Forschungsstatistik I

1. Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt WS 2006/2007 Fachbereich Sozialwissenschaften, Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2. Thema der Stunde • Einführung in die Wahrscheinlichkeitslehre • Begriff der Wahrscheinlichkeit • Axiomatische Definition und Folgerungen aus den Axiomen

3. Wahrscheinlichkeitslehre • Anfänge Mitte des 17. Jh. (Huygens, Pascal, Fermat, Bernoulli). Aufgaben des Glücksspiels. Nur arithmetische und kombinatorische Methoden. • Weiterentwicklungen im 18.-19. Jh. durch LaPlace, Gauss und Poisson: Fehlertheorie, Ballistik, Bevölkerungsstatistik. • Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der W-Theorie, Fundament in axiomatischen Aufbau (Kolmogoroff). Theorie der stochastischen Prozesse (Wiener, Markoff, Chintchin), Partikelphysik. • Heute zentraler Bestandteil wiss. Betätigung: Informations- und Kommunikationstheorie,Teilchenphysik, Bevölkerungsstatistik, Populationsdynamik,Epidemiologie, Dosis-Wirk-Diagnostik, Materialprüfung, Statik, Personalauswahl, psychologische Testung, Versuchsplanung und Stichprobentheorie.

4. Wahrscheinlichkeitslehre Die Wahrscheinlichkeitslehre befasst sich mit zufälligen Ereignissen Für diese Zufallsereignisse gilt: • Sie sind wiederholbar. • Sie besitzen eine Stabilität in der relativen Häufigkeit ihres Auftretens.

5. Wahrscheinlichkeitslehre Beispiel: Relative Häufigkeit für das Würfeln einer „6“ in Abhängigkeit Von der Anzahl der Würfelversuche:

6. Begriffe: Stichprobenraum Zwei Ereignisse heissen paarweise unvereinbar (disjunkt), wenn gilt: („unmögliches Ereignis“) Gilt: Und sind die Bi paarweise unvereinbar, so lässt sich A in die Teilereignisse Bi zerlegen. Wenn stets mindestens eines der Bi eintritt, d.h. („sicheres Ereignis“) So bilden die Bi ein vollständiges System paarweise unvereinbarer Ereignisse (Elementarereignisse), den Stichprobenraum.

7. Begriffe: Ereignisalgebra Zu einem Stichprobenraum kann man eine sog. Ereignisalgebra konstruieren, die ein abgeschlossenes System von Ereignissen darstellt. Regel: Bilde eine Menge U aus dem sicheren Ereignis, dem unmöglichen Ereignis und allen Ereignissen, die sich in Elementarereignisse zerlegen lassen. Beispiel: Zufallsdreieck mit 3 Seiten B1,B2,B3 Jedem Ereignis A, welches der Algebra U angehört, kann dann eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. Die Wahrscheinlichkeit ist also eine auf der Ereignisalgebra U definierte Funktion P(A).

8. Die Kolmogoroff - Axiome Die auf U definierte Funktion P(A) besitzt folgende Eigenschaften: • Für jedes Ereignis A der Algebra U gilt : P(A)  0 • Für das sichere Ereignis gilt: P() = 1 • Läßt sich das Ereignis A in die unvereinbaren Teilereignisse B und C zerlegen (alle 3 Ereignisse gehören der Algebra U an), so gilt P(A) = P(B) + P(C) (Additionssatz der Wahrscheinlichkeiten). [Tafelbeispiele und Vertiefungen]

9. Folgerungen aus den Axiomen (Wahrscheinlichkeit des Komplements ist 1 minus die WK des Ereignisses) Es gilt ja für den Stichprobenraum W: Und mit Axiom 2 folglich: Und mit Axiom 3 (Additionstheorem) dann: Woraus der Satz folgt.

10. A B\A Folgerungen aus den Axiomen Gilt A Ì B, so folgt B lässt sich als Vereinigung der disjunkten Ereignisse A und B\A („B ohne A“) schreiben: B = A ÈB\A Da P(B\A) ³0 Folgt der Satz.

11. AÇB A\B Folgerungen aus den Axiomen P(A\B) = P(A) – P(A Ç B) A lässt sich als Vereinigung der disjunkten Ereignisse A\B und AÇB schreiben: A = (A\B) È (AÇB) Wegen des Additionstheorems folgt sofort P(A) = P(A\B) + P(AÇB) Und hieraus folgt der Satz.

12. A\B B Folgerungen aus den Axiomen P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B) (allgemeiner Additionssatz) A È B lässt sich als Vereinigung der disjunkten Ereignisse A\B und B schreiben: A È B = (A\B) È B Wegen des Additionstheorems folgt P(A È B) = P(A\B) + P(B) Wir zeigten aber vorher: P(A\B) = P(A) – P(A Ç B). Einsetzen gibt: P(A È B) = P(A) – P(A Ç B)+ P(B) Und dies ist der allgemeine Additionssatz.