概率论与数理统计

概率论与数理统计 经管院02级 2003.10.23.

第三章习题选讲№10 ⑴p11=1/4, p13=1/4, p12=0, 　p22=1/2; ⑵不独立。 1/4 0 1/4 1/2

第三章习题选讲№30 EXY=-1*1*0.1+1*1*0.1 =0; E(X+Y)=EX+EY=0.4+0=0.4(X与Y不独立)。

第三章习题选讲№33 设第k次取到Xk个红球, EXk=40/100=0.4

∴A≈15×140+1.645√42 ≈2265 第三章习题选讲№47 设开动X台机器,X～B(200,0.7)，要供电Ａ个单位,EX=140,DX=42,由中心极限定理X近似服从正态分布，将它标准化。

概率论要掌握的预备知识 • 集合论 • 排列组合 • 基本微积分 • 计算技术

概率论部分 ㈠基础知识：事件,运算,概率的定义及计算,事件的关系,古典概型,几何概型,贝努里概型；㈡随机变量：定义，分布，类型，分布列、概率密度函数、分布函数，联合分布与边际分布；㈢数字特征：定义，计算，性质。

事件随机事件不可能事件必然事件包含相等交与并不相容(互斥) 对立(互补) 独立 0概率事件 1概率事件概率的基本概念

概率的基本公式

随机变量 随机现象量化为一个变量，叫随机变量; 类型：离散型与连续型；分布函数及其性质：离散型的分布列及性质；连续型的概率密度函数及性质；重要的几类随机变量。

离散型随机变量 离散型的分布列为则要求:1. pk≥0 2. ∑pk=1 而EX= ∑xk pk(要求绝对收敛.) EX2= ∑xk2 pk DX= EX2－(EX) 2

连续型随机变量 连续型的概率密度函数为p(x), 则要求:1. p(x)≥0 2.∫p(x)dx=1 而EX=∫xp(x)dx(要求绝对收敛) EX2=∫x2p(x)dx DX= EX2－(EX) 2

数字特征的性质 数字特征的性质： 1.E(aX+b)=aE(X)+b 2.E(X±Y)=E(X)±E(Y) 3.E(X*Y)=E(X)*E(Y)? 4.D(aX+b)=a2D(X) 5.D(X±Y)=D(X)+D(Y)? 6.D(X*Y)=D(X)*D(Y)????

随机向量 随机现象作为整体量化为几个变量，叫随机向量; 类型：离散型与连续型; 联合分布函数与边际分布函数; 离散型的联合分布列与边际分布列; 连续型的联合概率密度函数与边际概率密度函数。

练习题选讲 ㈠如事件AB,则：A∩B=A,A∪B=B, A-B=φ,P(B-A)=P(B)-P(A),B-A=B-AB, A与B独立吗？不会不相容吗？㈡事件A与B既相互独立又不相容,可能吗？㈢掷两枚骰子，所得的点数和为几的概率最大？所得的点数和为几的概率最小？㈣“28选5”与“35选7”哪个中大奖的概率大？

1)如AB，则 A∪B= A∩B= P(A∪B)= P(A∩B)= P(B-A)= P(A-B)= B 练习 2)如P(A)=0,B为任意事件，则 P(A∩B)= P(A∪B)= A与B独立吗？ 0 A P(B) P(B) √ P(A) P(B)- P(A) 0

㈦ X的概率密度为 • 求：ＥX与ＤX • ㈧掷两枚骰子所得的点数和为10的概率为： • 1/12 B) 3/12 C) 5/12 D) 7/12 • ㈨A,B不相容,P(A)>0,P(B)>0,则___ • A)P(AB)=P(A)P(B) B)P(A|B)=P(A) • C)P(B|A)=0 D)P(B|A)=P(B) 练习题选

单项选择题 *设P(A)=0，B为任一事件，则___; ①A=φ ②AB ③A与B相互独立 ④A与B互不相容 *A、B为任意两个事件，若A、B之积为不可能事件，则称____; ①A与B相互独立 ②A与B互不相容 ③A与B互为对立事件 ④A与B为样本空间Ω的一个剖分

单项选择题 *设A、B两事件互不相容，0<P(A)=p<1，0<P(B)=q<1，则推不出结论___； ① P(A|B)=0 ② ③ ④ *设随机变量X的分布列为 X -2 0 2 ，则 E(3X 2+5) = ___; p 0.4 0.3 0.3 ① 13 ② 13.2 ③ 13.4 ④ 13.6

单选题 *设A，B为两事件，AB，则不能推出结论____ ①P(AB)=P(A) ②P(AUB)=P(B) ③P(AB)=P(A)-P(B) ④P(AB)=P(B)-P(A) *设离散型随机变量的分布列为其分布函数为F(x),则F(3/2)=___ ① 0.1 ② 0.3 ③ 0.6 ④ 1.0 *随机变量X的概率密度函数为p(x)= (-∞<x<+∞),则常数C=___ ① 1/π ② 2/π ③ π ④ π/2

练习题选 ㈠从1-10编好号的十个球中任取两个,它们的编号之和记为X,P(X≤18)=___; A)18/25 B) 16/25 C) 44/45 D) 43/45 ㈡若随机变量X和Y的相关系数ρXY=0,则有____; A) D(X-Y)=D(X)-D(Y) B) D(X+Y)=D(X)+D(Y) C) D(X*Y)=D(X)*D(Y) D) 它们独立

㈢7抽1的抽签,每人依次抽,则____; A)第一人抽到的概率最大 B)第四人抽到的概率最大 C)最后的人抽到的概率最小 D)每人抽到的概率相同. ㈣联合密度为时,X与Y独立吗? 练习题选 √

㈤以下三个中___可以是分布列; A) B) C) ㈥设X的分布函数是求⑴Ｂ的值； ⑵Ｐ{-2<X<1} 练习题选 -1 1-e-1

单选题 *随机变量X的概率密度函数为 p(x)= 则X的数学期望E X=____ ① 1/2 ② 1 ③ 2 ④ 4 *设X~P(λ)(λ>0)，则D(X)/E(X)=____ ① 1 ② λ ③ 1/ λ ④ λ2 *随机变量X~P(2)，则EX2=____ ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8

*随机变量X和Y的概率密度函数分别为 pX(x)= pY(y)= 若X和Y相互独立，则数学期望E(XY)=____ ① 1 ② 1/2 ③ 1/3 ④ 1/4 *设随机变量X的E(X)=μ,D(X)=σ2,用切比雪夫不等式估计P(|X- μ|≤3σ)____ ① ≤1/9 ② ≤8/9 ③ ≤80/81 ④ ≥8/9 单选题

切贝雪夫不等式 • 随机变量的X方差存在,ε>0:

例题 • 一枚硬币抛了1000次，估计正面次数在[400，600]中的概率；解：正面次数X~B(1000,0.5),EX=500 • 设X~N(12,9),是否有P(6≤X≤18)≥0.75 解：左式=P(|X-12|≤6)≥1-9/62=0.75

例题 • 一批产品中优质品占一半，从中有放回地抽取，问在100次抽取中优质品的件数不超过45的概率约为多少？超过60件的概率约等于多少？解:优质品件数X~B(100,0.5),EX=50,DX=25

单项选择题

单项选择题１.Ａ ∴选Ａ

单项选择题１.Ｂ ∴不选Ｂ

单项选择题１.Ｃ ∴不选Ｃ

单项选择题１.Ｄ ∴不选Ｄ

单项选择题２ ∴选Ｃ

单项选择题３ Ａ：至少击中一次；Ｂ：至多击中一次；∴选B Ｃ：恰好击中一次；Ｄ：三次皆不中。

单项选择题４ ＦＹ(y)=P(Y≤y) =P(X≤+∞,Y≤y) =F(+∞,y)∴选Ｄ

单项选择题

填空题 1/120 0.76 0.42 0.4

80/81 填空题 2 3 2

填空题 1 / 4 1 / 3

填空题 8 2 0.0062 N(0,1)

简答题

计算题

练习题选 *设X~B(10,1/3)，则D(X)/E(X)=___; ① 1/3 ② 2/3 ③ 1 ④ 10/3 *设X~N(μ,σ2),以下结论错误的是___; ① P{μ-2σ<X<μ+2σ}与μ，σ无关 ② P{X<μ}=1/2 ③ E(X-μ)=0 ④ D(X-μ)=0

练习题选 *设X~P(2)，则有___成立； ① D(2X-3)=1 ② D(2X-3)=5 ③ D(2X-3)=7 ④ D(2X-3)=8 *X，Y同分布N(μ,σ2)，且相互独立，下面各式不成立的是___; ① E(2X-2Y)=0 ② E(2X+2Y)=4E(X) ③ D(2X-2Y)=7 ④ X与Y不相关

练习题选 计算题： *设随机变量X的分布函数为 F(x)= 求：⑴常数A；⑵X的密度函数p(x)；⑶P{X≤1}

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