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第三十讲 锐角三角函数

第三十讲 锐角三角函数. 考试说明. （ 1 ）①通过实例认识锐角三角函数 ②知道 30°45°60° 角的三角函数值 ③会用计算器由已知锐角求它的三角函数值 ④由已知三角函数值求它对应的锐角 （ 2 ）利用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。. BC AB. CD AC. CD CB. DB BC. B. D. A. C. 中考热点一：锐角三角函数的定义

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第三十讲 锐角三角函数

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  1. 第三十讲 锐角三角函数

  2. 考试说明 （1）①通过实例认识锐角三角函数 ②知道30°45°60°角的三角函数值 ③会用计算器由已知锐角求它的三角函数值 ④由已知三角函数值求它对应的锐角 （2）利用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。

  3. BC AB CD AC CD CB DB BC B D A C 中考热点一：锐角三角函数的定义 例1：如图所示，在Rt△ABC中，∠C = 90º, CD是斜边AB上的高，则下列比例线段中，不等于sinA的是( ) AB CD D

  4. A O B 例2：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥AB，AD＝ CD，cos∠DCA= ，BC＝10，则AB的值是( ) B A 3B 6 C 8 D 9 例3：在正方形网格中，∠AOB如图所示，则cos∠AOB 的值为（　　） A A B C D

  5. 中考热点二：特殊锐角的三角函数值的应用 例1：已知∠ 为锐角，且 ，则 等于 （ ） C A B C D 例2： A(cos60°，－tan30°)关于原点对称的点A1的坐标是( ) A A B C D

  6. 例3：在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠B的值为（ ） B A B C D 例4:计算：

  7. 热点三：锐角三角函数的应用 例1：我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡角∠BAD=60°，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米？（结果保留根号）．

  8. 例2：如图所示，有一棵树，现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，测出小树顶端A到水平地面的距离AB。例2：如图所示，有一棵树，现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，测出小树顶端A到水平地面的距离AB。 要求：（1）画出测量图； （2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）； （3）根据（2）中的数据计算AB

  9. （方案一） （1）测量示意图如图2 （2）测量步骤： ①在地面上点C处测得树尖A的仰角∠ADE＝α; ②用皮尺测得BC的长，记为m米; ③用皮尺测出测角仪DC的高，记为h米 （3）计算：设 米。 即 所以 （米） 在 中， 图2

  10. （方案二）（1）测量示意图如图3 （2）测量步骤： 因为 ，即 所以， （米） 所以 在 中， ，所以 在 中， ，所以 ①在地面上C、D两点处测得树尖A的仰角 分别为∠AHE＝α，∠AFE＝β(点C、B、D 在同一直线上); ②用皮尺测得CD的长，记为m米; ③用皮尺测出测角仪的高，记为h米 （3）计算：设 米 α β

  11. （方案三）（1）测量示意图如图4。 （2）测量步骤： ①在地面上点C处测得树尖A的仰角 ∠AHE＝α; ②沿CB前进到点D，用皮尺量出C、D 之间的距离CD，记为m米; ③在点D处测得树尖A的仰角∠AFE＝β ④用皮尺测出测角仪的高，记为h米 （3）计算：设 米 解得 则由 ，得： , 由 ，得： 所以 因为 ，所以 α β 图4

  12. 方案一： （1）测量示意图如下 （2）测量步骤：①在地面上点C处测得树尖A的仰角∠ADE＝α; ②用皮尺测得BC的长，记为m米 ③用皮尺测出测角仪DC的高，记为h 米 （3）计算：设 米 在 中 所以

  13. α β 方案二：（1）测量示意图如下 （2）测量步骤：①在地面上C、D两点处测得树尖A 的仰角分别为∠AHE＝α，∠AFE＝β (点C、B、D在同一直线上); ②用皮尺测得CD的长，记为m米; ③用皮尺测出测角仪的高，记为h米 （3）计算：设米。 在中，，所以。 在中，，所以。 因为，即 所以 所以（米）

  14. α β β α 方案二方案三

  15. B 斜边 c 对边a A C 邻边b 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90º ，当锐角 A确 定时， ∠A的对边与斜边的比随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢? 为什么?

  16. B 斜边 c 对边a A C 邻边b 类似正弦的情况，当锐角 A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也是确定的.

  17. ∠A 的邻边 斜边 b c B 斜边 c 对边a A C 邻边b 我们把 ∠A 的邻边与斜边的比叫做 ∠A 的余弦，记作 cos A，即 cos A = = .

  18. ∠A 的对边 ∠A 的邻边 a b B 斜边 c 对边a A C 邻边b 把 ∠A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tan A，即 tan A = = .

  19. 锐角 A的正弦、余弦、正切都叫做　∠A的锐角三角函数.

  20. B B 例 题 13 3 5 A C 4 A C 1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90º ，求 sin A和 sin B的值.

  21. BC AB 3 5 AC AB 4 5 B B 因此 sin A = = ， AB = = = 5. sin B = = . 13 3 5 A C 4 A C 解: 如图(1)，在 Rt△ABC中，

  22. 5 13 BC AB AC AB 12 13 B B 因此 sin B = = . AC = = = 12. sin A = = . 13 3 5 A C 4 A C 如图(2)，在 Rt△ABC中，

  23. 3 5 BC AB BC sin A 5 3 AC AB 4 5 AC BC 4 3 B 又 AC = = = 8， ∴ cos A = = ， 解: ∵ sin A = ， tan B = = . ∴ AB = = 6× = 10. 6 A C 2. 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90º，BC = 6， sin A = ，求 cos A、tan B的值.

  24. BC AB 3 5 AC AB 4 5 B BC = = = 3. ∴ sin A = = ， cos A = = ， 5 4 A C 3. 在 Rt△ABC中，∠C = 90º，AB = 5， AC = 4. 求 ∠A、 ∠B 的正弦值、余弦值和正切值. 解: 据题意可以画出下图： 在 Rt △ABC中，由勾股定理，得

  25. 4 3 BC AC 3 4 AC AB 4 5 3 5 AC BC BC AB B tan B = = . cos B = = ， tan A = = ， sin B = = ， 5 4 A C

  26. A c = = k. c b B C a 4. 在 Rt△ABC中， ∠C = 90º，a : b = 2 : 3，求 sin A、cos A. 解: 如图，在 Rt△ABC中，a : b = 2 : 3， 设 a = 2k，b = 3k(k＞0). 由勾股定理，得

  27. a c b c 3 2k 3k A 2 cos A = = = . ∴ sin A = = = ， 13 13 k k c b B C a

  28. 2 3 a c b c a b 2 3 2 2k A 3 k 3k 5. 已知在 Rt△ABC中，∠C = 90º，sin A = ， 求 cos A、tan A. 由勾股定理，得 b = = k. tan A = = = . ∴ cos A = = = . 5 k c b B C a ， 解: ∵ sin A = = ∴ 设 a = 2k，c = 3k(k＞0)，

  29. 评注: 在求锐角三角函数值的时候，我们常常按照以下方法: 1. 直接利用定义求三角函数值； 2. 已知直角三角形两边的比，求三角函数值； 3. 已知某锐角三角函数值，求其他三角函数值.

  30. 2. 锐角三角函数的求法.

  31. 28.1.2 特殊角的三角函数值

  32. 任意一个锐角都有三角函数，那么我们能否求出任意一个锐角都有三角函数，那么我们能否求出 特殊角 30°、45°、60°的三角函数值呢?

  33. 思 考 两块三角尺中有几个不同的锐角? 分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.

  34. 1 2 1 2 2 2 2 2 3 30º、45º、60º 角的正弦值、余弦值和正切值如下表: 锐角α 三角函数

  35. 1 2 cos 45º sin 45º cos 45º sin 45º () () 解: - tan 45º 2 2 = ÷ - 1 = + 2 2 2 求下列各式的值: (1)cos2 60º + sin2 60º； (2)- tan 45º. 解: cos2 60º + sin2 60º = 1； = 0.

  36. 1 2tan 45º - 1 2 1 2×1 - = 1 + 2 + = 3 + ； 解: 2sin 30º + = 2× + 例 题 1. 计算： 1 2tan 45º - (1)2sin 30º + ；

  37. tan 60º + tan 45º 4sin 30º 1 + 1 tan 60º + tan 45º 4sin 30º 1 + 1 + 1 - 1 2 1 2 = . (2) + . 解: + = + 4×

  38. 解: ∵ sinα- 1 = 0， (1)tanα=　　； ∴ sinα= . 解: ∵ tanα=　　， 2 3 3 2. 求适合下列各式的锐角 α： (2) sinα- 1 = 0； ∴ α= 30º. ∴ α= 45º.

  39. 1 2 2cosα+ 1 2 ∴ cosα=. = 1， 解: ∵ 2cosα+ 1 2 (3) = 1. ∴ α= 60º.

  40. 解: 由 2cosα- = 0，知 cosα= . ∴ tanα= . 2 3 3. 已知 2cosα- = 0 (α为锐角)，求 tanα. ∴ α= 30º.

  41. BC AB B ∵ sin A = = = ， 2 A C 4. (1)如图，在 Rt△ABC中， ∠C = 90º，AB = ，BC = ，求 ∠A的度数. 解: ∴ ∠A = 45º.

  42. AO OB OB OB A ∵ tanα = = = ， α B O (2)如图，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径 OB的 倍，求α. 解: 在图中， ∴ ∠α = 60º.

  43. 小 结 1. 30º、45º、60º 这几个特殊角的三角函数值. 2. 利用特殊角的三角函数值解答相关的问题.

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