Distance d’un point à un plan.

1. Distance d’un point à un plan. Par Amandine Mousset.

2. L’espace étant muni d’un repère orthonormé, considérons… z • Le plan=ax+by+cz+d = 0 • Le point P =ax+by+cz+d = 0 y P  x

3. Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d,,et,la distance du point P au plan. z =ax+by+cz+d = 0 Ecrivons des équations paramétriques de la droite p, comprenant P et perpendiculaire à  en utilisant un triple de paramètres directeurs principaux de . y P  x

4. Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d,,et,la distance du point p au plan. z =ax+by+cz+d = 0 Un triple de paramètres directeurs de p est donc (a,b,c). Un triple de paramètres directeurs principaux de p est donc =ax+by+cz+d = 0 y ( ) a b c , , P  x a2+b2+c2 a2+b2+c2 a2+b2+c2

5. Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d,,et,la distance du point p au plan. z Des équations paramétriques de la droite p sont: =ax+by+cz+d = 0 a x =  + k y a2+b2+c2 b y =  + k p = a2+b2+c2 P  x c z =  + k a2+b+c2

6. Proposons de calculer, en fonction de a, b, c, d,,et,la distance du point p au plan. z Calculons la valeur que prend k au point D commun à  et à p. Pour cela, exprimons que la coordonnée de D vérifie l’équation de . =ax+by+cz+d = 0 D y P  x

7. Calculons la valeur que prend k au point D commun à  et à p.Pour cela, exprimons que la coordonnée de D vérifie l’équation de . a b c a (  + k b (  + k c (  + k ) ) ) + + + d = o a2+b2+c2 a2+b2+c2 a2+b2+c2 a2+b2+c2 = o a + b + c + d + k a2+b2+c2 a + b + c + d D’où: k = - a2+b2+c2

8. Finalement, la distance du point P au plan  est… a + b + c + d z PD = lkl = a2+b2+c2 =ax+by+cz+d = 0 D y P  x