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例：一家商店卖 6 种面包，，一客户要买 12 只面包，问有多少种不同选择方案 ( 每种面包数量足够多 ) ？ 解：买 12 只面包，没有次序要求，是组合问题。 商店里每种面包数量远大于 12 。

推论 11.6: 设 k 元多重集 S={  ·a 1 ,  ·a 2 ,…,  ·a k },r  k, 若要求 S 的 k 个不同元素的每一个至少在组合中出现一次，则 S 的这种 r- 组合数是 C(r-1,k-1) 。 证明：任取一个所求的 r 组合，则 S 中所有不同元素 a 1 ,a 2 ,…,a k 都在此组合中出现 ( 推论条件规定 ) ， 现从这组合中拿走元素 a 1 ,a 2 ,…,a k ，即得 S 的一个 r-k 组合。 而对于 S 的任一个 r-k 组合，加入元素 a 1 ,a 2 ,…,a k ，就是一个含有 S 中所有不同元素的 r 组合。

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例：一家商店卖 6 种面包，，一客户要买 12 只面包，问有多少种不同选择方案 ( 每种面包数量足够多 ) ？ 解：买 12 只面包，没有次序要求，是组合问题。 商店里每种面包数量远大于 12 。

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Presentation Transcript

  1. 推论11.6:设k元多重集S={·a1,·a2,…, ·ak},rk,若要求S的k个不同元素的每一个至少在组合中出现一次，则S的这种r-组合数是C(r-1,k-1)。 • 证明：任取一个所求的r组合，则S中所有不同元素a1,a2,…,ak都在此组合中出现(推论条件规定)， • 现从这组合中拿走元素a1,a2,…,ak，即得S的一个r-k组合。 • 而对于S的任一个r-k组合，加入元素a1,a2,…,ak，就是一个含有S中所有不同元素的r组合。 • 因此，S的k个不同元素的每一个至少在组合中出现一次的r-组合数就是S的r-k组合数， • C(k+(r-k)-1,r-k)=C(r-1,r-k)=C(r-1,(r-1)-(r-k))=C(r-1,k-1)。

  2. 例：一家商店卖6种面包，，一客户要买12只面包，问有多少种不同选择方案(每种面包数量足够多)？例：一家商店卖6种面包，，一客户要买12只面包，问有多少种不同选择方案(每种面包数量足够多)？ • 解：买12只面包，没有次序要求，是组合问题。 • 商店里每种面包数量远大于12。 • 即S={x1·a1,x2·a2,…, x6·a6}(xi12)，由推论5得 • N=C(6+12-1,12)=C(17,12)= C(17,5)=6188。

  3. 例：一个棋手要在相继的7天内下12盘棋，问有多少种安排法? 如果要求每天至少下一盘棋，又有多少种安排法？ • 解：将这相继的 7 天记为a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7， • 则第一种安排相当于多重集S={·a1,·a2,·a3, ·a4,·a5,·a6, ·a7}的12-组合问题。 • 由定理11.11即得C(7+12-1,12)=C(18,12) =C(18,6)。 • 而第二种安排相当于S的每种元素至少取1个的12-组合问题， • 由推论11.6得C(12-1,7-1)=C(11,6)= C(11,5)。

  4. 例：确定多重集S={1·a1,·a2,…,·ak}的r-组合数例：确定多重集S={1·a1,·a2,…,·ak}的r-组合数 • 解：把S的r-组合分成两类： • (1)包含a1的r-组合, • 相当于{·a2,…,·ak}的(r-1)-组合(k-1个不同元素), • 因此包含a1的r-组合数是C((k-1)-1+(r-1),r-1)=C(k+r-3,r-1)。 • (2)不包含a1的r-组合, • 相当于{·a2,…,·ak}的r-组合(k-1个不同元素), • 因此不包含a1的r-组合数是C((k-1)-1+r,r)=C(k+r-2,r)。 • 所以多重集S={1·a1,·a2,…,·ak}的r-组合数是： • C(k+r-3,r-1)+C(k+r-2,r)。

  5. 关于有限多重集的组合问题小结如下: • 设S={n1·a1,n2·a2,…,nk·ak}，n=n1+n2+…+nk}，则S的r-组合数N满足: • (1)若r>n，则N=0。 • (2)若r=n，则N=1。 • (3)若r<n，且对一切i=1,2,…,k有nir，则：N=C(k+r-1,r) • (4)若r<n，且存在着某个ni<r,则对N没有一般的求解方法，可利用容斥原理予以解决。

  6. 四、有序划分和无序划分设S是n个元素的集合。AiS, Ai,i=1,2,…t,且A1∪A2∪…∪At=S, Ai∩Aj=(i,j=1,2,…,t,ij),则称={A1,A2,…,At}是S的一个划分。这里{A1,A2,…,At}是一个集合，即是无序划分。如果块与块之间有先后次序之分，则记为（A1,A2,…,At），为S的一个t块有序划分。

  7. 1.有序划分 • 定义一：设S是n个元素的集合，{A1,A2,…,At}是S的一个t块划分。则(A1,A2,…,At)为S的t个块的一个有序划分 • 要说明的是给出一个划分{A1,A2,…,At}，可以构造t个块的多个有序划分。 • 例：S={a,b,c,d}, A1={a,b},A2={c},A3={d},则{A1,A2,A3}为S的3个块的一个划分，从此划分中，可得到6个不同的S的3个块的有序划分： • (A1,A2,A3),(A1,A3,A2),(A2,A1,A3),(A2,A3,A1),(A3,A1,A2), (A3,A2,A1)。

  8. 定义二：设S是n个元素的集合，且q1+q2+…+qt=n(qt为正整数),根据qI的值就可构造S的t个块的划分{A1,A2,…,At},使得|Ai|=qi ,称(q1,q2,…,qt)给出了S的一种类型的t个块的有序划分,记这种类型的不同有序划分数为P(n; q1,q2,…,qt). • 那么此值是多少? • 从n个元素中选取q1个元素组成A1的方式数为C(n,q1), • 从剩余的n-q1个元素中选取q2个元素组成A2的方式数为C(n,q2),…, • 由乘法原理得: • P(n; q1,q2,…,qt)= n!/(q1!q2!…qt!).

  9. 例1:6本不同的书分给甲,乙,丙三人, • 1)要求甲得1本,乙得2本,丙得3本 • 2)要求每人各得2本 • 3)要求1个人得1本,另一人得2本,还有一人得3本 • 要注意有序划分的类型数目. • 例2:8本不同的书分给5人,其中2人各得1本,另3人各得2本,问有多少种分法?

  10. 二、无序划分 • 无序划分最典型的是分堆。 • 一般地，无序划分没有通用的公式。但部分问题可根据实际情况来解决。 • 例3：集合S中的n个元素平均分成t个块，每块有q个元素，即n=t·q,求分成t个块的不同分法数。 • 首先考虑作为有序划分其数目为n!/(q!)t • 一个无序划分对应t!个不同的有序划分 • 分成t个块的不同分法数为(1/t!)×n!/(q!)t

  11. 例4:6本不同的书分成三堆，每堆2本，有多少种分法？例4:6本不同的书分成三堆，每堆2本，有多少种分法？ • 例5:8本不同的书分成5堆,其中2堆各1本,另3堆各2本,问有多少种分法?

  12. 容斥原理(也称为包含排斥原理)是一个基本的计数原理，它在概率论和数论中也经常使用。容斥原理(也称为包含排斥原理)是一个基本的计数原理，它在概率论和数论中也经常使用。 • 一、容斥原理 • 在介绍排列组合时，曾给出大家熟悉的加法原理： • 设A和B是有限集合S的两个互不相交的子集，且A∪B=S，则|S|=| A|+|B| • 对于A和B是两个相交集合，S的元素个数与A和B的关系如何？ 11.5 容斥原理

  13. 所以由加法原理|B|=|(A∩B)∪(B-A)| =|A∩B|+|B-A|， 即|B-A|=|B|-|A∩B| 所以|A∪B|=|A|+|B-A|=|A|+|B|-|A∩B| • 定理11.12：设A，B为有限集合，则有：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|。 • 证明：A、B为有限集，故A∪B、A∩B和A-B都是有限集。因为A∪B=A∪(B-A)，且A∩(B-A)=， • 所以由加法原理|A∪B|=|A|+|B-A|; • |B-A|=？

  14. 定理11.13：设A1,A2,…,An为有限集合，则： 证明略。 推论11.7：设S是一个有限集，P1,P2,…,Pn是集合S中元素可能具有的n种性质， A1,A2,…,An分别是S中具有性质P1,P2,…,Pn的元素全体构成的集合，即AiS，则S中不具有性质P1,P2,…,Pn的元素个数为：

  15. 例:某系有 100 个学生至少要学法、德、英三种语言中的一种。现在这 100 个学生中有42人学法语，45人学德语，65人学英语，15人学法语和德语，20人学法语和英语，25 人学德语和英语。问同时学三种语言的有多少? 仅学英语的有多少? • 解:令A,B,C分别表示学法语、德语、英语学生的集合。则 • |A|=42,|B|=45,|C|=65,|A∩B|=15,|A∩C|=20,|B∩C|=25, |A∪B∪C|=100。 • 由容斥原理得： • |A∪B∪C| =(|A|+|B|+|C|)-(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)+ |A∩B∩C| • 所以|A∩B∩C|=|A∪B∪C|-(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B| +|A∩C|+|B∩C|)=8 • 仅学英语的人数为： • |C|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|=28

  16. 例：在r位的5 进制序列里，至少包含一个0，一个1和一个2的序列有多少个? • 解：令A表示不含0的r 位5进制序列集合， • B表示不含1的r 位5进制序列集合, • C表示不含2的r 位5进制序列集合。 • 则A∪B∪C表示不同时包含0,1,2的r位5进制序列集合。 • 用S表示r位5进制序列全体构成的集合

  17. 例：求在1到1000之间那些不能被5,6,8中任何一个数整除的整数个数。例：求在1到1000之间那些不能被5,6,8中任何一个数整除的整数个数。 • 解：令S表示1—1000的整数全体 • A表示S中能被5整除的整数集合， • B表示S中能被6整除的整数集合, • C表示S中能被8整除的整数集合。则: • |A|=［1000/5］=200,|B|=［1000/6］=166, • |C|=［1000/8］=125 • A∩B表示S中能被5和6整除(即能被30整除)的整数集合， • A∩C表示S中能被5和8整除(即能被40整除)的整数集合， • B∩C表示S中能被6和8整除(注意求6和8的最小公倍数，即能被24整除)的整数集合， • A∩B∩C表示S中能被5，6和8整除(注意求5，6和8的最小公倍数，即能被120整除)的整数集合，

  18. 作业: • P238: 19,24,26,27,28,29, 31,32,33

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