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随机过程. 教材选择现代外国统计学优秀著作译丛 【 美 】S. M. Ross 著 何声武 等译 STOCHASTIC PROCESSES 中国统计出版社 1997.7. 第一章 基础知识 1.1 概率 1.2 随机变量 1.3 期望 1.4 矩母函数、特征函数及拉普拉斯变换 1.5 条件期望 1.6 指数分布、无记忆性及失效率函数 1.7 极限定理 1.8 随机过程. 一 . 概率 1. 数 K= （ ） x 2. 函数 y=f （ x ）
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随机过程 教材选择现代外国统计学优秀著作译丛 【美】S. M. Ross 著 何声武 等译 STOCHASTIC PROCESSES 中国统计出版社1997.7
第一章 基础知识 • 1.1 概率 • 1.2 随机变量 • 1.3 期望 • 1.4 矩母函数、特征函数及拉普拉斯变换 • 1.5 条件期望 • 1.6 指数分布、无记忆性及失效率函数 • 1.7 极限定理 • 1.8 随机过程
一.概率 1.数 K=（ ） x 2.函数 y=f（x） 3.概率函数 （1）概率（样本）空间 （S） 包含所有样本点（基本事件E）空间 （2）三条公理 0 P(E) 1 P(S)=1 E ,E ,……，互不相容即E ,E = (i j),有P( )= 称P(E)为事件E的概率。（可列可加性）
（3）四个简单推论 如果E F,则P(E) P(F) P(E)=1-P(E),其中E是E的补集 P( )，当E 互不相容时 P( ) （布尔不等式） （4）极限事件
命题1.1.1（概率的连续性）如果是 递增或递减的事件序列，则 证明：假设是 递增序列 定义： 易证是互不相容事件 同理，若是递减序列，则 递增 所以结论得证。
命题1.1.2 波莱尔-坎泰利定理：设 为一系列事件，若 ，则P{无穷多个 发生}=0 证明：记 P(无穷多个 发生)
命题1.1.3(波莱尔-坎泰利引理逆命题) 设 为一系列独立事件，使得 ， 则p{无穷多个 发生}=1 证明：P{无穷多个 发生}= 所以，P{无穷多个 发生 }=1
二、随机变量 1、随机变量和实数的关系 设B代表样本空间内的一个子集，由样本点构成，为随机事件 A代表实数集上的一段区间，则
2.随机变量的密度函数 a.离散型随机变量 b.连续型随机变量
3.随机变量的分布函数 a.离散型分布函数 b.连续性分布函数
4.两个随机变量的关系 • 联合分布函数 • 边缘分布函数 则
5.两个变量之间的联合密度函数 其中f(x,y)为 x,y 联合密度函数 6.独立变量的特殊性质 若 x,y 为独立随机变量 有n个独立随机变量
x连续 三、数学期望 1)E[x] x离散 h(x)可逆连续 h（x）=Y 2） E[Y]=E[h(x)]= ] Var[x]= =E [ 3） -[E[x] 4） Cov(X,Y) =E{[x-E[x]][Y-E[Y]]} 协方差 =E(XY)-E(X)E(Y)
, … E[ X= E[x] = ]= Var[ ] = 5) = 不独立 例1.3（a）匹配问题 在一次集会上，n个人把他们的帽子放到房间的中央混合在一起，而后每个人随机地 选取一项，我们感兴趣的是拿到自己的帽子的人数X的均值与方差 . = 解： 第i个人拿对 1 = 0 其它 x= = Ex=
Var[ ]=pq= =1 例1.3（b）某些概率恒等式 以 记事件，定义示性变量 ， j=1,2…n … 1）
2） 发生总个数 （ 3）
4） I= 1 – I= 1-I= = P(N>0) = E[I] = P{N>0} P（ ） E[I] = E[ ] = =E[ E[N]= E[
四、矩母函数、特征函数以及拉普拉斯变换1、矩母函数四、矩母函数、特征函数以及拉普拉斯变换1、矩母函数 1)、定义 X的矩母函数定义为： t R, (t)= E[e ] = e dF( ) 对 逐次求导并计算在t=0点的值得到X的各阶矩，即： （t）=E[ e ] (t) =E[ e ] …… (t) =E[ e ]
当t=0时， (0) =E[ ]， n ≥ 1 2)、唯一的决定了分布函数 （t）= E[ e ] = e dF( ) = e f( )d 3)、例1.4 设X与Y是独立的正态随机变量，各自的均值为μ1与 μ2，方差为 1与 2，求它们的和的矩母函数 解： X+Y(t)= X (t) Y(t) (由独立性) =e
所以， X+Y(t) ~ N( , ) 4)、若 ~ p( ),p{ =n}=e * ,n=1,2,3… 求的矩母函数。 解： （t）=E( e )= e * p{ =n} = e * e * =e =e * e =e
2、特征函数 1)、定义 （t）=E [ e ], I = ， 2)、唯一决定的分布： 定义随机变量X1，…,Xn,Y= ai xi 则： （t）= E [Y] = E[e ] = E[ e ] = E[e ]
令ai=1,则有 ： E[e ] = (t) 3、拉普拉斯变换 令s=a+bi (s)=E[e ] 分布F的拉普拉斯变换的定义为： (s) = e dF( ) 介入思想 g(x) (x) (s) = e dg( ) 与矩母函数、特征函数一样，拉普拉斯变换唯一决定分布
五、 条件期望 1.如果 与 是离散随机变量，对一切使 的条件概率函数为 . 的条件分布函数为 . 的条件期望为 2.如果 与 有联合概率密度函数 ,则对一切使 的y, 给定 时， X的条件概率密度函数为 。 X的条件概率分布函数为
X的条件期望为 3.双期望公式 离散 连续
证明： X与Y是离散的随机变量，
4．例1.5（a）随机个随机变量之和 …，为一列独立同分布的随机变量；与一非负整值随机变量N 独立。在对N取条件的情况下计算 的矩母函数。 解：
5.例1.5（b） 一名矿工陷进一个有三扇门的矿井，第一扇门走2个小时到达安全区， 第二扇门走3个小时回到矿井，第三扇门走5个小时回到矿井。假定矿工总 是等可能的在3扇门中选择一扇。X=矿工到达安全区的时间。求 。 解：设Y=最初选择的门，则 Y=1时，X=2. Y=2时，X= +3. =回到矿井后再找到安全区的时间。 与X同分布 则 Y=3时，X= +5. 或
6.示性函数 E:任意事件 X:示性随机变量 P(E) 令 1） 2) 3)
7．例1.5（c） X~F(x)和Y~G(y)是独立随机变量，则X+Y的分布记为F*G，称为F与G的卷 积。X+Y的分布为： （因为X与Y独立，所以条件Y=y不影响X的分布及概率。） 一般地， 是F下的n重卷积，是n个独立，且分布都为F的随机变量之和的分布。
8.例1.5（d） 选票问题 A得n张票，B得m张票，n>m。假定选票的一切排列次序是等可能的，证明 在记票过程中，A的票数始终领先的概率是 。 解： 表示A的票数始终领先的概率。 以得到最后那张选票的候选人为条件 而在A得最后一张票的条件下，A始终领先的概率与A得到（n-1）票而B得 m票的情形下要算的概率是一样的；B得最后一票的条件下即为 . 用数学归纳法对m+n进行归纳，
m+n=1时， 假设m+n=k时成立，即 ,（n+m=k）成立， 则当n+m=k+1时， 结论得证。
9.例1.5（e） 匹配问题（续） n个人n顶帽子，没人随机选一顶，计算恰有k个人匹配的概率P(E). 解：1）.指定k人 2). 3).以E表示全不匹配及 以第一个人是否选到自己的帽子为条件，记为 。 . 是n-1个人从n-1顶帽子中各取一顶都不匹配的概率。有一个人 的帽子不在这n-1顶帽子中，有两种情况： .都不匹配，且被第一个人拿走 帽子的人拿到第一个人的帽子， 。 .都不匹配，被第一个人拿走帽子 的人拿到了另一个人的帽子， 。
即 又有 ， 一般地有，
对任意固定的k个人，只有他们选中自己的帽子的概率是对任意固定的k个人，只有他们选中自己的帽子的概率是 其中， 是其余n-k个人从他们自己的那些帽子中选取但全不匹配的概率。 任意k个人恰好匹配的概率即为 因为 当 （ 为1的柏松分布）。 时，概率近似的等于
六、 指数分布、无记忆性及失效率函数 1.一个连续随机变量X的概率密度函数若为 或等价地其分布为 则称X具有参数为 的指数分布. 指数分布的矩母函数为
2.生存函数： 4.指数随机变量之所以有用是因为它们具有无记忆性 (1) 等价于
七、极限定理 1.强大数定律 如果X,X,…..独立同分布，具有均值，则 2．中心极限定理 若X,X,……独立同分布，具有均值与方差，则
八、随机过程 X（w） 一个随机过程 是一族随机变量，即对指标集T中的每个t，X(t)是一个随机变量。 t: 时间 X(t)：过程在时刻t的状态 T是一个可数集，则称X为一个离散时间的随机过程； T是一个连续统，则称它为连续时间过程。 X的任一现实称为一条样本途径。 连续时间随机过程{X(t),t T}称为有独立增量，若对一切 ， 随机变量 相互独立。 称它有平稳增量，如果 对一切t有相同的分布。
策划设计： 温建宁老师 • 制作地点：上海金融学院统计系金融统计研究所 • 制作时间：2012年4月12日 • 制作团队： 段佳佳 1.1 尹玉 1.2 李梦萱 1.3 赵家宝 1.4 杜晓娟 1.5 1.8 黄月梅 1.6 沈丹青 1.7
