TABLEAU D'AMORTISSEMENT

1. TABLEAU D'AMORTISSEMENT Auteur: Mr GRASSET – Lycée Clos Maire BEAUNE

2. TABLEAU D'AMORTISSEMENT Intérêts composés Les annuités Tableau d’amortissement à annuités constantes Tableau d’amortissement sous EXCEL Tableau d’amortissement à amortissements constants Exploitation pédagogique

3. INTERETS COMPOSES Définition: Un capital est placé à intérêts composés lorsque, à la fin de chaque période de placement (mois, trimestre, année…), l’intérêt de la période est incorporé au capital pour le calcul de l’intérêt de la période suivante. Calcul de la valeur acquise: Un capital C0 est placé au taux périodique t, la valeur acquise Cn au bout de n périodes est: L’intérêt I est: Exemple: un capital de 10000€ est déposé au taux annuel de 4% pendant 8 ans. La capitalisation est annuelle. t=0,04 et n=8 € Précédent Sommaire Suivant

4. Calcul d’une valeur actuelle La valeur actuelle d’un capital Cn est le capital C0 qu’il faut placer à l’époque 0 pour obtenir Cn à l’époque n. Exemple: La valeur acquise d’un capital placé au taux annuel de 6,3% pendant 5 ans est 8143,62 € (capitalisation annuelle). Calcul du capital placé: 8143,62 x (1+0,063) -5 = 6000 € Précédent Sommaire Suivant

5. LES ANNUITES On appelle annuité un règlement constant versé pendant des intervalles de temps successifs égaux. Valeur actualisée d’annuités constantes: C’est le cas lorsque l’on verse à intervalles réguliers la même somme d’argent pour se constituer un capital. Exemple: pour rembourser une dette, on verse chaque année en fin d’année pendant 4 ans une somme de 500€ (taux d’actualisation annuel: 6%; capitalisation annuelle). 500 500 500 500 Somme versée 0 année 1 2 3 4 Précédent Sommaire Suivant

6. Calculons la valeur actualisée totale notée V0 au début de la première année. Le premier versement est effectué 1 an après la date choisie pour calculer l’actualisation. Nous observons que les valeurs actualisées successives forment une suite géométrique de premier terme: U1 = 500 x 1,06-1 Et de raison q = 1,06-1 Leur somme est: Précédent Sommaire Suivant

7. Si, pendant n périodes, on verse en fin de chaque période une même somme « a » en vue de rembourser une dette, la somme des valeurs actualisées V0 de tous les versements, une période avant le premier versement est: t:taux par période a:versement constant n:nombre de versements Valeur acquise par des annuités constantes: On place chaque année, en début d’année pendant 4 ans, une somme a = 800€ (taux annuel 5%, capitalisation annuelle): 800 800 800 800 capital versé année 1 2 3 4 Le capital placé en début de première année a rapporté pendant trois ans quand arrive le début de la quatrième année Précédent Sommaire Suivant

8. Calculons la valeur acquise totale notée V4 au début de la quatrième année juste après le versement des 800€ Nous remarquons que les valeurs acquises 800; 800x1,05… forment une suite géométrique de premier terme: u1 = 800 et de raison q = 1,05 On peut donc calculer leur somme en appliquant la formule: C’est-à-dire: La valeur acquise Vn par l’ensemble des versements constants au moment du dernier versement est donnée par: t:taux par période a:versement constant n:nombre de versements Précédent Sommaire Suivant

9. L’ESSENTIEL Intérêts composés Cn : valeur acquise C0 : capital initial t : taux par période n : nombre de périodes Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes t:taux par période a:versement constant n:nombre de versements Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes t:taux par période a:versement constant n:nombre de versements Précédent Sommaire Suivant

10. TABLEAU D’AMORTISSEMENT L’emprunt indivis: c’est un emprunt contracté auprès d’un seul prêteur: banquier, établissement financier… en opposition avec un emprunt obligataire pour lequel il y a plusieurs prêteurs. L’emprunteur verse au prêteur des annuités ou versements de remboursement comportant des intérêts sur la somme restant due et le remboursement d’une partie de la dette. Tableau d’amortissement: L’ensemble des éléments de remboursement est présenté dans un tableau qui précise pour chaque période: • Le capital restant dû; • L’amortissement du capital ou remboursement du capital; • L’intérêt; • L’annuité ou versement de remboursement. Annuités constantes: lorsque les versements de remboursement d’un capital sont égaux, on parle de remboursement par annuités constantes. Pour le calcul des annuités constantes, il faut qu’il y ait équivalence entre le montant emprunté et les annuités. ou Précédent Sommaire Suivant

11. Méthode pour compléter un tableau d’amortissement à annuités constantes. • Calcul de l’annuité ou montant de l’échéance. On utilise la relation: I = D x t • L’intérêt. Taux périodique intérêt Capital restant dû • L’amortissement. M + I = a Annuité ou versement amortissement intérêt • Capital restant dû. Il se calcule à partir de la ligne précédente. Précédent Sommaire Suivant

12. Titre des colonnes du tableau Emprunt de 5000€ à 6% l’an. Il rembourse tous les mois la même mensualité pendant 8 mois. On prépare un tableau ayant pour titres de colonne: V0 = 5000 ; tmensuel = 0,005 et n = 8 € Première ligne du tableau: On reporte le capital restant dû et l’annuité; On calcule l’intérêt correspondant; B2 x 0,005 On en déduit l’amortissement; M = a - I Colonne annuité: On complète la colonne « annuité » en recopiant l’annuité déterminée précédemment Colonne amortissement: On complète la colonne « amortissement » en calculant les nombres de la suite géométrique ayant pour 1er terme l’amortissement de la première ligne et pour raison 1+t: Dans C3 écrire: C2*(1+0,005) et recopier Colonnes restantes: On en déduit la colonne «Capital restant dû » et la colonne « intérêt ». Dans B3 écrire: B2-C2 et recopier Précédent Sommaire Suivant

13. Tableau d’amortissement à amortissement constant. Dans le cas de l’amortissement constant, l’emprunteur rembourse la même somme en ce qui concerne le capital, c’est-à-dire que les amortissements vont être constants mais les annuités vont varier. M: amortissement V0: capital emprunté n: nombre de périodes. Calcul de l’amortissement: M1 = M2 = ……. = Mn Annuité ou versement Calcul du montant de l’annuité: In = Dn x t an = In + Mn Taux périodique amortissement intérêt Capital restant dû intérêt M: amortissement V0: capital emprunté n: nombre de périodes. In: intérêt correspondant à la période Précédent Sommaire Suivant

14. Exemple de construction d’un tableau d’amortissement à amortissement constant. • On emprunte 3200€ que l’on rembourse aux conditions suivantes: • durée : 4ans • remboursement : en 4 versements en fin d’année, les amortissements sont constants • taux annuel: 10% Première ligne du tableau: On complète le capital restant dû; B2 = 3200 On calcule l’amortissement; C2 =3200/4 recopier Colonne « capital restant dû »: On complète la colonne: B3 = B2 – C2 et recopier Colonne « intérêts »: On complète la colonne: D2 = B2 *0,1 et recopier Colonne « annuités »: On complète la colonne: E2 = D2 + C2 et recopier Précédent Sommaire Suivant

15. CONCLUSION Le tableau d’amortissement précise pour chaque période: Le capital restant dû L’amortissement du capital L’intérêt Le montant de l’échéance Si les annuités sont constantes, les amortissements successifs forment une suite géométriques de raison (1+t) Si les amortissements sont constants, les annuités forment une suite arithmétique de raison Précédent Sommaire Suivant

16. En classe de Terminale BAC Professionnel Tertiaire (comptabilité et commerce), les amortissements sont étudiés. L’exemple de séquence proposée permet de traiter un crédit automobile. Je propose une activité destinée à constituer un tableau d’amortissement sur ordinateur, à l’aide du logiciel de calcul EXCEL. Par ce biais, nous utilisons la transversalité entre les mathématiques, la comptabilité, l’informatique mais également le domaine commercial. EXEMPLE TRAITE: Monsieur DURAND souhaite changer sa voiture. Il va emprunter une somme de 15000 euros sur 5 ans et la rembourser par mensualités. La banque lui propose un taux de 5,5% annuel. « RECETTE DU TABLEAU D’AMORTISSEMENT » INGREDIENTS • Le capital emprunté: V0 = ………………….. • La durée en mois: n = ……… mois • Le taux annuel : T = ……………. USTENSILES • La formule du taux proportionnel mensuel : t = ……………… • La formule générale de l’intérêt mensuel : i = ……………….. • La formule générale de la mensualité : a = …………………….. • La formule générale de l’amortissement mensuel : amortissement = ………….. Précédent Sommaire Suivant

17. PREPARATION Sur la feuille de calcul EXCEL, remplir les 6 colonnes suivantes: Colonne A: CAPITAL Colonne B: DUREE Colonne C: TAUX Colonne D: INTERET Colonne E: MENSUALITE Colonne F: CAPITAL AMORTI Précédent Sommaire Suivant

18. Remplissons la colonne A du capital: • Noter 100000 dans la cellule A2: « capital de départ » • A3=SI(A2>F1;A2-F1;0): « capital restant dû » • Répéter la procédure jusqu’à A61. Remplissons la colonne B de la durée: • Noter 60 dans B2 • Noter 2 dans B3 • B4=B3+1 et ainsi de suite jusqu’à B61 Passons au taux dans la colonne C: • C2=5,5/(100*12) : « taux mensuel proportionnel car l’intérêt va être calculé par mois ». • Copier ce résultat jusqu’à C61 Précédent Sommaire Suivant

19. Calculons l’intérêt mensuel dans la colonne D: • D2=A2*C2 soit « intérêt=capital X durée » • Ajouter la condition : D3=SI(A3*C3>0;A3*C3;0) • Copier jusqu’à D61 Calculons la mensualité dans la colonne E: • E2=((A2xC2)/(1-PUISSANCE(1+C2;-B2)) • E3=SI(D3>0,1;E2;0) • Copier la cellule jusqu’à E61 Précédent Sommaire Suivant

20. Cliquer sur l’icône pour transférer votre tableau sous EXCEL. Calculons l’amortissement dans la colonne F: • F2=E2-D2 • Copier la cellule jusqu’à F61 Calculons le coût total du crédit: Dans la cellule E63, entrer: =SOMME(E2:E61)-100000 Vous devez obtenir: 14606,97303 Précédent Sommaire Suivant