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. . z. . d z. d x. d y. y. x. 0. §9-3. 三重积分. 当 R 3 , 有 X =( x , y , z ) , d = d v. 三重积分. 则. 1. 直角坐标系下三重积分的计算. 直角坐标系下,记体积元素. d v =d x d y d z. 则. z. z = z 2 ( x , y ). y. z = z 1 ( x , y ). D. x. 0. (1) 化成一个定积分和一个二重积分. y = y 2 ( x ). a. b.
E N D
z dz dx dy y x 0 §9-3. 三重积分 当 R3,有 X=(x, y, z) , d = dv 三重积分 则 1. 直角坐标系下三重积分的计算 直角坐标系下,记体积元素 dv=dxdydz 则
z z=z2(x, y) y z=z1(x,y) D x 0 (1) 化成一个定积分和一个二重积分 y=y2(x) a b y=y1(x) 设 D 为 在 xy 平面上投影区域. 思考问题
z x+y+z=1 y 0 1 y x+y=1 D x x 1 例1.计算 其中是由平面x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 解:D: 0≤ y ≤1–x, 0 ≤ x ≤ 1
z 解:D: 0≤ y ≤ , 0 ≤ x ≤ x 0 y y D x 0 例2.计算 其中 是由抛物 柱面 及平面y=0, z=0,
z y=y2(x, z) y=y1(x, z) Dxz y 0 x
z Dyz y 0 x x=x1(y, z) x=x2(y, z)
z z=1 z= x2+y2 y 0 1 Dxy x 化为三次定积分,其中 例3. 将 是由 z= x2+y2 和 z=1所围的闭区域. 解:先对 z 积分,将 向 xy 平面投影. x2+y2=1 z= x2+y2 z=1 z=1 D: x2+y2≤1
z z=1 z= x2+y2 y 0 1 Dxy x
z Dxz y 1 0 1 x 解2:先对 y 积分,将 向 xz 平面投影: z= x2+y2 z=1 Dxy: x2 ≤z ≤1, 1 ≤x≤1 z= x2+y2 思考问题 先对 x 积分,怎样做?
z z2 z D(z) z2 y 0 x (2) 化为一个二重积分和一个定积分 :(x, y)D(z), z1≤z≤z2
z 1 D(z) y 0 1 x 例4.计算 其中 是由 z=x2+y2 和 z=1 所围成的闭区域. 解:D(z): x2+y2≤z z[0, 1]
z 1 1 0 y y 1x z=1xy x 1 D(x) x 0 1x 例5.计算 其中 是由平面 x+y+z=1 与三个坐标面所围闭区域. 解:D(x): 0≤ y ≤1–x, 0≤ z ≤1xy x : 0 ≤ x ≤ 1
x=x(u, v, w) y=y(u, v, w) z=z(u, v, w) 2. 三重积分的换元公式 设变换T: 将 uvw 空间中的有界闭域 * 变成 xyz 空间中的有界闭域 ,且满足 (1) x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(*)
(3) T : * 是一一对应 若 f (x, y, z)C( ),则
z 0 y x 3. 利用柱面坐标计算三重积分 M (r, , z) z M x=rcos • y=rsin y r z=z x (0≤r<+, 0≤≤2, <z<+)
z o y x 柱面坐标的三组坐标面分别为 r=常数 =常数 z=常数
= r 故 dxdydz=rdrddz
z z =0 z =1 y 0 D x 其中 由 例1.计算 与 z=1 所围闭区域. 解: z=1 z=r D: x2+y2≤1 z =r
z z=1 z=r y 0 1 x D
z y 0 1 x 例2.计算 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解: D: x2+y2≤1 思考问题
z y x 其中是由 例3.再解例1 与 z=1 所围闭区域. 解:用 = 截 得 D() 而 0≤ ≤2 故 原积分=
z 1 D( ) z= r r 0 1 z y x
z y 0 x 例4.再解例2 其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解:用 = 截 得 D() 而 0≤ ≤2 故 原积分 =
z 1 r 0 1 z y 0 x
z z M • r y y 0 x x P 4. 利用球面坐标计算三重积分 M (r, ,) x=OPcos = r sin cos y= OPsin = rsin sin z= r cos (0≤r<+, 0≤≤, 0≤≤2)
z y x 球面坐标的三组坐标面: r =常数 =常数 =常数 dxdydz= r2sindrdd
z y 0 x 例5.计算 其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}. 解:x2+y2+z2=1 r=1 用 = 截 得 D() 而 0≤ ≤2 故 原积分
1 r=1 0 1 z y 0 x z
z y a x 例6. 和 x2+y2+z2=a2 所围成闭区域. 解:x2+y2+z2=a2r=a 原积分
z y z a r=a x
z y z 0 x y 例7.计算 表为球坐标系中的三 次积分,其中 为x2+y2+(z1)2≤1. 解:x2+y2+(z1)2≤1 r=2cos 思考问题 1.若 :x2+(y -1)2+z2≤1? 2. ?