بسم الله الرحمن الرحيم

بسم الله الرحمن الرحيم

منهج مادة ميكانيكا الكم رمز ورقم المقرر فيز 3132عدد الساعات 2 نظري • تعريف موجز بالمقرر:يهتم هذا المقرر بإحدى الفروع الهامة للفيزياء النظرية ويعالج المسائل الفيزيائية الدقيقة التي يعجز الميكانيكا التقليدية عن حلها. ويهتم بالفرضيات الأساسية لميكانيكا الكم – الدوال الموجية وخصائصها – معادلة شرود نجر وحلولها لعدد من التطبيقات الفيزيائية – المتذبذب التوافقي – معادلة شرود نجر في ثلاث أبعاد وفي الإحداثيات الكروية – ذرة الهدروجين ومستويات الطاقة – مؤثرات كمية الحركة الزاوية.

أهداف المقرر: • التعريف بميكانيكا الكم ومدى أهميتها في حل المعضلات الفيزيائية في العالم المجهري والإلكتروني للظواهر الفيزيائية والتي لا يوجد بدونها حل أو تفسير مقنع لهذه الظواهر.

مفردات المقرر: • 1-مقدمة عن الظواهر الكمية 2-الفرضيات الأساسية في ميكانيكا الكم: الدوال الموجية – التعامد والتسوية – مبدأ التراكيب –العاملات – علاقة التبادل – معادلة شرود نجر في الصورة العامة.3-الانتقال من ميكانيكا الكم إلى الميكانيك التقليدي: التطور الزمني للقيم الوسطية – نظرية أيرانفاست – ثوابت الحركة وقوانين الحفظ.

4-حل معادلة شرود نجر في بعد واحد: الجهد السلمي – الجهد اللانهائي – الحاجز الجهدي – الحفرة الجهدية – الجهد الدوري.5-المتذبذب التوافقي البسيط: حل معادلة شرود نجر باستخدام كثيرة حدود هيرميت – مستويات الطاقة الصفرية .6-حل معادلة شرود نجر في ثلاث أبعاد: ظاهرة التفسخ – جسيم في صندوق ذو ثلاثة أبعاد.7-ذرة الهيدروجين: معادلة شرود نجر – فصل حركة مركز الكتلة عن الحركة النسبية – حل معادلة الحركة النسبية بالإحداثيات الكروية – مؤثر كمية الحركة الزاوية Lz ,L2 الدوال الموجية المناسبة للمؤثرين Lz ,L2 – التبادل العكوس – مستويات الطاقة لذرة الهيدروجين .

الكتاب المقرر: Introduction to Quantum Mechanics /David J. Griffiths Stephen Gasiorowicz / Quantum Physics

المراجع : • Stephen Gasiorowicz / Quantum Physics • مقدمة في ميكانيكا الكم تأليف :د.أرباب ابراهيم ود.إبراهيم بشرى • ميكانيكا الكم د .محمد نبيل يس بكري و د.صلاح الدين يس بكري • مقدمة في ميكانيكا الكم , تأليف بي.تي.ماثيوز • أصول علم فيزيقا الكم , تأليف:د.محمود أحمد الشربيني

للتواصل الالكتروني في حال عدم فهم أي نقطة أو جزئية , ولإرسال الواجبات وحلول التمارين وسيتم بإذن الله تعالى موافاتك بالنتيجة على بريدك الخاص • اتصلي بالبريد الالكتروني التالي • zz-alfull@hotmail.com • أو zz_alfull@yahoo.com

المحاضرة الأولى مقدمة للظواهر الكمية لقد شهدت نهاية القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين العديد من الظواهر الفيزيائية التي لم يتيسر فهمها باستخدام النظريات الكلاسيكية المعروفة سابقا ومن أهم هذه الظواهر ظاهرة إشعاع الجسم الأسود والظاهرة الكهروضوئية وظاهرة كمبتون والتي تأخر تفسيرها إلى أن وضعت نظرية جديدة تحدد طبيعة الموجات والجسيمات

اشعاع الجسم الأسود : • يمتص الجسم الأسود كل الإشعاع الساقط عليه , ومن المعروف إن الجسم عندما يمتص كمية من الحرارة يبعث الجسم هذه الحرارة بعد إن يصل إلى حالة الاستقرار الحراري وهي الحالة عندما تكون درجة حرارة السطح ثابتة .وقد كانت دهشة العلماء عندما لاحظوا أن الجسم السود يمتص كل الألوان الساقطة عليه وبعد فترة يبعث هذا الإشعاع مرة أخرى .ويمكن تصور الجسم الأسود على انه تجويف به فتحة صغيرة يدخل منها الإشعاع ويبدأ الإشعاع بالانعكاسات المستمرة بداخله إلى أن يفقد كل طاقته بالداخل انظر الشكل

ويوضح الشكل التالي النتائج التجريبية لمنحنيات توزيع شدة الإشعاع في طيف الجسم الأسود عند درجات حرارة مختلفة من دون وجود تفسير لها

ونلاحظ منها أن الشدة الإشعاعية (كثافة الطاقة) للجسم الأسود تزداد بزيادة درجة الحرارة المطلقة ولهذا وضع العالم ستيفان قانون تجريبي لتفسير هذه الزيادة وينص على أن : الشدة الإشعاعية للجسم الأسود U تتناسب طرديا مع الأس الرابع لدرجة الحرارة T حيث s ثابت ستيفان .

تفسير رايلي وجونز • لقد حاول العلماء في نهاية القرن ال19 تقديم نموذجا فيزيائيا يتنبأ بهذه التوزيعات الطيفية وذلك من وجهة النظر الكلاسيكية فقدم العالمان رايلي وجونز تصورا لكيفية اشعاع الجسم الأسود على النحو التالي :بما أن جدران الجسم تتكون من ذرات وهذه الذرات بها شحنات تتحرك حركة اهتزازية بناء على النظرية الكلاسيكية التي تنص بأن الشحنات المتسارعة تنطلق منها موجات كهرومغناطيسية وبالتالي فإن الإشعاع يمكن أن ينطلق من هذه الذرات وبهذه الطريقة ينبعث الإشعاع من الجسم وبناء على ذلك وضع رايلي وجونز القانون التالي:

حيثk هو ثابت بولتزمان وlطول موجة الضوء المنبعث وينطبق هذا القانون بصورة جيدة مع التجارب المعملية في حالة الأطوال الموجية الطويلة (منخفضة الطاقة) ولكن في حالة الأطوال الموجية القصيرة أي القريبة من الصفر تصبح كثافة الطاقة المنبعثة لانهائية ولا يتفق هذا مع التجربة فنحن نعلم أن الأشعة فوق البنفسجية لها طول موجي قصير جدا ولهذا السبب أصبحت هذه المشكلة تعرف بإسم كارثة الأشعة فوق بنفسجية

وفي نفس الصياغ قدم العالم فين افتراضه بأن الإشعاع عبارة عن غاز من الجزيئات وتوصل إلى أن توزيع هذا الإشعاع يعطى ب ويتفق هذا القانون مع الطاقات العالية في الأطوال الموجية القصيرة ولكنه فشل في تفسير الجزء الخاص بالأمواج الطويلة

تفسير اشعاع الجسم الأسود: لم تفلح جميع القوانين السابقة في تفسير اشعاع الجسم الأسود بصورة كاملة , وكانت محدودة في تطابق النتائج التجريبية والنظرية ,ولذلك توصل العالم ماكس بلانك إلى أن عدم التطابق السابق جاء من استخدام القوانين الكلاسيكية لتفسير هذه الظاهرة وافترض أن : • كمية الطاقة المنبعثة أو الممتصة من المتذبذب في الجسم الأسود تتناسب مع ترددهE=hn • تأخذ طاقة المتذبذب قيم محددة (مكممة) أي أنE=nhn

فإذا كانت n=0 يكون المتذبذب في أدنى قيمة له في الطاقة ويسمى Ground Levelومن هنا نلاحظ أن بلانك ادخل مبدأ التكميم على المتذبذبات في الجسم الأسود وأنها لها طاقات محددة وبقيم محددة بالعدد الكمي n ولا وجود لقيم متصلة للطاقة كما افترض العالمان رايلي جينز.وتوصل بلانك إلى القانون التالي لتوزيع كثافة طاقة الجسم الأسود وذلك على الصورة التالية

وعند امتصاص أشعة أو انبعاثها من الجسم الأسود فإن طاقتها تساوي فرق الطاقة بين مستويات الطاقة للمتذبذبات بحيث إن E = hn ويحمل هذا الكم من الطاقة جسيم يسمى الفوتون وعلى أساس هذه الفرضيات تمكن العالم بلانك من اشتقاق قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود الذي فسر النتائج العلمية , وقد وجد أن قانون بلانك يتفق تماما مع النتائج التجريبية لإشعاع الجسم الأسود

الظاهرة الكهروضوئية : هي عملية انبعاث الالكترونات من أسطح المعادن كالليثيوم والسيزيوم عندما يسقط عليها اشعاع كهرومغناطيسي (عادة أشعة مرئية أو فوق بنفسجية ) ذي طول موجي مناسب , ولتفسير ما يحدث هو أن جزء من طاقة الشعاع الكهرومغناطيسي يمتصها الإلكترون المرتبط بالمعدن فيتحرر منه ويكتسب طاقة حركية . ونتيجة تحرر هذه الالكترونات يتولد تيار كهروضوئي

وتعتمد هذه العملية على العديد من المتغيرات : • تردد الشعاع الكهرومغناطيسي • شدة الشعاع الكهرومغناطيسي • التيار الكهروضوئي الناتج • طاقة حركة الإلكترون المتحرر من المعدن • نوع المعدن

ولفهم تأثير العوامل السابقة الذكر على التيار الكهروضوئي نستخدم الدائرة الكهربية الموضحة بالشكل

في الشكل السابق يمثل اللوح A الأنود الذي يسقط عليه الشعاع الكهرومغناطيسي واللوح c الكاثود الذي تتجمع عليه الالكترونات المتحررة من السطح A لقد وجد من هذه التجربة أن شدة التيار الكهروضوئي الناتج يتناسب طرديا مع شدة الأشعة الكهرومغناطيسية الساقطة على الأنودأي أن التيار الكهروضوئي يزداد بزيادة شدة الأشعة الكهرومغناطيسية الساقطة على الأنود

أما إذا ثبتنا تردد الأشعة الساقطة وشدتها فإن التيار الكهروضوئي يقل بزيادة فرق الجهد المطبق بين اللوحين حتى تصل قيمته إلى الصفر ويسمى الجهد المطبق بجهد الإيقاف في هذه الحالة stopping potential ولا يعتمد جهد الإيقاف على شدة الأشعة الكهرومغناطيسية بل على التردد ويختلف باختلاف المعدن كما هو موضح بالشكل

ويسمى أقل تردد لازم لانبعاث الالكترونات بتردد العتبة حيث لا يمكن أن نحصل على تيار كهروضوئي إلا إذا كان تردد الأشعة الكهرومغناطيسية أكبر من تردد العتبة أضف على ذلك فقد وجد أن الطاقة الحركية العظمى للالكترونات المنبعثة من السطح المعدني تتناسب طرديا مع تردد الأشعة الساقطة عليها أي أن

حيث أن vmaxهي السرعة القصوى للالكترونات المتحررة وهي غير متساوية بالنسبة للالكترونات ولا تتوقف على شدة الضوء الساقط وh ثابت بلانك وهو ثابت لكل المعادن .

تفسير الظاهرة الكهروضوئية : لم يتمكن العلماء من إيجاد تفسير لهذه الظاهرة إلى ان طبق العالم اينشتين عام 1905 م نظرية الكم على الإشعاع الكهرومغناطيسي وبناء على هذه النظرية فإن الأشعة عبارة عن جسيمات تسمى فوتونات ويحمل كل فوتون طاقة مقدارها E تعتمد على تردد الإشعاع حيث E=hn وعند اصطدام الفوتون بالإلكترون المرتبط بالمعدن يتحرر الإلكترون من السطح إذا كانت طاقة الفوتون اكبر من طاقة ربط الإلكترون , وتتحول طاقة الفوتون إلى الإلكترون ويستغل جزء منها في التغلب على دالة الشغل للمعدن والجزء الآخر على شكل طاقة حركة تمكنه من الوصول

إلى الكاثود وتكتب معادلة حفظ الطاقة على الصورة ويمثل الطرف الأيسر في المعادلة طاقة الفوتون الساقط , أما الطرف الأيمن فيمثل طاقة ربط الإلكترون بسطح المعدن والذي يعرف بدالة الشغل وتمثل الشغل اللازم بذله لتحرير الإلكترون الأقل ارتباطا من سطح المعدن وتعتمد على نوع المعدن المستخدم , كما يتضمن طاقة حركة الإلكترون المتحرر.وبذلك يجب ان تكون طاقة الفوتون أكبر من دالة الشغل للحصول على تيار كهربي .

ظاهرة كمبتون : في عام 1932م لاحظ العالم كمبتون أنه عند تسليط أشعة سينية على بلورة الجرافيت النقي (كربون) فإن هذه الأشعة تتشتت بطول موجي مختلف من بينها الطول الموجي الأصلي . وقد وجد العالم كمبتون أن التغير في الطول الموجي للفوتون بعد تصادمه مع الكترونات ذرات المادة يعتمد على الزاوية التي يخرج فيه الفوتون وهذه تسمى استطارة او تشتت Scattering.وقد توصل الى ذلك من خلال قيامه بالتجربة الموضحة في الشكل التالي

في الشكل على اليسار التجربة وعلى اليمين النتائج التي حصل عليها كمبتون، وسنبدأ بالشرح من الجزء العلوي، حيث استخدم كمبتون جهاز توليد أشعة اكس واستخدم أشعة اكس كمصدر للضوء (للفوتونات) ومعروف الطول الموجي لها , لقد وجد من التجربة أن على امتداد الخط الواصل بين الأنبوبة وغرفة التأين تكون أشعة اكس الخارجة من الكربون بنفس الطول الموجي الخارج من أنبوبة أشعة اكس,عند تغيير الزوايا لاحظ أن شدة الأشعة المشتتة تحتوي على قمتين الأولى هي الأشعة التي لم تتأثر والثانية الأشعة المشتتة والتي تظهر بطول موجي أطول من الأشعة الساقطة كما هو واضح بالشكل أعلاه

فمثلا عندما وضع الراصد على زاوية 45 رصد الطول الموجي الأصلي ووجد طول موجي آخر مصاحب له , فكان كلما غير الزاوية بالزيادة يلاحظ بأن الفرق بين الطول الموجي الأصلي والطول الموجي المصاحب يزداد ,كما لاحظ انه عند زاوية 180 درجة تكون فوتونات أشعة اكس مرتدة والفرق في الطول الموجي اكبر ما يمكن.

أين المشكلة في الموضوع ولماذا احتاج العلماء النظرية الكمية لتفسير هذه الظاهرة ؟ لو اعتبرنا أن الفوتونات تتصرف كأنها موجة فكيف إذا يتغير الطول الموجي للفوتون ولماذا تقل طاقته, كما أننا لو اعتبرنا الضوء عبارة عن موجات فإن الضوء إما أن ينعكس أو ينكسر وهاتين الظاهرتين لا يمكن أن ينتج عنها تغير في الطول الموجي كما أنه بناء على النظرية الكهرومغناطيسية الكلاسيكية يمكن لأشعة اكس أن تجعل الالكترونات تهتز وتصدر أشعاعا بنفس الطول الموجي لهذه الأشعة, وعندما تتشتت فإنها تتشتت بنفس الطول الموجي الأصلي دون تغيير. وبالتالي تعجز هذه النظرية عن تفسير هذه الظاهرة ,. إلى أن جاءت النظرية الكمية والتي افترضت أن الضوء هو عبارة عن سيل من الفوتونات وان كل فوتون يمتلك طاقة تساوي تردد الضوء في ثابت بلانك أي أن E=hn

كيف فسرت النظرية الكمية للضوء النتائج العملية التي حصل عليها كمبتون؟ لذلك اقترح كمبتون أن أشعة اكس تتصادم بالالكترونات وكأنها كرات عادية فتتبادل معها الطاقة وكمية الحركة التي تحملها الفوتونات , فعندما تسقط فوتونات أشعة اكس على ذرات الكربون فإنها تتفاعل مع الكترونات المادة الحرة. ففي هذا التفاعل يصطدم الفوتون الساقط على أحد الإلكترونات المدارية في الذرة و الذي يعتبر حرا, وهذا لايعني أنه حر تماما ولكنه يعني أن طاقة ربط الإلكترون بالذرة صغيرة جدا بالنسبة لطاقة الفوتون الساقط. حيث يأخذ الإلكترون بعضا من طاقة الفوتون الساقط و ينطلق بزاوية ,بينما ينحرف مسار الفوتون الساقط بطاقة أقل (أو طول موجي أكبر) من طاقة السقوط و بزاوية مختلفة كما في الشكل ويعتبر تصادم الفوتون مع الإلكترون تصادم مرن.

أي انه في هذا التصادم سوف لن يعطي الفوتون الساقط جميع طاقته للإلكترون الحر . وبتطبيق قوانين حفظ الطاقة و حفظ كمية الحركة نحصل على حيث أن رموز المعادلة من اليسار إلى اليمين هي الطول الموجي (النهائي) والطول الموجي الأصلي والرمز الثالث هو مقدار التغير في الطول الموجي وباقي الرموز معروفة, وتفيد هذه المعادلة ان التغير في الطول الموجي يعتمد على زاوية الاستطارة والتي تكون اكبر ما يمكن عند 180 درجة. وهنا تجدر الإشارة إن المعادلة التي اشتقها كمبتون بناء على النظرية الكمية للضوء تتفق تماما مع النتائج العملية التي حصل عليها مما أضاف تأكيد للنظرية الكمية للضوء وهنا نلاحظ أيضا انه تم التعامل مع الضوء (أشعة اكس) على إنها سيل من الجسيمات

وبالتالي نجد أن للضوء سلوك موجي ومن التجارب السابقة يتضح ان له سلوك جسيمي أي أن له طبيعة مزدوجة وجاءت تجربة العالمان دافيسون وجيرمر لدراسة حيود الالكترونات عن بلورة النيكل لتأكيد ذلك بصورة عملية وقارنا ذلك بقانون ديبرولي , ولذلك تطلب دراسة الازدواجية الجسيمية الموجية وجود نظرية جديدة هي نظرية ميكانيكا الكم وأصبحت الفيزياء التي قبل نظرية الكم تسمى الفيزياء الكلاسيكية وتشمل ميكانيكا نيوتن ونظرية ماكسويل الكهرومغناطيسية.

بسم الله الرحمن الرحيم