第六节高斯公式

第六节高斯公式 一、高斯公式二、通量与散度

Newton-Lebniz 公式 Green 公式 Gauss 公式

一、高斯公式 定理1设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成 函数P、Q、R在上具有一阶连续偏导数 则有这里是的整个边界的外侧cos、cos、cos是在点(x y z)处的法向量的方向余弦 证明: 下面先证:

证明:设 为XY型区域 , 则

所以则可引进辅助面若 不是 XY–型区域 , 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 类似可证三式相加, 即得所证 Gauss 公式：

例1.用Gauss公式计算 其中 为柱面及平面 z = 0 , z = 3所围空间闭域  的整个边界曲面的外侧. 解:这里利用Gauss 公式, 得原式 = (用柱坐标) 思考:若  改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?

例2.利用Gauss 公式计算积分 其中  为锥面介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 解:作辅助面取上侧所围区域为, 则

利用重心公式, 注意

例3. 取上侧, 求设 为曲面作取下侧的辅助面解: 用极坐标用柱坐标

练习题 提示

*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 1. 连通区域的类型设有空间区域G , • 若 G内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 2. 闭曲面积分为零的充要条件定理2. 在空间二维单连通域G内具有连续一阶偏导数, 则 为G内任一闭曲面, ① 的充要条件是: ②

三、通量与散度 • 高斯公式的物理意义高斯公式可以简写成其中vnvnPcosQcosRcos 公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量 左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量

散度设的体积为V由高斯公式得由积分中值定理得令缩向一点M(xyz)得提示: 其左端表示内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值. 提示: 其左端表示流体在点M的源头强度——单位时间单位体积分内所产生的流体质量 称为v在点M的散度

散度设某向量场由A(xyz)P(xyz)iQ(xyz)jR(xyz)k给出 其中PQR具有一阶连续偏导数 则称为向量场A的散度记作divA即 • 通量设是场内的一片有向曲面n是上点(xyz)处的单位法向量 则称为向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量)

散度向量场A(xyz)P(xyz)iQ(xyz)jR(xyz)k的散度 • 通量向量场A通过曲面向着指定侧的通量(或流量) • 高斯公式的另一形式

作业：p-236习题11-6 1 (2), (4), (5); 2(2) ; 3(1)

第六节 高斯公式