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Cálculo de vectores propios con alta precisión relativa con el algoritmo SSVD

Cálculo de vectores propios con alta precisión relativa con el algoritmo SSVD. Juan Manuel Molera y Froilán M. Dopico DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. Outline. High Relative Accuracy Algorithms for the symmetric eigenvalue problem SSVD Algorithm

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Cálculo de vectores propios con alta precisión relativa con el algoritmo SSVD

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Presentation Transcript

  1. Cálculo de vectores propios con alta precisión relativa con el algoritmo SSVD Juan Manuel Molera y Froilán M. Dopico DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

  2. Outline • High Relative Accuracy Algorithms for the symmetric eigenvalue problem • SSVD Algorithm • Computing (more) accurate eigenvectors with the SSVD Algorithm • Conclusions Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  3. Sometimes, QR Algorithm can fail double(eig(sym(A))) eig(A) Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  4. SSVD and J-ORTHOGONAL Algorithms … double(eig(sym(A))) eig(A) …can provide High Relative Accuracy Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  5. …. …. - - + + + …. …. SSVD Algorithm Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  6. If the SVD is computed with small multiplicative errors Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  7. Step 2.1: Clusters Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  8. Steps 2.2, 2.3 Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  9. Step 2.2: Putting the signs -- Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  10. Step 2.2: Putting the signs -- +++ Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  11. -- +++ Step 2.3: Getting the eigenvectors Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  12. If the SVD is computed with small multiplicative errors Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  13. -- +++ Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  14. - - - + + …. The precision of the eigenvalues is always that of the singular values Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  15. The precision of the eigenvectors is determined by the singular values relgap - - - + + …. Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  16. - - - - - - + + + + - - - - - - + + + + What can go wrong? Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  17. - - - - - - + + + + - - - - - - + + + + It can be fixed! Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  18. - - - + + + Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  19. - - - - - - - - + + Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  20. How is it done? - - - + + + Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  21. How is it done? - - - + + + Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  22. How is it done? - - - + + + Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  23. Algorithm to get P Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  24. - - - + + + Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  25. Highlights Algorithm SSVD • It uses an SVD as starting point • It uses orthogonal rotations • It delivers the same precision for evalues as the precision provided for singular values • For the evectors, it is able to provide “relgap()-governed” errors, surpassing the “relgap()-sing. vectors” delivered by the SVD Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

  26. Conclusions Algorithm SSVD Algoritmo SSVD: Vectores propios con alta precisión relativa

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