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第四讲 一元函数积分

第四讲 一元函数积分. 实 验 目 的. 1 、学习用软件求一元函数积分的方法. 2 、从几何图形上直观理解定积分的定义. 3 、学习用软件解决定积分应用问题. 实验内容. 1 、符号积分. 其中 为符号表达式. 求积分。. [ 例 1] 对. >> syms x t; f=cos(3*x+t); int(f) % 对默认自变量 x 积分 ans = 1 /3*sin(3*x+t) int(f,t) % 对自变量 t 积分 ： ans = sin(3*x+t)

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第四讲 一元函数积分

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Presentation Transcript

  1. 第四讲一元函数积分

  2. 实 验 目 的 1、学习用软件求一元函数积分的方法 2、从几何图形上直观理解定积分的定义 3、学习用软件解决定积分应用问题

  3. 实验内容 1、符号积分 其中 为符号表达式

  4. 求积分。 [例1] 对 >> syms x t; f=cos(3*x+t); int(f) %对默认自变量x积分 ans = 1 /3*sin(3*x+t) int(f,t) %对自变量 t 积分： ans = sin(3*x+t) int(f,0,pi/2) %对默认自变量x求定积分 ans = -1/3*cos(t)-1/3*sin(t)

  5. int(f,t,0,pi/2) %对自变量 t 求定积分 ans = -sin(3*x)+cos(3*x) int(f,'m','n')%对默认自变量求定积分 ans = 1/3*sin(3*n+t)-1/3*sin(3*m+t)

  6. [例2]计算广义积分 >> f='1/(1+x^2)'; >> int(f,-inf,inf) syms x; >> f=1/(1+x^2); >> int(f,-inf,inf) ans = pi

  7. [例3]计算积分 >> f='exp(-x)*x^(-1/2)'; >> int(f,0,inf) syms x; f=exp(-x)*x^(-1/2); int(f,0,inf) ans = pi^(1/2)

  8. [例4]求变上限积分的导数 >> syms x t; >> f=cos(pi*t^2); >>diff(int(f,sin(x),cos(x))) y=int(f,sin(x),cos(x)); >> diff(y,x) ans = -cos(pi*cos(x)^2)*sin(x) - cos(pi*sin(x)^2)*cos(x)

  9. 计算下列积分

  10. 答案 • 1、sym x; int('sin(x)') • ans = -cos(x) • 2、syms x;f=exp(x)*sec(exp(x));int(f) • ans =log(sec(exp(x))+tan(exp(x))) • 3、syms x;f=2*x/(1+x^2);int(f) • ans =log(1+x^2) • 4、syms x;int(3^x,0,1) • ans =2/log(3) • 5、syms x t;f=3*t^2+5*t-2;int(f,t,0,x) • ans =x^3+5/2*x^2-2*x

  11. 上机实验题 1、计算下列不定积分 （2） （1） （3） （4）

  12. 2、计算下列积分 （2） （1） （4） （3）

  13. 3、求下列极限 （1） （2） 4、求函数 的极值。

  14. 答案1、不定积分 1、syms x;f=x./sqrt(1+x-x^2);int(f) • ans =-(1+x-x^2)^(1/2)+1/2*asin(2/5*5^(1/2)*(x-1/2)) • 2、 >> syms x;f=log(1+x^2);int(f) • ans =x*log(1+x^2)-2*x+2*atan(x) • 3、 >> syms x;f=sin(x)*cos(x)/(1+(sin(x))^4);int(f) • ans =1/2*atan(sin(x)^2) • 4、 >> syms a b x;f=exp(a*x)*cos(b*x);int(f) • ans =a/(a^2+b^2)*exp(a*x)*cos(b*x)+ • b/(a^2+b^2)*exp(a*x)*sin(b*x)

  15. 定积分答案 （1）syms x;f=sin(log(x));int(f,1,exp(1)) （2） syms x;f=sqrt(exp(x)-1);int(f,0,log(2)) （3）syms x;f=1/(x*sqrt(1-(log(x))^2));int(f,1,exp(1)) （4）syms x;f=x^2*exp(-2*x^2);int(f,0,inf)

  16. 答案 • （1） syms x t; • >> limit(int(atan(t),0,x)/x^2,x,+inf) • （2）syms x t; • limit(int((sin(t))^2,0,x)/(x-pi/2),x,0)

  17. （3）syms x t; • >> Ix=int((3*t+1)/(t^2-t+1),0,x) • Ans：Ix = • 5/18*3^(1/2)*pi+3/2*log(x^2-x+1)+5/3*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*3^(1/2)) 作图：fplot('5/18*3^(1/2)*pi+3/2*log(x^2-x+1)+5/3*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*3^(1/2))',[-3,6]);grid on

  18. 函数图形

  19. 求极值 • [x,f]=fminsearch('5/18*3^(1/2)*pi+3/2*log(x^2-x+1)+5/3*3^(1/2)*atan(1/3*(2*x-1)*3^(1/2))',0) • x = -0.3333 • f = -0.1486

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