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Page de garde présentation Propriétés des cycles dominants pour des cellules robotisées sans attente Fabien Mangione (GILCO) Nadia Brauner (Leibniz-IMAG) Bernard Penz (GILCO)

M2 Mm-1 M1 Mm Robot ( hoist ) M0 Mm+1 rail robot Machine 0 Machine de chargement Machine m+1 Machine de déchargement porteur Cuve 3 Cuve m-1 Cuve 0 (de chargement) Cuve 1 Cuve 2 Cuve m Cuve m+1 (de déchargement) Cellules robotisées • Galvanoplastie

Problèmes spécifiques du HSP • Contraintes de fenêtre de temps • durée minimale : temps de traitement • durée maximale : coût élevés, dégradation, qualité • Préemption interdite • Robot • Machines

Etat de l’art • Hoist Scheduling Problem • Heuristics : [Yih 94] • Branch and Bound : [Ng 96] • PLC : [Baptiste et al. 96] • Flow shop robotisé • Complexité : [Crama and van de Klundert 96] • Cas particuliers : [Finke and Brauner 96], [Agnetis 00]

Tankj Tank j+1 Notations • m nombre de machines sur la ligne •  temps de trajet de la machine i à i+1 • li temps de process minimum • ui temps de process maximum • pi temps de process sur la machine i • j activité j

Représentation des cycles • m = 4 • Cycle 03142 M5 M4 M3 M2 M1 M0

Ligne de 4 et 5 cuves (m=4 ou 5) Temps de trempe fixes (ui = li) Production d’un type de pièce Ligne équilibrée (li = p i) Trouver les cycles de production optimaux. Objectifs

Cycles de production • k-cycle : Cycle de production durant lequel exactement k porteurs entrent et exactement k porteurs sortent de la ligne. • Théorème (Agnetis) : Les cycles optimaux sont à chercher parmi les 1,2…(m-1)-cycles

M5 M4 M3 M2 M1 M0 M5 M4 M3 M2 M1 M0 Existence d’un 1-cycle • k = 1 p  [0,4[ : cycle identité :  i • k = 1 p  4(m-1) : cycle  (m-i) (Crama)

M5 M4 M3 M2 M1 M0 Existence d’un 2-cycle • k = 2 p  [4, 6[ (m  4) p  [4, 8[ (m > 4) • cycle

Existence d’un 2-cycle • Preuve : p  [4, 6[ : • mouvements réalisables entre  et +1 •  -1 ,  +2 , aucune activité • séquence ,  -1,  +1 : activité suivante :  • séquence -1,  +1,  : activité suivante : +2 • Cycle faisable :

Existence d ’un 2-cycle • Preuve : p  [6, 8[ m  5 : • Impossibilité d’avoir 3 porteurs en même temps sur la ligne • Conditions d ’entrée d’un produit P2 : • P1 sur machine M2 ou M3 • Conditions d ’entrée d’un nouveau produit P3 : • P1 sorti • P2 sur la machine Mi avec i > 3 • 1 et 2-cycles dominants • Borne minimale : (0,1,0,2,…,m,m-1,m)

M5 M4 M3 M2 M1 M0 Existence d ’un (m-1)-cycle • k = m-1 p  [4(m-1)-2, 4(m-1)[ :

Preuve pour m=4 • Dominance sur les 1-cycles : • Enumération et comparaison • Dominance sur les 2-cycles : p=10 T(C3)=18  • m0(Ck)= m4(Ck)=2k • m1(Ck)= 4k-2|01| m3(Ck)= 4k-2|34| • m1(Ck) 4k -|12| -|23| -|102| -|243| • T(Ck)=mi(Ck) + Wi (Ck)

Wi(C2)  10|01|+ 10|12|+ 10|23|+ 10|34 | +6|102|+ 6|243| • T(C2)  16*2+8|01|+ 8|12|+ 8|23|+ 8|34 | +5|102|+ 5|243| • occurrence d ’une de ces séquences : cycle dominé • Enumération des séquences entre 1 et 2 • Etudes des 2-cycles réalisables à partir de ces séquences

42 22 45 08 03 32 01 11 05’ 34 12 43 05 21 24’ 24 46 04 41 31 14 46’ 33 44 13 02 33’ 06 48 23 Preuve pour m=4 et k>4

p p p 4 4 4 Dominance pour m=5 • (p +4)+ 4  T(C4)  (p +4) + 4 + 2/(m-1) • 0…1 - 0…1 - 0…1 - • au mieux m-2 activités entre 0 et 1consécutives • k activités à répartir entre les 1 et 0 consécutives • si retard engendré supérieur 4 par activité alors cycle dominé • Etude des différentes possibilités et les retards engendrés • retards trop importants • entraîne des cycles non réalisables

Conclusion et perspectives • Conjecture d ’Agnetis se confirme pour m=4 et semble se confirmer pour m=5 (cellule équilibrée) • Preuve de l ’existence d ’un (m-1)-cycle pour m quelconque • Cycles optimaux pour m=4 et m=5

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