Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

1. Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Факультет вычислительной математики и кибернетики Учебно-исследовательская лаборатория “Информационные технологии” Основы нечеткой логики Логико-лингвистические модели Магистранты 1 года обучения: Ефимов А.С. и Морёнов О.А. Нижний Новгород, 2004г.

2. Часть I Основы теории нечеткой логики Всего 19слайдов

3. Откуда всё это взялось? Люди, в силу природного эгоизма, склонны оценивать любые данные с точки зрения полезности для СЕБЯ: становятся важны не сами количественные данные, а их интерпретация КАКИЕ понятия, категории использовать для этого??? Большая часть используемых нами понятий по своей природе нечетки и размыты: КАК построить пороговую функцию принадлежности для множеств «взрослый», «холодный», «качественный», «быстрый» и т.д.??? Множества, для которых функция принадлежности представляет собой не жесткий порог (принадлежит/не принадлежит), а плавную кривую (часто упрощаемую ломаной линией), пробегающую все значения от нуля до единицы – нечеткие множества (fuzzy sets) Барт Коско, один из классиков нечеткой логики: “Бинарная логика - не более чем роковая ошибка античной цивилизации.”

4. Для чего нужна нечеткая логика? КАК на основе таких понятий (представленных нечеткими множествами) смоделировать процесс человеческих рассуждений ??? создание аппарата, способного моделировать рассуждения на основе сложных причинно-следственных связей – нечеткой логики и нечеткого вывода Нечеткая логика - надмножество булевой логики, расширенной с целью обработки значений истинности между «полностью истинным» и «полностью ложным» на основе нечетких множеств разработана профессором Калифорнийского университета Беркли Лотфи А. Заде (Lotfi A. Zadeh) в работах: «Fuzzy sets» (1965г) и «Fuzzy logic» (1975г). University of California, Berkeley Professor Lotfi A. Zadeh

5. Примеры использования нечеткой логики • Движением пригородных поездов до японского города Сендай, начиная с 1987 года управляет система, основанная на нечеткой логике • Создание управляющего микропроцессора на основе нечеткой логики, способного автоматически решать «задачу о собаке, догоняющей кота» (Министерство обороны США) • Matsuhita в феврале 1991 года анонсировала первую «интеллектуальную» стиральную машину, в системе управления которой применялась нечеткая логика • Решения сложнейших задач прогнозирования различных финансовых индикаторов (японская корпорацияYamaichi) • Один из отечественных программных продуктов - пакет “Бизнес-прогноз” для оценки прибыльности инвестиционных проектов. Замечание: Нечеткие системы управления и прогнозирования основаны на нечеткой базе знаний и использовании лингвистических переменных. В основу функционирования положен механизм нечеткого вывода.

6. Лингвистическая переменная Опр1 (упрощенное): Лингвистическая переменная - переменная, принимающая значения из множества слов или словосочетаний некоторого естественного или искусственного языка. Опр2 (полное): Лингвистическая переменная - набор < b,T,X,G,M >, где • b– наименование лингвистической переменной; • Т– множество ее значений (базовое терм-множество), представляющих собой наименования нечетких переменных на области определения X; • G– синтаксическая процедура, позволяющая генерировать новые термы. Множество T  G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, –расширенное терм-множество; • М– семантическая процедура, превращающая каждый терм из G(T) в нечеткую переменную. Пример1: Давление = { большое, низкое, среднее } термы (T) нечеткие переменные Пример1:G(T)={ низкое или среднее, очень большое …}

7. Пример2:ЛП«температура в комнате» b = «температура в комнате» - имя лингвистической переменной; X = [5,35] – универс определения; T={"холодно", "комфортно","жарко"} - базовое терм-множество; G - синтаксические правила, порождающее новые термы с использованием квантификаторов "и","или", "не", "очень","более-менее"; М- процедура, ставящая каждому новому терму в соответствие функцию принадлежности (т.е. задавая нечеткое множество) по правилам: если термы А и В имели функции принадлежности μа(x) и μB(x) соответственно, то новые термы будут иметь функции принадлежности:

8. Нечёткая переменная Нечеткая переменная характеризуется тройкой < a,X,A >, где • a - наименование переменной, • X - универсальное множество (область определения), • A – функция принадлежности, определённая для всех элементов xX и говорящая о степени уверенности в том, что х является значением данной переменной. • Пример: • Нечеткая переменная «высокий рост», • где «высокий рост» - наименование • переменной, • Х = [130,240], • А – функция принадлежности • элементов из универса X данной • нечеткой переменной. Пояснение: Нечеткая переменная – именованное нечеткое множество

9. Нечёткое множество (fuzzy set) Нечеткое множество– подмножество элементов А изуниверса Етакое, что каждому элементу сопоставлена степень принадлежности этого элемента множеству A. • Нечеткое множество полностью определяется заданием функции принадлежностиμА(x): ее область определения – xЕ, область значений – отрезок [0,1]. • Чем выше значение μА(x):, тем выше оценивается степень принадлежности элемента xE нечеткому множеству А. Пример: Нечеткое множество «Оптимальный возраст работника»: A=[20,70], E=[0,100], функция принадлежности, полученная на основе опроса ряда экспертов:

10. Операции над нечёткими множествами Даны нечеткие множества А и В с функциямипринадлежности:А(u) и B(u), тогда результат операций - нечеткое множество с функцией принадлежности C(u), причем: • если С = АВ, то C(u) = min(А(u), B(u)); • если С = АВ, то C(u) = max(А(u), B(u)); • если С = , то C(u) = 1 - А(u). Пример:Пусть A- нечеткое множество«числа от 5 до 8»иB– нечеткое множество «числа около 4»,заданные своими функциями принадлежности ( E =[0,10] ) «от 5 до 8 и около 4» «от 5 до 8 или около 4» «не от 5 до 8»

11. Свойства операций над нечёткими множествами Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства: 1)Коммутативность: 2)Ассоциативность: 3)Идемпотентность: 4)Дистрибутивность: 5)Законы де Моргана: 6) , где - пустое множество, т.е . 7) 8) !!! ;

12. Нечёткие отношения Нечеткое отношение R на четких непустых множествах A1, A2 … An – нечеткое множество, определенное на подмножестве декартова произведения A1xA2 x…x An. • Степень принадлежности показывает степень выполнения отношения R между элементами • В случае конечных или счетных универсов интерпретация бинарного нечеткого отношения в виде взвешенного графа с весами μR(xi, yj) или матрицей Пример: Пусть ,тогда нечеткое отношение «x приблизительно равно y»:

13. Основные операции над нечёткими отношениями 1) Объединение двух отношенийR1R2. Пример: xR1y - «действительные числа x и y очень близкие», xR2y - «числа x и y очень различны», x(R1R2)y - "числа x и y очень близкие или очень различные". Замечание: Функции принадлежности отношений заданы на |x-y|.

14. 2) Пересечение двух отношений R1∩R2 Пример: xR1y – «модуль разности |x-y| близок к α», xR2y – «модуль разности |x-y| близок к β», x(R1∩R2) y – «модуль разности |x-y| близок к α и β».

15. Композиция двух нечётких отношений Пусть R1 - нечеткое отношение : (X x Y)→ [0,1] между X и Y; R2 - нечеткое отношение : (Y x Z) →[0,1] между Y и Z. (sup-min)-Композиция отношений R1 и R2 – нечеткое отношениемежду X и Z, обозначаемое R1•R2, определяемое: Пример: • =

16. Нечеткие высказывания

17. Высказывания на множестве значений фиксированной ЛП Значения ЛП соответствуют нечетким множествам одного и того же универса Х Пример: ЛП «толщина изделия» Х = [10, 80] T= {"малая", "средняя", "большая"} A1 A2A3

18. Высказывания на множестве значений нескольких ЛП <a, Ta, X, Ga, Ma>и <b, Tb, Y, Gb, Mb> - лингвистические переменные; Каким образом ???

19. Правила преобразования нечетких высказываний вида 3 1)Правило преобразования конъюнктивной формы: <(a есть a') и (b есть b')> => <(a, b) есть (a'b')> исходное высказывание новая ЛП значение новой ЛП НМ на универсе X x Y c функциейпринадлежности: 2)Правило преобразования дизъюнктивной формы: <(a есть a') или (b есть b')> => <(a, b) есть (a'b')>

20. 3)Правило преобразования импликативной формы: <Если (a есть a'), то (b есть b')> => <(a, b) есть (a'->b')> новая ЛП значение новой ЛП НМ A НМ B Нечеткое отношение xRy c функциейпринадлежности: Правило Мамдани

21. Что у нас теперь есть? • Формализовано понятие «лингвистическая переменная» • Введено понятие «нечеткое высказывание», содержащее лингвистические переменные • Рассмотрены основные преобразования нечетких высказываний (логические связки) Заложен механизм формирования нечеткой базы знаний на основе правил типа «Если …, то…»

22. Часть II Логико-лингвистические модели Всего 13слайдов

23. Логико-лингвистическое описание систем, нечеткие модели Логико-лингвистические методы описания систем основаны на том, что поведение исследуемой системы описывается в  естественном (или близком к естественному) языке в терминах лингвистических переменных. L1 : Если <a11 > и/или … и/или <a1m>то <b11> и/или… и/или <b1n>L2 : Если <a21 > и/или … и/или <a2m>то <b21 > и/или… и/или<b2n> .................... Lk : Если <ak1 > и/или … и/или <akm> то <bk1 > и/или… и/или <bkn> Нечёткие высказывания типов 1 и 2

24. Логико-лингвистическое описание систем, нечеткие модели L1 : если <A1 > то <B1 > L2 : если <A2 > то <B2 > .................... Lk: если <Ak > то <Bk > Совокупность импликаций {L1, L2, ..., Lk} отражает функциональную взаимосвязь входных и выходных переменных и является основой построения нечеткого отношения XRY, заданного на произведении X x Y универсальных множеств входных и выходных переменных. Отношение R строится как . Нечёткие высказывания типа 3

25. Логико-лингвистическое описание систем, нечеткие модели В основе построения логико-лингвистических систем лежит композиционное правило вывода. Если на множестве X задано нечеткое множество A, то композиционное правило вывода B = A·R, где R – некоторое нечеткое отношение,определяет на Y нечеткое множество B с функцией принадлежности: Таким образом, композиционное правило вывода в этом случае задает закон функционирования нечеткой модели системы. Преимущество: универсальность Недостаток: необходимость работать в пространстве размерности m×n

26. Нечёткий вывод Опр:Нечетким логическим выводом(fuzzy logic inference) называется аппроксимация зависимости Y = f(X1,X2…Xn) каждой выходной лингвистической переменной от входных лингвистических переменных и получение заключения в виде нечеткого множества, соответствующего текущим значениях входов, с использованием нечеткой базы знаний и нечетких операций. Основу нечеткого логического вывода составляет композиционное правило Заде В общем случае нечеткий вывод решения происходит за три (или четыре) шага. фаззификация Степени уверенности простейших посылок Входные значения Этап непосредственного нечёткого вывода аккумуляция Результат в виде нечёткого множества Нечёткие импликации дефаззификация Выходное значение

27. База знаний Общий вид правил в базе знаний: ЕслиЛингвистическая Переменная 1 есть Терм Лингвистической Переменной 1иЛингвистическая Переменная 2 есть Терм Лингвистической Переменной 2и … иЛингвистическая Переменная N есть Терм Лингвистической Переменной NТо ВыходнаяЛингвистическая Переменная есть Терм Выходной Линг.Перем. Пример: Если Температура низкая и Расход малый То Давление низкое ВыходнаяЛингвистическая Переменная Лингвистическая Переменная 1 Лингвистическая Переменная 2 Терм Лингвистической Переменной 1 Терм Лингвистической Переменной 2 Терм Выходной Лингвистической Переменной

28. Нечёткийвывод • Пусть есть система описывающая поведение некоторого реактора в виде следующих правил: • Если Температура низкая и Расход малый, то Давление низкое • Если Температура средняя, то Давление среднее • Если Температура высокая или Расход большой то Давление высокое • Известны значения температуры : 85 и расхода : 3.5. Необходимо вывести значение давления.

29. Температура. Унивёрс (множество возможных значений) – отрезок [0,150] . Начальное множество термов {Высокая, Средняя, Низкая}. Функции принадлежности термов имеют следующий вид: Высокая СредняяНизкая Давление. Унивёрс – отрезок [0,100]. Начальное множество термов {Высокое, Среднее, Низкое} Функции принадлежности термов имеют следующий вид: Высокое Среднее Низкое Расход. Унивёрс – отрезок [0,8]. Начальное множество термов {Большой, Средний, Малый} Функции принадлежности термов имеют следующий вид Большой Средний Малый Нечёткий вывод

30. Нечёткий вывод • Этап фаззификации С помощью функций принадлежности всех термов входных лингвистических переменных и на основании задаваемых четких значений из универсов входных лингвистических переменных определяются степени уверенности в том, что выходная лингвистическая переменная принимает значение – конкретный терм. Эта степень уверенности есть ордината точки пересечения графика функции принадлежности терма и прямой x = четкое значение ЛП. В нашем примере имеем: • Температура Высокая - 0.7 • Температура Средняя - 1 • Температура Низкая - 0,3 • Расход Большой - 0 • Расход Средний - 0,75 • Расход Малый - 0,25 0.7 85

31. Нечёткий вывод 2) Этап непосредственного нечёткого вывода На основании набора правил – нечеткой базы знаний – вычисляется значение истинности для предпосылки каждого правила на основании конкретных нечетких операций, соответствующих конъюнкции или дизъюнкции термов в левой части правил. Используя один из способов построения нечёткой импликации мы получим нечёткую переменную, соответствующую вычисленному значению степени уверенности в левой части правила и нечеткому множеству в правой части правила. Определение посылок правил: Температура низкая и Расход малый: min (Темп. Низкая, Расход Малый)= = min(0.3, 0.25)=0.25 Температура Средняя : 1 Температура Высокая или Расход Большой: max(Темп. Высокая, Расход Большой)=max(0.7,0)=0,7

32. Нечёткий вывод Построение нечёткой импликации: Правило 3 Правило 2 Правило 1 + + + 0,7 0,25 1

33. Нечёткий вывод Построение нечёткой импликации: Если ТЕМРЕРАТУРА низкая И РАСХОД малый, то ДАВЛЕНИЕ низкое 85 0,3 0,25 MIN 3,5 0,25

34. Нечёткий вывод 3) Этап композиции (аккумуляции) Все нечеткие множества, назначенные для каждого терма каждой выходной лингвистической переменной объединяются вместе и формируется единственное нечеткое множество - значение для каждой выводимой лингвистической переменной. Обычно для этого используются функции MAX или SUM

35. Нечёткий вывод 4) Этап дефаззификации (необязательный) Используется когда необходимо от полученного нечёткого множества перейти к конкретному числовому значению. Для данного этапа существует более 30 методов. Два из общих методов - это «методы полной интерпретации» и «по максимуму». В методе полной интерпретации, точное значение выводимой переменной вычисляется как значение "центра тяжести" функции принадлежности для нечеткого значения. В методе максимума в качестве точного значения выводимой переменной принимается максимальное значение функции принадлежности. Center of Gravity 50 43,9393 First Max

36. Часть III Описание примеров

37. Система “Набор баскетболистов” Лингвистические переменные • Рост баскетболиста • Множество определения – [170,236] • Множество термов - {очень высокий, высокий, средний, низкий} • Техника игры баскетболиста • Множество определения – [0,100] • Множество термов - {отличная, очень хорошая, хорошая, средняя, плохая} • Уверенность принятия в команду • Множество определения – [0,100] • Множество термов - {полная, средняя, малая, не берём}

38. Система “Набор баскетболистов” Рост баскетболиста Множество определения – [170,236] высокий Оченьвысокий низкий средний

39. Система “Набор баскетболистов” Техника игры баскетболиста Множество определения – [0,100] отличная оченьхорошая плохая средняя хорошая

40. Система “Набор баскетболистов” Уверенность принятия в команду Множество определения – [0,100] средняя полная малая не берём

41. Система “Набор баскетболистов”- Правила

42. Система “Футбол” Лингвистические переменные • Разница потерь ведущих игроков • Множество определения – [-6,6] • Множество термов - {большая скамейка, высокий, одинаковая скамейка, короткая скамейка} • Разница игровых динамик • Множество определения – [-15,15] • Множество термов - {существенный проигрыш, проигрыш, выигрыш, существенный выигрыш} • Разница в классе команд • Множество определения – [-13,13] • Множество термов - {лидер, верхняя половина, середина, нижняя половина, • аутсайдер}

43. Система “Футбол” Лингвистические переменные • Фактор поля • Множество определения – [-2,3] • Множество термов - {абсолютная неудача, неудача, преимущество, абсолютное преимущество } • Встречи команд • Множество определения – [-20,20] • Множество термов - {позорные встречи, равные встречи, разгромные встречи} • Результат матча • Множество определения – [-3,3] • Множество термов - {крупный проигрыш, проигрыш, ничья, выигрыш, крупный выигрыш}

44. Система “Футбол” Разница потерь ведущих игроков разница между количеством травмированных и дисквалифицированных футболистов в первой команде – хозяине поля и количеством травмированных и дисквалифицированных футболистов в гостевой команде. Множество определения – [-6,6] большая скамейка одинаковая скамейка короткая скамейка

45. Система “Футбол” Разница игровых динамик разница очков, набранных командой хозяином поля и гостевой командой в последних пяти турах Множество определения – [-15,15] проигрыш существенный проигрыш cущественный выигрыш выигрыш

46. Система “Футбол” Разница в классе команд разница мест, которые занимают команда-хозяин и команда-гость в текущем чемпионате Множество определения – [-13,13] лидер верхняя половина середина нижняя половина аутсайдер

47. Система “Футбол” Фактор поля рассчитываться как HP/HG - GP/GG, где HP – общее количество очков, набранное командой хозяином поля в домашних играх текущего чемпионата; HG - общее количество домашних игр, проведенных командой хозяином поля в текущем чемпионата; GP – общее количество очков, набранное гостевой командой в текущего чемпионата на выезде; GG - общее количество выездных игр, проведенных гостевой командой в текущем чемпионата Множество определения – [-2,3] абсолютноепреимущество преимущество абсолютная неудача неудача

48. Система “Футбол” Результат матча разница голов забитых командой хозяином поля и гостевой командой в предстоящей встрече Множество определения – [-3,3] крупный проигрыш ничья проигрыш выигрыш крупный выигрыш

49. Система “Футбол” - Правила

50. Система “Футбол” - Правила