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Hyperbelfunktionen

Hyperbelfunktionen. Simone Kopp Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg PS Analysis, WS 08/09 Dozentin: PD Dr. Gudrun Thäter. Inhalt. Motivation Hyperbelfunktionen Zusammenhang Umkehrfunktionen Geometrische Definition. Bedeutung von Hyperbel. Griechisch: ὑπερβολή , hyperbolé –

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Presentation Transcript

  1. Hyperbelfunktionen Simone Kopp Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg PS Analysis, WS 08/09 Dozentin: PD Dr. Gudrun Thäter

  2. Inhalt • Motivation • Hyperbelfunktionen • Zusammenhang • Umkehrfunktionen • Geometrische Definition

  3. Bedeutung von Hyperbel • Griechisch: ὑπερβολή, hyperbolé – die Übertreffung, Übertreibung, von altgriechisch hyperbállein - übertreffen

  4. Anwendung • Spinnweben • Kettenlinie: • Griechische Tempelsäulen • Hochspannungsleitungen • Stahlseile

  5. Kettenlinie • Homogenes Seil hängt wegen Eigenlast durch und beschreibt eine Kosinus-Hyperbolicus Funktion • Kettenlinie = Seilkurve

  6. Kettenlinie y -Achse a x -Achse a = positive Konstante

  7. Hyperbelfunktionen • Kosinus Hyperbolicus (cosh) • Sinus Hyperbolicus (sinh) • Tangens Hyperbolicus (tanh) • CotangensHyperbolicus (coth) • Sekans Hyperbolicus (sech) • Kosekans Hyperbolicus (csch)

  8. Kosinus Hyperbolicus • Gerade Funktion f(x)=f(-x) • Def.bereich: – ∞ < x < +∞ • Wertebereich: 1≤ f(x) < +∞

  9. Sinus Hyperbolicus • Ungerade Funktion f(x)=-f(-x) • Def.bereich: – ∞ < x < +∞ • Wertebereich: – ∞ < f(x) < +∞

  10. Tangens Hyperbolicus • Def.bereich: – ∞ < x < +∞ • Wertebereich: – 1 < f(x) < +1

  11. CotangensHyperbolicus • Def.bereich: – ∞ < x < +∞ ; x ≠ 0 • Wertebereich: – ∞ < f(x) < – 1 ; 1 < f(x) < + ∞

  12. Zusammenhang Additionstheoreme:

  13. Zusammenhang • Differentiationsformeln:

  14. Zusammenhang • Viele Übereinstimmungen zu Sinus und Kosinus, usw Name: Sinus Hyperbolicus, Kosinus Hyperbolicus, usw

  15. Umkehrfunktionen • werden Areafunktionen genannt (lat. area –Fläche) • Area Kosinus Hyperbolicus (arcosh) • Area Sinus Hyperbolicus (arsinh) • Area Tangens Hyperbolicus (artanh) • Area CotangensHyberbolicus (arcoth)

  16. Umkehrfunktionen

  17. Umkehrfunktionen

  18. Einheitshyperbel/Einheitskreis

  19. Geometrische Definition tanh(a)

  20. Einheitshyperbel

  21. Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

  22. Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

  23. Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

  24. Einheitshyperbel sin, cos, tan sinh, cosh, tanh

  25. Einheitshyperbel- sinh & cosh sinh cosh Argument

  26. Noch Fragen??? Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!

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