《第7讲权与定权的常用方法》

《第7讲权与定权的常用方法》 主讲人：李海峰

提纲： 一、权的概念二、测量中定权的常用方法三、协因数与协因数阵四、协因数及权倒数传播定律

在一组不等精度的观测中，由于观测值的精度不同，观测值的可靠性也不一样，观测精度高的可靠程度大，观测精度低的可靠程度小。这样我们在进行数据处理的时候就不能等同对待，即为了区别观测值精度的高低，确定各自所占的比重，就必须引入权的概念。下面我先看一个例子。在一组不等精度的观测中，由于观测值的精度不同，观测值的可靠性也不一样，观测精度高的可靠程度大，观测精度低的可靠程度小。这样我们在进行数据处理的时候就不能等同对待，即为了区别观测值精度的高低，确定各自所占的比重，就必须引入权的概念。下面我先看一个例子。设对一个已知角A（无误差，A=30°25′36″）进行两次不等精度观测，其观测值A1=30°25′34″， A2=30°25′42″，它们的中误差分别为2.0″和4.0″。求该角的最或是值及其中误差。一、权的概念

一、权的概念 • (1)将上述两个不等精度观测值的可靠程度等同看待，用算术平均值作为最可靠值并评定精度，则有: • (2)按照A1:A2=4:1的比例进行数据处理,则有：

(3)按照A1:A2=10:1的比例进行数据处理,则有： 对比三种数据处理方法可知，第二种求得的最或是值最理想，精度最高。由此说明，如果观测值的观测精度不同，在做数据处理时，不能将观测值等同看待，而是精度高的所占比例较大，精度低的所占比例较小，并且二者的比例也必须适当。一、权的概念

衡量不同精度观测值在进行数据处理时所占的分量的轻重测量上称为权,定义式 Pi代表第i个观测值的权为比例常数可以任意选取，但比例不变。上例中4:1的比例就是按照权之比确定的。就定义式而言，当Pi=1时，也就是说是权为1的观测值的中误差，在测量中权为1的观测值称为单位权观测值，其中误差就是单位权中误差，的真正含义就是单位权中误差。尽管是任选的，但一经选定就有其具体含义。即它是其它观测值用来对比的精度标准。精度高于它的，权大于1，反之则小于1，而精度与之相等的，则权必为1。在同一个问题中只能选取一个。一、权的概念

1、水准测量的权 假设水准测量中，每一测站观测高差的精度相同，且中误差均为。若第i条水准路线共ni站，则该条水准路线观测的高差中误差为若令C个测站观测高差中误差为单位权中误差，则根据权的定义式可知，水准测量中高差的权为当ni=1时，Pi=C; Pi=1时，ni=C 上式表明：当各测站观测精度相同时，水准路线观测高差的权与其测站数成反比。 C是1测站的观测高差的权；C是单位权观测高差的测站数；二、测量中定权的常用方法

1、水准测量的权 假设水准测量中，每一公里观测高差的精度相同，且中误差均为。若第i条水准路线共Si公里，则该条水准路线观测的高差中误差为若令Ckm观测高差中误差为单位权中误差，则根据权的定义式可知，水准测量中高差的权为当Si=1时，Pi=C; Pi=1时，Si=C 上式表明：当每公里观测精度相同时，水准路线观测高差的权与其测站数成反比；C是1公里的观测高差的权；C是单位权观测高差的公里数；二、测量中定权的常用方法

【例7-1】 设某条水准网由三条水准路线，各条水准路线的高差分别为h1、h2、h3，已知各条水准路线的测站数分别为n1=15 n2=30、n3=60站，试求 (1)若C=60站，求三条水准路线的权及比例； (2)若C=30站，求三条水准路线的权及比例。解：(1)根据公式Pi=C/ni且C=60得 P1=60/15=4 P2=60/30=2 P3=60/60=1 P1: P2: P3= 4: 2: 1 二、测量中定权的常用方法

(2)根据公式Pi=C/ni且C=30得 P1=30/15=2 P2=30/30=1 P3=30/60=1/2 P1: P2: P3= 4: 2: 1 说明：即使取不同的C值，但权之间的比例保持不变。二、测量中定权的常用方法

2、三角高程的权 用三角测量推算的高差观测值，其精度随边长的增加而急剧下降，其两点间高差观测值的权的计算公式为 Si为任一边的水平距离；C为任意常数二、测量中定权的常用方法

3、同精度观测值算术平均值的权 设同精度独立观测值L1,L2, …,Ln,它们分别是N1,N2, …,Nn次观测值的平均值。设每次观测中误差是，则Li的中误差为令 ,则由权的定义可得二、测量中定权的常用方法

1、协因数 由权的定义可知权与观测值的方差成反比，设有观测值Li和Lj，它们的方差分别为令称Qii、Qjj为观测值Li和Lj的协因数或权倒数； Qij为观测值Li和Lj的互协因数。不难理解，有类似的作用，也可作为比较观测值精度高低的一种指标。协因数与方差成正比；互协因数有正负之分，绝对值越大相关性越大。三、协因数和协因数阵

2、协因数阵 当有一组观测值L1,L2,…,Ln构成观测向量 ,每个观测值均有自己的协因数，任意两个观测值之间存在互协因数，于是我们定义协因数阵(QLL)如下三、协因数和协因数阵观测值相互独立

3、权阵 协因数可以表示观测向量的相对精度，但平差过程中经常用其逆矩阵参与运算，定义协因数的逆矩阵为权阵，表示如下对单个观测值而言，权和协因数互为倒数，对观测向量而言互为逆矩阵，注意权阵主对角线上的元素并不一定是对应观测值的权，这要分两种情况：若观测值相互独立则主对角线的各个元素代表观测值的权，若不独立需通过协因数阵来求权。三、协因数和协因数阵

【例7-2】 已知观测向量L的权阵为 ,试求观测向量L的协因数阵及观测值L1、L2的权。解：因为观测向量L的协因数阵为权阵的逆矩阵，所以L的协因数阵为所以L1、L2的协因数为Q11=Q22=1/3 L1、L2的权为P1=P2=3 三、协因数和协因数阵思考P=?

四、协因数及权倒数传播定律 • 1、协因数传播定律 • 由于任意观测向量的协方差总是等于单位权方差因子乘以该向量的协因数阵，因此可以方便的由协方差传播定律推导出协因数传播定律即

四、协因数及权倒数传播定律 • 2、权倒数传播定律 • 设有一观测值的函数 ,各观测值误差相互独立对其求全微分得： = • 应用协因数传播律： • 上式即为权倒数传播定律，注意：权倒数传播定律成立的条件，观测值之间相互独立是必要前提。

四、协因数及权倒数传播定律 • 【例7-3】 • 已知独立观测值Li的权为Pi(i=1,2,…,n),求加权平均值 • 的权Px。 • 解： • 由权倒数传播定律得

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