1 / 12

§6 向量范数与矩阵范数

§6 向量范数与矩阵范数. 由于存在舍入误差,我们用前述的各种直接法求解线性方程组 Ax=b 时一般地只能得到近似的计算解 x c 。为了度量 x c 与方程组准确解 x * 的接近程度以及讨论他们之间的误差估计问题,我们需要对向量与矩阵的大小引入度量,即 向量范数 与 矩阵范数 。这些范数可以看成是实数绝对值的概念的自然扩展。. 6.1 向量范数. 定理 6.3 R n 上任意两个向量范数是彼此等价的。 应用向量范数可以给出 R n 中 两个向量间的距离 的概念。. 定义 6.6 设向量序列 k=1,.

Download Presentation

§6 向量范数与矩阵范数

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. §6 向量范数与矩阵范数 • 由于存在舍入误差,我们用前述的各种直接法求解线性方程组Ax=b时一般地只能得到近似的计算解xc。为了度量xc与方程组准确解x*的接近程度以及讨论他们之间的误差估计问题,我们需要对向量与矩阵的大小引入度量,即向量范数与矩阵范数。这些范数可以看成是实数绝对值的概念的自然扩展。

  2. 6.1 向量范数

  3. 定理 6.3 Rn上任意两个向量范数是彼此等价的。 • 应用向量范数可以给出Rn中两个向量间的距离的概念。

  4. 定义6.6设向量序列 k=1, 2,…,向量如果 则称向量序列{x(k)}收敛于向量x*, 记作 易见,

  5. 6.2 矩阵的范数 定义6.8设‖‖是以n阶方阵为变量的实值函数,且满足条件: (1)非负性:‖A‖0 ,且‖A‖=0当且仅当A=0 (2)齐次性: ‖A‖=| |‖A‖, R (3)三角不等式:‖A+B‖‖A‖+‖B‖ (4)三角不等式:‖AB‖‖A‖‖B‖ 则称‖A‖为矩阵A的范数. ,也称矩阵的列范数. 矩阵的1-范数:‖A‖1 ,也称为谱范数. 矩阵的2-范数:‖A‖2

  6. 例7设矩阵 矩阵的-范数:‖A‖,也称为行范数. 矩阵的F-范数:‖A‖F 求矩阵A的范数‖A‖p ,p=1,2, ,F. 解‖A‖1=4 , ‖A‖=5 , ‖A‖F

  7. 设‖‖是一种向量范数, 则定义 称之为由向量范数派生的矩阵算子范数.矩阵的算子范数满足 ‖Ax‖‖A‖‖x‖, xRn 把满足上式的矩阵范数称为与向量范数相容的矩阵范数. 对于p=1,2,,矩阵范数‖A‖p是由向量范数‖x‖p派生的矩阵算子范数,所以‖A‖p是与‖x‖p相容的矩阵范数.但‖A‖F不是一种算子范数,却与‖x‖2是相容的. 设‖‖是一种算子范数, 则

  8. 矩阵的范数与矩阵的特征值之间也有密切的联系.设是矩阵A的特征值,x是对应的特征向量,则有矩阵的范数与矩阵的特征值之间也有密切的联系.设是矩阵A的特征值,x是对应的特征向量,则有 Ax= x 利用向量和矩阵范数的相容性, 则得 ||‖x‖=‖x‖=‖Ax‖‖A‖‖x‖ 于是 ||‖A‖ 设n阶矩阵A的n个特征值为1, 2, …, n, 则称 为矩阵A的谱半径.对矩阵的任何一种相容范数都有  (A)‖A‖ 另外,  >0, 一种相容范数, 使 ‖A‖ (A)+

  9. 任何两种矩阵范数也具有等价性 m ‖A‖ ‖A‖M ‖A‖ , ARnn 矩阵序列的收敛性也定义为

More Related