三符号运算

数学实验 三符号运算

Matlab 符号运算介绍 • Matlab 符号运算是通过符号数学工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。Matlab 符号数学工具箱是建立在功能强大的 Maple 软件的基础上的，当 Matlab 进行符号运算时，它就请求 Maple 软件去计算并将结果返回给 Matlab。 • Matlab 的符号数学工具箱可以完成几乎所有得符号运算功能。主要包括：符号表达式的运算，符号表达式的复合、化简，符号矩阵的运算，符号微积分、符号作图，符号代数方程求解，符号微分方程求解等。此外，该工具箱还支持可变精度运算，即支持以指定的精度返回结果。

Matlab 符号运算举例 • 求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的根 >>solve('a*x^2+b*x+c') • 求的根 f (x) = (cosx)2的一次导数 >>x=sym('x'); >>diff(cos(x)^2) • 计算 f (x) = x2在区间 [a, b]上的定积分 >>syms a b x; >>int(x^2,a,b)

符号对象的创建和使用

符号对象与符号表达式 • 在进行符号运算时，必须先定义基本的符号对象，可以是符号常量、符号变量、符号表达式等。符号对象是一种数据结构。 • 含有符号对象的表达式称为符号表达式，Matlab 在内部把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别。 • 符号矩阵/数组：元素为符号表达式的矩阵/数组。

符号变量=sym(A) 参数 A可以是一个数或数值矩阵，也可以是字符串例： >>a=sym('a') a是符号变量 b是符号常量 c是符号矩阵符号对象的建立 • 符号对象的建立：sym和 syms • sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为： >>b=sym(1/3) >>c=sym('[1 ab; c d]')

例： >>syms a b c 符号对象的建立 • 符号对象的建立：sym和 syms • syms命令用来建立多个符号量，一般调用格式为： syms 符号变量1 符号变量2 ... 符号变量n >>a=sym('a'); >>b=sym('b'); >>c=sym('c');

符号表达式的建立 • 符号表达式的建立：建立符号表达式通常有以下2种方法： (1) 用 sym函数直接建立符号表达式。(2) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。例： >>y=sym('sin(x)+cos(x)') >> x=sym('x'); >>y=sin(x)+cos(x)

符号方程的建立 • equ=sym(‘equaion’) 符号方程的建立只有一种 eq1=sym(‘5*x=6+a’) eq1= 5*x=6+a

符号矩阵的创建 • 1. 利用 sym 直接创建。 • 2. 利用 syms 间接创建。 • 3. 由数值矩阵转化为符号矩阵。例： M=[1 2；3 4]； S=sym(M) S= [1 ，2] [3 ，4]

符号对象的基本运算

1. 基本运算符 • 2. 关系运算符 • 3. 三角函数、双曲函数以及它们的反函数 • 4. 指数、对数函数 • 5. 复数函数 • 6. 矩阵代数指令以上运算与数值运算相同。

任意精度数学计算

有理数运算： 方法一： format long %指定输出格式 1/2+1/3 %一般的浮点运算 sym(1/2+1/3) %有理数运算（符号运算）结果如下： ans= 0.83333333333333 ans= 5/6

有理数运算： 方法二 format rat 1/2+1/3 ans= 5/6

符号运算是最快的运算，需要的计算机内存最小，但结果并不精确。符号运算是最快的运算，需要的计算机内存最小，但结果并不精确。而符号运算中的有理数算术运算，它所需要的时间和内存开销都是最大的。只要有足够的内存和足够长的计算时间，总能产生精确的结果。

digits(d) • 调用该函数后的近似解的精度变成d 为有效数字。d的默认值是32位。 • vpa(A,d) • 求符号解A的近似值，该近似解的有效位数由参数d来指定。如果不指定d，则按照一个digits(d)指令设置的有效位数输出。 • double(A) • 把符号矩阵或任意精度表示的矩阵A转换成为双精度矩阵。

问：请给出sin(pi/8)保留6位有效数字的结果。 a=sin(pi/8); b=sym(a); vpa(b,6)

符号表达式的化简 • 1. collect() 函数实现功能为将符号表达式中同类项合并 R=collect(s ,v) 将表达式S 中v 的相同次幂的项进行合并。如果 v 没有指定，则缺省地将含有x 的相同次幂的项进行合并。

例子 • syms x f=(x-1)*(x-2)*(x-3) collect(f) 结果为： ans= -6+x^3-6*x^2+11*x

2. expand() 函数实现功能为将表达式进行展开。 R=expand(S): 将表达式S 中的各项进行展开，如果S 包含函数，则利用恒等变形将它写成相应的和的形式。该函数多用于多项式，有时也用于三角函数、指数函数和对数函数。

例子 • 多项式的展开示例： • syms x y; • f= (x+y)^3; • f1=expand(f) 得到结果： f1= x^3+3*x^2*y+3*x*y^2+y^3

例子 • 三角函数的展开示例 • h=cos(x-y) • expand(h) 得到结果： ans= cos(x)*cos(y)+sin(x)*sin(y)

3. factor() 函数实现将符号多项式进行因式分解。 factor(X): 如果X是一个多项式或多项式矩阵，系数是有理数，那么该函数将把X 表示成系数为有理数的低阶多项式相乘的形式；如果X不能分解成有理多项式乘积的形式，则返回X本身。

例子 • syms x y a b • factor(x^3-y^3) 得到结果： ans= (x-y)*(x^2+x*y+y^2)

4.simple() 寻找一个符号表达式的最简形式。 r=simple(S):用几种不同的算术简化规则对符号表达式进行简化，返回使表达式S 变得简短的形式。如果S 是符号表达式矩阵，则返回使整个矩阵变成最短的形式，而不一定使每一项都最短。

例子 • syms x • sinple(cos(x)^2+sin(x)^2) 输出的结果： ans= 1

符号表达式的替换 • 用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量 subs(f,x,a) 用 a替换字符函数f中的字符变量 xa是可以是数/数值变量/表达式或字符变量/表达式若 x是一个由多个字符变量组成的数组或矩阵，则 a应该具有与 x相同的形状的数组或矩阵。

下面的命令运行结果会是什么？ >>subs(f3,[x,y],[x+y,x+y]) subs 举例 • 例：指出下面各条语句的输出结果 f=2*u >>f=sym('2*u'); >>subs(f,'u',2) >>f2=subs(f,'u','u+2') >>a=3; >>subs(f2,'u',a+2) >>subs(f2,'u','a+2') >>syms x y >>f3=subs(f,'u',x+y) >>subs(f3,[x,y],[1,2]) ans=4 f2=2*(u+2) ans=14 ans=2*((a+2)+2) f3=2*x+2*y ans=6

求极限 命令极限

例：求极限 求极限 • 例：求极限 • 例：求极限 • 例：求极限 • 例：求极限 • 例：求极限解：syms x y=1/(x*(log(x))^2)-1/(x-1)^2 limit(y,x,1,’right’) >> ans= 1/12

求导数与微分 • 对符号函数求导数命令1：diff（f）求 f 的一阶导数，其中 f 是符号函数。命令2：diff（f, n）求 f 的 n 阶导数，其中 f 是符号函数。

参数方程求导 参数方程：所确定的函数 y 的一阶导数为：可用连续用两次 diff（x）求出结果。

的一阶导数。 参数方程求导 • 例：求参数方程解： syms t x=t*(1-sin(t)); y=t*cos(t); dx=diff(x,t) ; dy=diff(y,t); pretty(dy/dx)

多元函数求导 • 命令1:diff（f，x）求函数 f 对变量 x 的一阶导数，其中 f 是符号函数。 • 命令2：diff（f，x，n）求函数 f 对变量 x 的 n 阶导数，其中 f 是符号函数。

多元函数求导 求 • 例：对函数解：syms x y; z=x^3*y^2+sin(x*y); dzx=diff(z, x); dzxy=diff(dzx, y); pretty(dzxy)

y=y(x) • 方程确定的函数确定的函数 • 方程隐函数求导

三 符号运算