第三章空间力系

第三章空间力系 山东科技职业学院机电学院

作用在物体上各力的作用线不在同一平面内，称该力系为空间力系。作用在物体上各力的作用线不在同一平面内，称该力系为空间力系。按各力的作用在空间的位置关系，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系。前几章介绍的各种力系都是空间力系的特例。铰支座山东科技职业学院机电学院

止推轴承 山东科技职业学院机电学院

第一节力在空间直角坐标轴上的投影 • 直接投影法现在讨论力F在空间直角坐标系Oxy中的情况。如图6－2(a)所示，过力F的端点A、B分别作x、y、z三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA、OB、OC就是力F在x、y、z轴上的投影。设力F与x、y、z所夹的角分别是α、β、γ，则力F在空间直角坐标轴上的投影为：山东科技职业学院机电学院

2. 二次投影法 一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F与z轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy上，然后再投影到坐标轴x、y上，如图所示。设力F在Oxy平面上的投影为Fxy与x轴间的夹角为θ，则山东科技职业学院机电学院

若已知力F在坐标轴上的投影，则该力的大小及方向余弦为若已知力F在坐标轴上的投影，则该力的大小及方向余弦为如果把一个力沿空间直角坐标轴分解，则沿三个坐标轴分力的大小等于力在这三个坐标轴上投影的绝对值。山东科技职业学院机电学院

例3－1 　如图所示，已知力F1＝2kN，F2＝1kN，F3＝3kN，试分别计算三力在x、y、z轴上的投影。　解山东科技职业学院机电学院

第二节空间汇交力系的合成与平衡 一空间汇交力系的合成空间汇交力系合成为一个合力，其合力的作用线通过汇交点。合力矢为：空间汇交力系合成的结果为一合力，合力的作用线通过各合力的汇交点，合力矢量为各分类矢量和。山东科技职业学院机电学院

二.空间汇交力系的平衡条件及平衡方程式 与建立平面力系的平衡条件的方法相同，通过力系的简化，可建立空间汇交力系的平衡方程。平衡山东科技职业学院机电学院

平衡方程 空间力系平衡的必要和充分条件为各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和分别等于零。山东科技职业学院机电学院

Fz Fy Fx 第三节力对轴之矩一力对轴之矩的概念力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的量度，是一个代数量，其大小等于力在垂直于该轴的平面上的投影对该平面与该轴的交点的矩，其正负号规定为：从轴的正向看，力使物体绕该轴逆时针转动时，取正号；反之取负号。也可按右手螺旋法则来确定其正负号，姆指指向与轴的正向一致时取正号，反之取负号。山东科技职业学院机电学院

力对轴之矩代数量的正负号 山东科技职业学院机电学院

二.合力矩定理 方法一:将力向垂直于该轴的平面投影 ,力的投影与投影至轴的垂直距离的乘积. Mz (F) = Fxyd =±2OAB 山东科技职业学院机电学院

二.合力矩定理 设有一空间力系F1，F2，….，Fn，其合力为FR，则可证明合力FR对某轴之矩等于各分力对同轴力矩的代数和。可写成方法二:将力向三个坐标轴方向分解,分别求三个分力对轴之矩，然后将三个分力对轴之矩的代数值相加。山东科技职业学院机电学院

按上述方法可得 这就是计算力对轴之矩的解析式。山东科技职业学院机电学院

 力对轴之矩与力对点之矩的关系 • 结论:力对点之矩的矢量在某一轴上的投影,等于这一力对该轴之矩。山东科技职业学院机电学院

Mo r F F  力对轴之矩与力对点之矩的关系特殊情形山东科技职业学院机电学院

Mo =M A-A r F  力对轴之矩与力对点之矩的关系 • 结论 :当轴垂直于r 和F所在的平面时,力对点之矩与力对轴之矩在数值上相等。特殊情形山东科技职业学院机电学院

第四节空间任意力系的平衡方程 一、任意力系的平衡条件和平衡方程式与建立平面力系的平衡条件的方法相同，通过力系的简化，可建立空间力系的平衡方程。与简化中心有关山东科技职业学院机电学院

平衡方程为 平衡空间力系平衡的必要和充分条件为各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对此三轴之矩的代数和分别等于零。山东科技职业学院机电学院

MO FR d=M/FR FR  一般力系简化的最后结果最后结果山东科技职业学院机电学院

y x z MOx FR y y MO MOy MOx d=M/FR FR FR x z x z  一般力系简化的最后结果最后结果山东科技职业学院机电学院

y x z MOx FR d=M/FR  一般力系简化的最后结果力螺旋山东科技职业学院机电学院

二、空间平行力系的平衡方程 设某一物体受一空间平行力系作用而平衡，令z轴与该力系的各力平行，则有因此空间平行力系只有三个平和方程式。平衡方程山东科技职业学院机电学院

例3-2用三角架ABCD和绞车提升一重物如图所示。设ABC为一等边三角形，各杆及绳索均与水平面成60º的角。已知重物FG＝30kN,各杆均为二力杆，滑轮大小不计。试求重物匀速吊起时各杆所受的力。例3-2用三角架ABCD和绞车提升一重物如图所示。设ABC为一等边三角形，各杆及绳索均与水平面成60º的角。已知重物FG＝30kN,各杆均为二力杆，滑轮大小不计。试求重物匀速吊起时各杆所受的力。解取铰D为脱离体，画受力图如图b所示，各力形成空间汇交力系。由ΣFx＝0, －NADcos60ºsin60º+ NBDcos60ºsin60º=0 得 NAD=NAD 由ΣFy＝0, T cos60º+NCDcos60º－NADcos60ºcos60º－NBDcos60ºcos60º=0 得 FG＋NCD－0.5NAD－0.5NBD=0 山东科技职业学院机电学院

由ΣFz＝0, NADsin60º+NCDsin60º+NBDsin60º―T sin60º―FG=0得 0.866(NAD+ NCD+ NBD)－(0.866+1)FG=0联立求解得　NAD =NBD =31.55kN， NCD=1.55kN。山东科技职业学院机电学院

例3-3　　某厂房柱子下端固定，柱顶承受力F1，牛腿上承受铅直力F2及水平力F3，取坐标系如图所示。F1、F2在yoz平面内，与z轴的距离分别为e1＝0.1m，e2＝0.34m；F3平行于x轴。已知F1＝120kN，F2＝300kN，F3＝25kN，柱子自重FG＝40kN，h＝6m。试求基础的约束反力。例3-3　　某厂房柱子下端固定，柱顶承受力F1，牛腿上承受铅直力F2及水平力F3，取坐标系如图所示。F1、F2在yoz平面内，与z轴的距离分别为e1＝0.1m，e2＝0.34m；F3平行于x轴。已知F1＝120kN，F2＝300kN，F3＝25kN，柱子自重FG＝40kN，h＝6m。试求基础的约束反力。山东科技职业学院机电学院

解柱子基础为固定端，其约束反力如图0所示，该约束反力与柱子上各荷载形成空间任意力系。解柱子基础为固定端，其约束反力如图0所示，该约束反力与柱子上各荷载形成空间任意力系。 • ΣFx＝0Fx―F3＝0 • ΣFy＝0Fy＝0 • ΣFz＝0Fz―F1－F2―FG＝0 • Σmx(F)＝0 mx + F1e1－F2e2＝0 • Σmy(F)＝0my－F3 h＝0 • Σmz(F)＝0 mz+ F3e2＝0 • 将已知数值代入以上方程并求得柱子的约束反力为 • F1＝25kN Fy＝0 Fz＝460kN • mx ＝90kNm my＝150kNm • mz＝－8.5kNm 山东科技职业学院机电学院

例3-4　图a所示为水平放置的直角直杆，A处为球铰，B处用绳BC拉住，D处为普通轴承约束，E悬挂重物FG＝1kN，各尺寸如图所示。试求A、D的约束反力及绳BC的拉力。例3-4　图a所示为水平放置的直角直杆，A处为球铰，B处用绳BC拉住，D处为普通轴承约束，E悬挂重物FG＝1kN，各尺寸如图所示。试求A、D的约束反力及绳BC的拉力。山东科技职业学院机电学院

解　　画出折杆的受力图并取坐标系如图b所示。将绳的拉力FTB沿x、y、z三个方向分解：解　　画出折杆的受力图并取坐标系如图b所示。将绳的拉力FTB沿x、y、z三个方向分解： • FTBx＝FTBcosα FTBy＝FTBcosβFTBz＝FTBcosγ • 列出力矩方程时分别选择AB、BD、AD及Z轴为矩轴。 • ΣmAB(F)＝0 FDz＝0 • ΣmBD(F)＝0 1FDz－0.5FG＝0 • FAz＝500N • ΣmAD(F)＝0 d1FTBz －d2FG＝0 • 其中山东科技职业学院机电学院

其中 • 代入上式得 FTB=583N • 由 Σmz(F)＝0 • －FDy×1＋FTBx×1＝0 ΣFx＝0FTBx＝FAx＝0 FAx＝―FTBx＝―166.6N ΣFy＝0FAy+FDy－FTBy＝0 山东科技职业学院机电学院

第五节重心的概念 物体的重力是地球对物体的引力，如果把物体看成是由许多微小部分组成的，则每个微小的部分都受到地球的引力，这些引力汇交于地球的中心，形成一个空间汇交力系，但由于我们所研究的物体尺寸与地球的直径相比要小得多，因此可以近似地看成是空间平行力系，该力系的合力即为物体的重量。由实践可知，无论物体如何放置，重力合力的作用线总是过一个确定点，这个点就是物体的重心。山东科技职业学院机电学院

重心的位置对于物体的平衡和运动，都有很大关系。在工程上，设计挡土墙、重力坝等建筑我时，重心位置直接关系到建筑我的抗倾稳定性及其内部受力的分布。机械的转动部分如偏心轮应使其重心离转动轴有一定距离，以便利用其偏心产生的效果；而一般的高速转动物体又必须使其重心尽可能不偏离转动轴，以免产生不良影响。所以如何确定物体的重心位置，在实践中有着重要的意义。重心的位置对于物体的平衡和运动，都有很大关系。在工程上，设计挡土墙、重力坝等建筑我时，重心位置直接关系到建筑我的抗倾稳定性及其内部受力的分布。机械的转动部分如偏心轮应使其重心离转动轴有一定距离，以便利用其偏心产生的效果；而一般的高速转动物体又必须使其重心尽可能不偏离转动轴，以免产生不良影响。所以如何确定物体的重心位置，在实践中有着重要的意义。山东科技职业学院机电学院

第六节重心坐标公式 • 如图所示，设一物体放置于坐标系Oxyz中,将物体分成许多微小的部分，其所受的重力各为ΔPi，作用点即微小部分的重心为Ci ，其对应坐标分别为xi、yi、zi，所有ΔPi的合力P就是整个物体所受的重力，其大小即整个物体的重量为P＝ΣΔp，其作用点即为物体的重心C。设重心C的坐标为xc、yc、zc ，由合力矩定理，有 mx(P)＝Σmx(ΔP) , ―Pyc＝－ΣΔPy my(P)＝Σmy(ΔP) , Pxc＝ΣΔPx 山东科技职业学院机电学院

根据物体重心的性质，将物体与坐标系固连在一起绕x轴转过90º，各力ΔPi及P分别绕其作用点也转过90º，如图中虚线所示，再应用合力矩定理，有根据物体重心的性质，将物体与坐标系固连在一起绕x轴转过90º，各力ΔPi及P分别绕其作用点也转过90º，如图中虚线所示，再应用合力矩定理，有 • mx(P)＝Σmx(ΔP) , Pzc＝ΣΔPz • 由上述三式可得物体的重心坐标公式为若物体是均质的，其单位体积的重量为γ，各微小部分体积为ΔVi，整个物体的体积为V＝ΣΔV，则ΔPi＝γΔVi，P＝γV代入上式，得山东科技职业学院机电学院

由上式可知，均质物体的重心与物体的重量无关，只取决于物体的几何形状和尺寸。这个由物体的几何形状和尺寸决定的物体的几何中心，称为物体的形心。它是几何概念。只有均质物体的重心和形心才重合于同一点。由上式可知，均质物体的重心与物体的重量无关，只取决于物体的几何形状和尺寸。这个由物体的几何形状和尺寸决定的物体的几何中心，称为物体的形心。它是几何概念。只有均质物体的重心和形心才重合于同一点。山东科技职业学院机电学院

若物体是均质薄壳（或曲面），其重心（或形心）坐标公式为 若物体是或均质细杆（或曲线），其重心（或形心）坐标公式为山东科技职业学院机电学院

第七节重心及形心位置的求法 一、对称法由重心公式不难证明，具有对称轴、对称面或对称中心的均质物体，其形心必定在其对称轴、对称面或对称中心上。因此，有一根对称轴的的平面图形，其形心在对称轴上；具有两根或两根以上对称轴的平面图形，其形心在对称轴的交点上；有对称中心的物体，其形以在对称中心上。如下图所示。山东科技职业学院机电学院

二、分割法 （1）积分法—无限分割法：在求基本规则形体的形心时，可将形体分割成无限多块微小形体，可写成积分形式体积、面积等形心公式可依此类推山东科技职业学院机电学院

（2）组合法—有限分割法 有些平面图形是由几个简单图形组成的，称为组合图形，可先把图形分成几个简单图形，每个简单图形的形心可查表(3－1)求得，再应用形心坐标公式计算出组合图形的形心这种方法称组合法。三、平衡法（实验法（1）悬挂法（2）称重法山东科技职业学院机电学院

解因图形有一对称轴，故取该轴为轴，如图所示。则图形形心必在轴上，即xc＝0。将图形分成两部分A1、A2，各分图形面积及坐标yi如下解因图形有一对称轴，故取该轴为轴，如图所示。则图形形心必在轴上，即xc＝0。将图形分成两部分A1、A2，各分图形面积及坐标yi如下例3-5　图示为一倒T形截面，求该截面的形心。山东科技职业学院机电学院

A1＝200×400＝80 000 (mm2) • Y1＝400/2+100＝300 (mm) • A2＝600×100＝60 000 (mm2) • Y1＝100/2＝50 (mm) 则山东科技职业学院机电学院

例3-6　图示为振动器中偏心块，已知R＝100mm，r＝17mm，d＝13mm。求偏心块形心。例3-6　图示为振动器中偏心块，已知R＝100mm，r＝17mm，d＝13mm。求偏心块形心。 • 解　　将偏心块看成是由三部分组成的，即半径为R的半圆A1 、半径为（r+d）的半圆A2 、及半径为r的圆A3，但因为该圆是被挖去的部分，所以A3应取负值。取坐标如图，轴为对称轴，故xc＝0。各部分的面积及形心坐标为山东科技职业学院机电学院

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