第九章组合变形及连接部分的计算

第九章组合变形及连接部分的计算 §8–1 概述 §8–2 两相互垂直平面内的弯曲 §8–3 拉伸（压缩）与弯曲 §8–4 扭转与弯曲

§9－１概述 一、组合变形：在荷载作用下，构件往往产生两种或两种以上的基本变形，当几种变形所对应的应力属同一数量级时，则构件的变形称为组合变形。烟囱（图a）有侧向荷载（风荷，地震力）时发生弯压组合变形。

齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭转组合变形（两个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭转组合变形（两个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。吊车立柱（图c）受偏心压缩，发生弯压组合变形。

对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、应力或位移进行叠加。对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、应力或位移进行叠加。二、组合变形的研究方法 ——叠加原理 ①、外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解； ②、内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面； ③、应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。

三、连接件的计算 起连接作用的部件称连接件，如螺栓、铆钉、键等，连接件的变形往往是比较复杂的。世纪工程中，常采用实用计算法。即采用既能反映受力的基本特征，又能简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，进行强度计算。

§9－2 两相互垂直平面内的弯曲 一、定义：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力时，杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与合成弯矩不共面。这种弯曲也称斜弯曲。二、斜弯曲的研究方法： 1、分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。 2、叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加。

图示悬臂梁承受如图所示的荷载作用。分析其任意截面处内力及截面任一点的应力情况。图示悬臂梁承受如图所示的荷载作用。分析其任意截面处内力及截面任一点的应力情况。

1、任意截面m－m处的弯矩 由F1引起的：由F2引起的：这里弯矩的正负号系根据图b所示，由右手螺旋法则按它们的矢量其指向是否与y轴和z轴的指向一致来确定的。

2、截面上C 点处的正应力为： My引起的应力： Mz引起的应力：总应力：

其中j 角为合成弯矩与y的夹角。 3、中性轴方程为确定截面上最大正应力点的位置，先确定中性轴的方程：设x0、y0为中性轴上任一点的坐标，由中性轴各点处的正应力均为零，得中性轴方程为：中性轴与y轴的夹角：

其中j 角为合成弯矩与y的夹角。 4、最大正应力在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。按下述方法确定：作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点（图a中的点D1，D2）就是该截面上拉应力和压应力为最大的点。从而可分别计算水平和竖直平面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。

对于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。于是，可以根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉应力、压应力的位置，而无需定出中性轴。对于工程中常用的矩形、工字形等截面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。于是，可以根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉应力、压应力的位置，而无需定出中性轴。

fz β f fy 5、变形计算

q F 40º z A C B y a a ，例题9-1 20a号工字钢悬臂梁承受均布荷载 q 和集中力F=qa/2，已知钢的许用弯曲正应力〔σ〕＝160MPa，a＝1m。试求梁的许可荷载集度〔q〕。解：将集中力沿两主轴分解。

0.444qa2 0.321qa2 0.642qa2 My 图(N·m) A D C 0.617a 0.383qa2 0.456qa2 Mz 图(N·m) 0.266qa2 绘出两个主轴平面内的弯矩图。求A、D截面上的最大拉应力。

可见，梁的危险点在A截面处。强度条件为： 解得：

F Ft l §9－3 拉伸（压缩）与弯曲一、横向力和轴向力共同作用在轴向力作用下各截面各点处应力均为：

在横向力作用下，固定端截面弯矩最大，所以，支座截面是杆的危险截面。由弯矩引起的弯曲最大正应力出现在该截面的上下边缘处，其绝对值为：在横向力作用下，固定端截面弯矩最大，所以，支座截面是杆的危险截面。由弯矩引起的弯曲最大正应力出现在该截面的上下边缘处，其绝对值为：杆件的最大正应力是危险截面上边缘各点处的拉应力，其值为：

10kN C FA FB 1.2m B A FAX 1.6m 1.6m 例题9－2 一折杆由两根无缝钢管焊接而成。已知两钢管的外径均为140mm，壁厚均为10mm。试求折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。

C 10kN m m FB 1.2m x A B FAx FAy 图(b) FA 解：1.先求出约束力FA=FB= 5 kN。折杆的受力图如图b。由于折杆及受力均对称，取一半及杆AC分析。将约束力FA分解为FAx=3 kN和FAy=4 kN后可知，AC 杆的危险截面为m-m(图b)，其上的内力为

10kN C m g f m FB 1.2m x A B FAx FAy 图(b) FA FN=-FAx=-3 kN Mmax=FAy×2= 8 kN·m 2. AC杆危险截面m-m上的最大拉应力σt,max和最大压应力σc,max分别在下边缘f点处和上边缘g点处(图b)：

2. AC杆危险截面m-m上的最大拉应力σt,max和最大压应力σc,max分别在下边缘f点处和上边缘g点处(图b)： 3. 根据钢管的横截面尺寸算得：

4. 将FN 和Mmax以及A和W的值代入得

x x My F z F z M Mz y y （b）（c）二、偏心拉伸（压缩）作用在直杆上的外力。当其作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起偏心拉伸或偏心压缩。如图（a)所示。 e F z （yF，zF) y （a）

z Mey O1 y α Mez Fe 1、偏心拉伸（压缩）内力、应力分析将偏心拉力F向其作用截面的形心O1简化为轴向拉力F和力偶矩Fe，再将该力偶矩分解为对形心主惯性轴y和z的分量Mey和Mez(图b及图c)：则任意横截面n－n上的内力为0 FN=F, My=Mey=F·zF, Mz=Mez=F·yF

z C(y,z） Mey O1 y α Mez Fe 横截面上任意点C ( y, z ) 处的正应力为由轴力FN引起的正应力为：由弯矩My引起的正应力为：由弯矩Mz引起的正应力为：叠加，得C点的正应力为： (a)

式中，A为横截面面积， Iy和Iz分别为横截面对y轴和z轴的惯性矩。利用惯性矩与惯性半径的关系：式(a)可写为： (b) 上式是一个平面方程，它表明偏心拉伸时杆的横截面上的正应力按直线规律变化。

2、偏心拉(压)杆横截面上中性轴的位置 令中性轴上任意点的坐标为y0，z0，以此代入式(b)并令σ=0可得中性轴的方程： z O1 可见，偏心拉伸时中性轴为一条不通过横截面形心的直线（图a）。 y 中性轴

z O1 y 中性轴为定出中性轴的位置，可利用其在y 轴、z 轴上的截距αy、αz，上式中，令z0 =0，相应的y0即为αy，令y0 =0，相应的z0即为αz，由此求得，由此可知，中性轴与偏心拉力作用点位于截面形心的相对两侧。

3、横截面上危险点的位置 对于没有外棱角的截面，可作两条平行于中性轴的直线使与横截面的周边相切，如图所示，切点D1和D2分别就是横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点，根据它们的坐标即可确定最大拉应力和最大压应力的值。对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在横截面的外棱角处，并可根据杆件的变形情况来确定。

例如，矩形截面杆受偏心拉力F作用,若杆任一横截面上的内力分量为轴力FN=F，弯矩My=F·zF和Mz=F·yF，则与各内力分量相对应的正应力变化规律如图a，b，c所示；例如，矩形截面杆受偏心拉力F作用,若杆任一横截面上的内力分量为轴力FN=F，弯矩My=F·zF和Mz=F·yF，则与各内力分量相对应的正应力变化规律如图a，b，c所示；

由叠加原理，即得杆在偏心拉伸时横截面上正应力的变化规律（图d），可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的棱角D1、D2处，其值为：由叠加原理，即得杆在偏心拉伸时横截面上正应力的变化规律（图d），可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的棱角D1、D2处，其值为：

上式对于箱形、工字形等具有棱角的截面都是适用的。上式对于箱形、工字形等具有棱角的截面都是适用的。由上式还可看出，当外力的偏心距e(亦即yF , zF)较小时，横截面上就可能不出现压应力，亦即中性轴不与横截面相交。

例题9-3桁架的一斜拉杆由一根100mm×80mm×10mm的不等边角钢制成，其两端在长边的中点处用铆钉连接于厚度为12mm的结点板上。图中mm为铆钉轴线，DD为结点板厚度中线。已知斜杆所受的轴向拉力F通过结点板厚度中线与铆钉轴线的交点A，其值为F=100kN,试求斜杆内的最大拉应力，并将结果与轴向拉伸时的应力相比较。例题9-3桁架的一斜拉杆由一根100mm×80mm×10mm的不等边角钢制成，其两端在长边的中点处用铆钉连接于厚度为12mm的结点板上。图中mm为铆钉轴线，DD为结点板厚度中线。已知斜杆所受的轴向拉力F通过结点板厚度中线与铆钉轴线的交点A，其值为F=100kN,试求斜杆内的最大拉应力，并将结果与轴向拉伸时的应力相比较。解：由于不等边角钢为非对称截面，为求出斜杆内的最大拉应力，应先从型钢规格表中查出角钢截面的形心主惯性轴位置以及其它有关数据。

z0 z y0F y0 m m 100 y A 50 zC B z0B y0B yC 型钢规格表中得：由此可得角钢截面的形心主惯性轴y0、z0如图所示。

z0 z y0F y0 m m 100 y A 50 zC B z0B y0B yC 所以

z0 z y0F n y0 m m 100 y A 50 zC B z0B y0B yC n 中性轴在y0、z0轴上的截距为：按截距画出中性轴nn如图所示，由图可知截面拉应力区中B点离中性轴最远，该点即为最大拉应力所在的点，其坐标值可由图量得为：

z0 z y0F n y0 m m 100 y A 50 zC B z0B y0B yC n 最大拉应力为：由上例计算可见，与轴向拉伸时的应力相比，偏心拉伸时的应力增大至2.23倍。

三、截面核心 1、截面核心的定义：当偏心拉力F的偏心距较小时，杆件的横截面上可能不出现压应力。同理，当偏心压力F的偏心距较小时，杆件的横截面上可能不出现拉应力。土建工程中的混凝土或砖、石砌体，其抗拉强度远低于抗压强度，这就要求构件在偏心受压时，横截面上不出现拉应力。这就要求偏心压力只能作用在横截面形心附近的某个范围内；这个范围称之为截面核心。

z ① ② az1 4 3 y 2 ④ 1 ay1 ③ 2、截面核心的确定：图中所示任意形状的截面，y轴和z轴为其形心主惯性轴。为确定截面核心的边界(图中的封闭曲线1-2-3-4--1)，可将与截面周边相切的任一直线①看作中性轴，其在y、z两个形心主惯性轴上的截距分别为ay1、az1。

z ① ② az1 4 3 y 2 ④ 1 ay1 ③ 根据中性轴在形心主惯性轴上截距的计算公式可求出该中性轴所对应的偏心压力作用点1的位置，亦即截面核心边界上一个点的坐标ry1,rz1：

z ① ② az1 4 3 y 2 ④ 1 ay1 ③ 同样，分别将与截面周边向切或外接的直线②、③、...等看作中性轴，并按上述相同方法求得与其相应的截面核心边界上点2、3 、...等的坐标。连接这些点所得到的一条封闭曲线，即为所求截面核心的边界，而该边界曲线所包围的带阴影线的面积，即为截面核心。注意：截面核心的每一边界点与对应的截面周边上的切线和外接的直线（中性轴）总是位于截面形心的相对两侧。

z ① y 1 (1) 圆截面的截面核心： • 圆截面对圆心（形心）O是极对称的，因而其截面核心的边界必然也是一个圆心为O的圆。作一条如图所示与截面周边相切的直线①，它在形心主惯性轴y和z上的截距为：对于圆截面有：

z ① y 1 • 则与其对应的截面核心边界上点1的坐标为：从而可知，截面核心边界是一个以O为圆心，以d /8为半径的圆，其包围的范围就是圆形截面的截面核心。

(2) 矩形截面的截面核心： 对于边长为b和h的矩形截面，y轴和z轴为截面的形心主惯性轴。先将与AB边相切的直线①看作是中性轴，其在y轴和z轴上的截距分别为对于矩形截面有：

可求出该中性轴所对应的偏心压力作用点1的位置，亦即截面核心边界上一个点的坐标ry1,rz1：可求出该中性轴所对应的偏心压力作用点1的位置，亦即截面核心边界上一个点的坐标ry1,rz1：同理，分别将与BC、CD、DA边相切的直线②、③、④看作之中性轴，可求得对应的截面核心边界上点2、3、4的坐标依次为：

这样，就得到了截面核心边界上的4个点。当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其邻边时，例如当中性轴绕顶点B从直线①旋转到②时，将得到一系列通过B点但斜率不同的中性轴，而B点的坐标yB、zB是这一系列中性轴上所共有的，将其代入中性轴方程，得这样，就得到了截面核心边界上的4个点。当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其邻边时，例如当中性轴绕顶点B从直线①旋转到②时，将得到一系列通过B点但斜率不同的中性轴，而B点的坐标yB、zB是这一系列中性轴上所共有的，将其代入中性轴方程，得由于B点的坐标yB、zB是常数，因此上式可看作是表示外力作用点坐标yF，zF间关系的直线方程。

即当中性轴绕B点旋转时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1、2的直线。于是将1、2、3、4四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界。它是个位移截面中央的菱形，其对角线长度分别为 h/3和b/3。

§9－4 扭转与弯曲 一般的传动轴通常发生扭转与弯曲的组合变形。由于传动轴大都是圆截面的，所以本节以圆截面为例，讨论杆件发生扭转与弯曲组合变形时的强度计算。设一直径为d的等直圆杆AB，A端固定，B端具有与AB成直角的刚臂，并承受铅垂力F作用，如图所示。将F向B截面的形心简化，如图（b)所示。

F l (c) M 图 F a (d) T 图 AB杆发生扭转与弯曲的组合变形。作杆的弯矩图与扭矩图。杆的危险截面为固定端截面，其内力分量分别为：由应力的变化规律可知，危险截面上的最大弯曲正应力发生在铅垂直径的上、下两端点C1和C2处。

第九章 组合变形及连接部分的计算