第七章 图 形 变 换 （二）

1. 第七章 图 形 变 换 （二）

2. 主要内容： • 图形变换的数学基础 • 窗口视图变换 • 图形的几何变换 • 形体的投影变换 • 三维线段裁剪

3. 形体的投影变换 • 三维图形的基本问题: • 1. 在二维屏幕上如何显示三维物体？ • 存在的困难： • 显示器屏幕、绘图纸等是二维; • 显示对象是三维; • 解决方法: • 1)三维显示设备->正在研制中; • 2)投影; • 2. 如何表示三维物体？ • 二维形体： • 表示：直线段,折线,曲线段,多边形区域…; • 输入：简单（图形显示设备与形体维数一致）; • 三维形体： • 表示：空间直线段、折线、曲线段、多边形、曲面片; • 输入、运算、有效性保证－》困难; • 解决方法：各种用于形体表示的理论、模型、方法;

4. 形体的投影变换 • 3. 如何反映遮挡关系？ • 物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡关系; • 遮挡关系是空间位置关系的重要组成部分; • 解决方法：消除隐藏面与隐藏线; • 4. 如何产生真实感图形? • 何谓真实感图形? • 逼真的; • 示意的; • 人们观察现实世界产生的真实感来源于: • 空间位置关系：近大远小的透视关系和遮挡关系; • 颜色分布：光线传播引起的物体表面颜色的自然分布; • 解决方法：建立光照明模型、开发真实感图形绘制方法；

5. 形体的投影变换 • 三维图形的基本研究内容: • 1）投影变换; • 2）三维形体的表示; • 3）消除隐藏面与隐藏线; • 4）建立光照明模型、开发真实感图形绘制方法; • 投影变换:把三维物体变为二维图形表示的过程;

6. 投影中心与投影平面间距离无限 投影中心与投影平面间距离有限 根据投影方向与投影平面的夹角 根据投影平面与坐标轴的夹角 形体的投影变换 • 平面几何投影:分类：

7. 形体的投影变换 • 平面几何投影:分类： 透视投影 平行投影

8. 形体的投影变换 • 平面几何投影: -平行投影 ： • 投影中心与投影平面之间的距离为无限，只需给出投影方向即可； • 是透视投影的极限状态； 投影的方向 投影中心

9. 形体的投影变换 • 平面几何投影: -平行投影 ： • 根据投影线方向与投影平面的夹角，分为两类： • 正平行投影与斜平行投影 • 正平行投影：投影方向垂直于投影平面； • 正平行投影包括：正投影（三视图）和正轴侧投影 • 三视图：三个投影面和坐标轴相互垂直。 • 正轴侧：投影面和坐标轴呈一定的关系。

10. 形体的投影变换 • 三视图：主（正）视图、侧视图和俯视图

11. z a2 b2 a1 c2 y b1 c1 x 形体的投影变换 • 正平行投影-三视图 • 把三维图形在三个方向上所看到的棱线分别投影到三个坐标面上。再经过适当变换放置到同一平面上。

12. v z ty tx z y tz tz y ty x x o o tx u y y o’ (a,b) 形体的投影变换 • 正平行投影-三视图 • 变换矩阵(其中(a,b)为u、v坐标下的值) • 正视图

13. v z ty tx z y tz tz y ty x x o o tx u y y o’ (a,b) 形体的投影变换 • 正平行投影-三视图 • 俯视图

14. v z ty tx z y tz tz y ty x x o o tx u y y o’ (a,b) 形体的投影变换 • 正平行投影-三视图 • 侧视图

15. 形体的投影变换 • 正轴测投影 • 当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。 • 正轴测投影分类：正等测、正二测、正三测 • 正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。 • 沿三个轴线具有相同的变形系数。

16. 形体的投影变换 • 正轴测投影 • 正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。 • 沿两个轴线具有相同的变形系数。

17. 形体的投影变换 • 正轴测投影 • 正三测：投影平面与三个坐标轴交点到坐标原点距离都不相等。 • 沿三个轴线具有各不相同的变形系数。

18. 形体的投影变换 • 正轴测投影的形成过程 • 1）将空间一立体图形绕y轴旋转θy角 • 2）再绕x轴旋转θx • 3）最后，向z=0平面做正投影 • 由于这种投影的投影平面不与立体的轴线垂直－》同时可见到物体的多个面－》可产生立体效果。 • 经过正轴测投影变换后，物体线间的平行性不变，但角度有变化。 • 正轴测投影变换矩阵的一般形式：

19. 形体的投影变换 • 下面主要讨论正二测和正等测的投影变换矩阵，即确定变换矩阵中的θx角和θy角。 • 如何度量沿三个轴线方向的变形系数？

20. 形体的投影变换 ∴正二侧投影需满足： 假定Z轴上的单位矢量经变换后长度变为1/2；即Z轴的变形系数恒为1/2： 可得：θx=20。42’, θy =19。28’。 ∴变换矩阵为： 变换矩阵为

21. 形体的投影变换 正等侧投影需满足： 求得： 正等测图的变换矩阵为 正等测图的变换矩阵为：

22. 形体的投影变换 • 斜平行投影： 投影线与投影平面不垂直的平行投影；投影平面一般取坐标平面； • 斜等测投影 • 投影平面与一坐标轴垂直； • 投影线与投影平面成45°角； 与投影平面垂直的线投影后长度不变； • 斜二测投影 • 投影平面与一坐标轴垂直； • 投影线与该轴夹角成 arcctg(1/2)角； 该轴轴向变形系数为 ½。即与投影平面垂直的线投影后长度减半；

23. y (xp,yp,zp ) z (xs,ys) x (x,y,z) 形体的投影变换 • 斜平行投影求法： • 1．已知投影方向矢量为（xp,yp,zp） • 设形体被投影到XOY平面上 • 形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys) • ∵投影方向矢量为(xp,yp,zp) • ∴投影线的参数方程为：

24. y (xp,yp,zp ) z (xs,ys) x (x,y,z) 形体的投影变换 令

25. 形体的投影变换 • 则上面方程的矩阵式为： 其中，[x,y,z,1]表示用户坐标系下的坐标，[xs,ys,zs,1]表示投影平面上的坐标。

26. yc P’ β l zc α P(0,0,1) xc 形体的投影变换 • 2．设（xe,ye,ze）为任一点，（xs,ys）为（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影 • 设立方体上一点 P(0,0,1)在XcOcYc平面上的投影P' (lcosα,lsinα,0),投影方向为PP',PP'与投影面的夹角为β, α为投影与x轴的夹角，则投影方向矢量为(lcosα,lsinα,-1)

27. yc P’ β l zc α P(0,0,1) xc 形体的投影变换 • 现考虑任一点（xe,ye,ze）在XcOcYc平面上的投影（xs,ys） • ∵投影方向与投影线PP’平行 • 所以

28. yc P’ β l zc α P(0,0,1) xc 形体的投影变换 • 矩阵形式为： • 斜等侧中：l=1,β=45 • 斜二侧中：l=1/2, β=arctgl=63.4 • 正平行投影：l=0, β=90

29. 透视 － 基本知识 • 基本知识： • 透视投影是一种中心投影法，在日常生活中，观察外界的景物时，常会看到一些明显的透视现象。 • 如：站在街上，向远处看， • 1）会感到街上具有相同高度的路灯，显得近处的高，远处的矮。 • 2）即使路灯间的距离相等，视觉产生的效果是近处的间隔大，远处的间隔小，越远越密。 • 3）观察道路的宽度，会感到越远越窄，最后汇聚于一点。上述现象，称为透视现象。 • 产生透视的原因，可用下图说明：

30. 透视－ 基本知识 • 图中，AA',BB',CC'为一组高度和间隔都相等，排成一条直线的电线杆，从视点E去看，发现 • ∠AEA>∠BEB>∠CEC • 若在视点E与物体间设置一个透明的画面P,让P通过AA'，则在画面上看到的各电线杆的投影aa'>bb'>cc' • aa'即EA,EA'与画面P的交点的连线; • bb'即为EB，EB'与画面P的交点的连线。 • cc' 即为EC，EC'与画面P的交点的连线。 • ∴近大远小

31. 透视－ 基本知识 • 若连a,b,c及a',b',c'各点，它们的连线汇聚于一点。 • 而实际上，A,B,C与A，B，C的连线是两条互相平行的直线，说明空间中不平行于画面(投影面）的所有平行线的透视投影，即a,b,c与a',b',c'的连线，必交于一点，这点称为灭点。

32. 透视投影 • 条件：投影中心与投影平面间的距离有限； • 灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后收敛于一点，称为灭点. • 主灭点:平行于坐标轴的平行线产生的灭点。 • 透视投影按主灭点个数分为： • 一点透视 • 二点透视 • 三点透视 • 特点：能够产生近大远小的视觉效果，由此产生的图形深度感强，看起来更加真实。

33. y o z x 透视投影 • 主灭点数和投影平面切割坐标轴的数量相对应,即由坐标轴与投影平面交点的数量决定。 • 如投影平面仅切割z轴，则z轴是投影平面的法线，因而只在z轴上有一个灭点，平行于x轴或y轴的直线也平行于投影平面－》没有灭点。

34. 一点透视 • 一点透视（平行透视） ： • 人眼从正面去观察一个立方体，当z轴与投影平面垂直时，另两根轴ox,oy轴平行于投影平面。这时的立方体透视图只有一个灭点，即与画面垂直的那组平行线的透视投影交于一点。

35. 二点透视 • 二点透视（成角透视） • 人眼观看的立方体绕y轴旋转一个角度，再进行透视投影。 • 三坐标轴中oy轴与投影平面平行，而其它两轴与画面倾斜，除平行于oy轴的那组平行线外，其它两组平行线的透视投影分别在投影平面的左右两侧，作出的立方体透视图产生两个灭点。

36. 三点透视 • 三点透视（斜透视） • 投影平面与三坐标轴均不平行。 • 三组平行线均产生灭点。

37. 透视举例

38. 一点透视变换的变换矩阵 • 1)一点透视 • 设z轴上有一观察点（即视点）V(0,0,h) • 从V点出发将物体上的点P(x,y,z)投影到XOY平面上得到P' (x',y',0) • 由相似三角形可知：

39. 一点透视变换的变换矩阵 • 这时变换矩阵变为 的齐次坐标变换； • 可以看作先作变换

40. 一点透视变换的变换矩阵 • 再做变换 的合成。 • 在透视变换Mr下有：

41. 一点透视变换的变换矩阵 • 当z→时，x →0,y →0,z →-h • ∴(0,0,-h)为该透视的一个灭点。 • 同样，视点在(h,0,0)的透视变换，灭点在(-h,0,0) • 变换矩阵为

42. 一点透视变换的变换矩阵 • 视点在(0,h,,0)的透视变换，灭点在(0,-h,0) • 变换矩阵为 • 在变换矩阵中，第四列 的p,q,r起透视变换作用：

43. 一点透视变换的变换矩阵 • 当p、q、r中有一个不为0时的变换：假定q!=0,p=r=0. 对空间上任一点(x,y,z)进行透视变换结果如下： 进行规范化处理后，有：

44. 一点透视变换的几何意义 • 当y=0时： x’ = x y’ = 0 z’ = z 即处于y=0平面上的点，经过透视变换后没有变化。 • 当y=∞时 x’ = 0 y’ = 1/q z’ = 0 即当y->∞时，所有点的变换结果都集中到Y轴的1/q处，也即所有平行于Y轴的直线，变换后都将沿伸相交于该点。该点即为灭点。

45. 二点透视变换的变换矩阵 • 2)二点透视 • 在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用 • 当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; • 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：

46. 二点透视变换的变换矩阵 • 由上式可看出： • 当x->∞时，在X轴上1/p处有一个灭点； • 当z->∞时，在Z轴上1/r处有一个灭点；

47. 三点透视变换的变换矩阵 • 3)三点透视 • 类似，若p,q,r都不为0，则可得到有三个灭点的三点透视。

48. 三点透视变换的变换矩阵 • 由上式可看出： • 当x->∞时，在X轴上1/p处有一个灭点； • 当y->∞时，在Y轴上1/q处有一个灭点; • 当z->∞时，在Z轴上1/r处有一个灭点；

49. 透视投影的方法 • 1、一点透视图的生成 • 生成一点透视图时，通常在透视变换前，先将立体作一平移变换。

50. 透视投影的方法 • 变换过程： • 1）先作平移变换； • 2）再作透视变换； • 3）最后将结果投影到投影面。 • 由于向XOZ平面上投影，故一点透视变换的灭点选在Y轴上。变换公式：