokentässä tällaista liikettä kutsutaan vapaaksi konvektioksi. • Tutkitaan seuraavaksi kokoon puristumattomia systeemejä eli painevaihtelun aiheuttamat tiheysvaihtelut voidaan unohtaa. Sen sijaan lämpötilan aiheuttamia tiheyseroja ei voida jättää pois, koska juuri ne aiheuttavat konvektion aikaan saavat voimat.

37. Tutkitaan pientä poikkeamaa lämpötilassa ja tiheydessä verrattuna johonkin vakioiseen keskitasoon; paineen keskitaso muuttuu hydrostaattisen yhtälön mukaisesti • Johdetaan Navier-Stokes yhtälö näille poikkeamille • Lämmön johtumisyhtä-lössä (LL50.2) viskosi-teettitermi on pieni ver-rattuna muihin termeihin vapaassa konvektiossa

38. Nyt meillä on täydellinen joukko yhtälöitä vapaalle konvektiolle • Tutkitaan lisäksi steady state tilannetta (LL56.5-7) • Uusi dimensioton suure Grashofin luku Gr; jos Gr on pieni vapaa konvektio on merkityksetöntä (nostevoimien suhde kitkavoimiin) • Vapaa konvektio voi olla turbulenttista tai laminaaria, mutta turbulenssin alkamisen määrää Re:n sijaan Gr, koska mitään karakteristista nopeutta ei ole Re:n laskemiseksi

39. Konvektio kahden eri lämpöisen levyn välissä: Rayleigh-Bénardin epästabiilisuus • Mielenkiintoinen ja paljon tutkittu (hyvä esimerkki kaoottisen käyttäytymisen synnystä) systeemi on kaksi eri lämpötiloissa olevaa vaakasuoraa levyä, joiden välissä on fluidia • Alemman levyn lämpötila T1 on suurempi kuin ylemmän levyn lämpötila T2 • Jos lämpötilaero on riittävän pieni, mitään pystysuuntaista virtausta ei synny ja lämpöä siirtyy puhtaasti johtumalla, ja fluidin tiheys kasvaa ylöspäin mentäessä • Jos lämpötilaero ylittää kriittisen (levyjen etäisyydestä riippuvan) arvon, aiempi tila tulee hyvin epästabiiliksi ja tasainen konvektio alkaa. Epästabiilisuuden alkamisehdon voi johtaa teoreettisesti Ra = Gr·Pr > 1700 (1100 on jos yläpinta on vapaa), Ra = Rayleighin luku. Virtaus muuttuu turbulenttiseksi, kun Gr on noin 50 000.

40. Pakotettu konvektioputkivirtauksessa • Tarkastellaan laminaarista putkivir-tausta ja kirjoitetaan lämmönsiir-toyhtälö steady state tapaukselle, jossa virtausprofiili on parabolinen

41. Vapaan ja pakotetun konvektion vertailu