2 dimensional bit vector approach

2 dimensional bit vector approach Mikio Kubo

TIGER/Line graph DC.tmp9559 nodes and 29818 arcs Shortest Paths between all border nodes of 2 regions

Source region border nodes (red) and other nodes (yellow)

Target region border nodes (red) and other nodes (yellow)

Connecting network

After concatenation of degree 2 nodes

After shrinking the nodes aroundthe source and target regions By storing all shortest path length between transit (cut) nodes, the shortest path problem between 2 regions is reduced to the problem on the graph above.

TIGER/Line graph USA-road-d.NY264346 nodes and 733846 arcs

Arcs on shortest paths between border nodes (red) degree frequency histogram [0, 28, 440, 32]

Connecting network and the graph after concatenation and shrinking the nodes in the regions

終点領域から遠い順に最短路を解き， 最短路木内の点を削除する（59回解くべきところを25回に削減）

始点付近の拡大図

Implementation (Python +networkX)

Read data and construct graph 点の座標のリスト x_cord[],y_cord[] 枝情報 (i,j,length) のリスト edge_info[] from pylab import * from networkx import * #モジュールの読み込み G=XGraph()#グラフインスタンスの生成 G.position={} #座標保管用の辞書 n=len(x_cord) for i in range(n): #点集合の追加 G.add_node(i) G.position[i]=(x_cord[i], y_cord[i]) m=len(edge_info) for (i,j,length) in edge_info: #枝集合の追加 G.add_edge(i,j,length)

グラフの表示（position指定，サイズ1000/n, ラベルなし，線幅1，点色b，枝色g） draw(G,G.position,node_size=1000/n,with_labels=None,width=1,node_color='b',edge_color='g')

最大の連結成分の抽出 #グラフ G の最大の連結成分（0番目）をHに入れる H=connected_component_subgraphs(G) [0] #点の座標の更新 H.position={} for node in H.nodes_iter(): (x,y)=G.position[node] H.position[node]=(x,y) connected_component_subgraphs(G) はnetworkXの関数

バケット（2次元格子）に点を入れる

バケットの準備 #各バケットにおおよそ100の点を入れるようにバケット数を決める n_bucket=int(sqrt(n/100)) #バケット(i,j)に所属する点のリストを準備 bucket=[ [ [] for i in range(n_bucket) ] for j in range(n_bucket) ] G.bucket={}#点の所属するバケットを保管する辞書を準備 for node in G.nodes_iter(): (x,y)=G.position[node] i=int(x*n_bucket) j=int(y*n_bucket) bucket[i][j].append(node) #バケット(i,j)のリストに点を追加 G.bucket[node]=(i,j) #辞書にバケット番号を保管

バケットの縁の点集合 #縁の点集合を保管するリストの準備 border=[[[] for i in range(n_bucket)] for j in range(n_bucket)] for i in range(n_bucket): for j in range(n_bucket): if len(bucket[i][j])>0: #空でないバケットに対して for node in bucket[i][j]: for n1 in G.neighbors(node): #隣接点集合（networkX） if G.bucket[node] <> G.bucket[n1]: #隣接点が異なるバケットに含まれているなら #縁の点集合に追加 border[i][j].append(node)

点の重複の除去 開始バケット（stgart_i,start_j)の縁の点集合の抽出 startnodes=set(border[start_i][start_j]) set()はリストから集合（重複がない要素の集まり）を抽出する関数

2バケット間の最短路計算 paths=[] #パスを保管するリストの準備 for s in set(border[start_i][start_j]): #networkXの最短路は遅い->BoostGraphLibrary(BGL)を利用 pred=BoostGraph.findAllShortestPath(s) for t in set(border[end_i][end_j]): dst=t 　＃終点tから最短路木を辿る sp = [dst] while s != dst: #最短路木の前の点predへ移動 dst=BoostGraph.vertexesid[ pred[BoostGraph.vertexes[dst]] ] sp.append(dst) sp.reverse() #終点からの点列を逆にする paths.append(sp) #パスリストに追加

G.clear() #グラフのクリア for sp in paths: G.add_path(sp) #パスの追加 #３倍の枝幅で描画 draw(G,G.position,node_size=1000/n,with_labels=None, width=3,node_color='b',edge_color='r')

点の次数のヒストグラム degseq=G.degree()#次数を計算してリストを返す関数 dmax=max(degseq)+1 #最大の次数を計算（maxはpythonの関数） freq= [ 0 for d in range(dmax) ] #頻度を保管するリストの準備 for d in degseq: freq[d] += 1 print "degree frequency histgram",freq 結果 degree frequency histgram [0, 39, 648, 97, 18]

2 dimensional bit vector approach