Gérard Berry Collège de France Chaire Algorithmes, machines et langages

L’électricité est constructive :un modèle intuitionniste de la stabilisationélectrique des circuits cycliques Gérard Berry Collège de France Chaire Algorithmes, machines et langages http://www.college-de-france.fr/site/gerard-berry gerard.berry@college-de-france.fr Cours 7, 26 mars 2014

Pourquoi les circuits cycliques • Les trois sortes de cycles • La logique temporelle UN • Codage des circuits dans UN • Déductions et simulations • Les théorèmes • Débarrassons-nous du temps ! G. Berry, Collège de France

Partage de ressources  cycles combinatoires O if C then F(G(I)) else G(F(I)) C 1 0 F C 1 0 O I 1 0 G C Sharad Malik,Analysis of Cyclic Combinational Circuits IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, VOL. 13, NO. 7, JULY 1994 G. Berry, Collège de France

Partage de ressources  cycles combinatoires O if C then F(G(I)) else G(F(I)) C cycle 1 0 F C 1 0 O I 1 0 G C G. Berry, Collège de France

Partage de ressources  cycles combinatoires C 1 Oif C then F(G(I)) else G(F(I)) 1 1 0 F 1 1 0 O I 1 0 G 1 G. Berry, Collège de France

Partage de ressources  cycles combinatoires C 0 Oif CthenF(G(I)) else G(F(I)) 0 1 0 F 0 1 0 O I 1 0 G 0 Le cycle ne pose ni problème logique, ni problème électrique! G. Berry, Collège de France

Ordonnanceur round-robin à jeton req ok ok req req ok ok req G. Berry, Collège de France

Ordonnanceur round-robin à jeton ok Cycle combinatoire ! ok req G. Berry, Collège de France

Ordonnanceur round-robin à jeton req ok le cycle est sain car coupé à une porte ou ok req G. Berry, Collège de France

req ok Le registre à 1 change à chaque cycle, le point de coupure avec ok req G. Berry, Collège de France

Ordonnanceur round-robin à jeton ok Cycle incorrect si aucun registre à 1 au départ ! ok req G. Berry, Collège de France

ILD  Instruction Length Decoder 1 • Buffer circulaire 16 octets arrivant aléatoirement • Longueur dépendant du premier octet puis des suivants • Longueur potentiellement quelconque • Design naturellement cyclique et dur à rendre acyclique 4 2 6 3 5 G. Berry, Collège de France

Les trois sortes de circuits cycliques • Bons : stabilisation électrique, solution logique unique exemples précédents • Mauvais : pas de stabilisation électrique, pas de solution logique unique X  X X X • Bizarres : solution logique unique, mais stabilisation électrique dépendant des délais des fils et portes X  X  X X pas de stabilisation électrique en partant de X0 avec D2 et E5 D E G. Berry, Collège de France

Electricité  Logique constructive ? • Calcule 1 en logique classique mais pas en logique constructive (sans tiers exclu) ! ToBe Peut-on caractériser logiquement les « bons circuits », i.e., ceux qui se stabilisent électriquement à cause de la propagation toute bête des signaux des entrées jusqu’aux sorties ? • Hamlet : ToBeToBe or not ToBe G. Berry, Collège de France

Notre objectif • Etudier de façon vraiment formelle la relation entre une vision « raisonnablement électrique » et une vision logique • Modéliser la stabilisation, en faisant l’impasse sur les transitoires et autres phénomènes électriques non pertinents pour le besoin • Aller de la théorie aux algorithmes pratiques : détection de correction, construction d’un circuit acyclique équivalent, vérification formelle par rapport à un autre circuit • Théorème(Mendler-Shiple-Berry): • circuit constructif  sorties électriquement stable • vers une valeur unique pour tous délais • sorties calculable vers 0 ou 1 en logique constructive • sorties 0 ou 1 dans le point fixe en logique ternaire {, 0, 1} •  algorithmes pour tester la stabilité électrique G. Berry, Collège de France

Logique Booléenne constructive • Circuit C, vecteur d’entrées : I entrées → {0,1} • Formules : I ⊢eb, abrégées en eb si I constant e0 e1 Ientrée e0 e1 e’0 e’1 II(I) e 1 e 0 e e’0 e e’1 e  e’0 e  e’1 e0 e1 e’0 e’1 e  e’0 e  e’1 x e  Ceb xb G. Berry, Collège de France

Intuitionnisme absence de tiers exclu • Règles dérivables : I ⊢e1 I ⊢e0 I⊢ e e1 I⊢ e e1 I⊢ e e1 • Règle non dérivable – le vrai tiers exclu : • Principe intuitionniste : pour prouver ee’, il faut prouver e ou prouver e’ • Fait électrique : • l’électricité est intuitionniste, • car les électrons ne sont pas au courant du tiers exclu ! G. Berry, Collège de France

Circuits avec délais d1 • Portes logiques : délai nul, groupement possible • notation polynomiale : y1 x, s2  s1xs2 s1xs2 • Nœuds explicites pour les délais • Au minimum un délai par cycle d2 G. Berry, Collège de France

Histoires « électriques » 1 0 0 t u u Histoire : h : ℝ+→ Bncontinue à droite (avec B  {0,1}) Intervalle semi-ouvert : t,u , t  u  {  | tu } souvent noté t,u Tranche d’histoire :ht,u : la partie de h dans l’intervalle [t,u Tranche d’histoire : h0,∞  h Satisfaction d’un prédicat P par une tranche : ht,u⊨P modèle G. Berry, Collège de France

Délai « électrique » UN et stabilité d d h d d h’ t td Délai UN : dℝ+ ht,ub et tdu  h’td,ub • Une histoire h est stable à b après un délai d si hd,∞ b • Sinon, h est diteinstable ou oscillante G. Berry, Collège de France

Circuits UN-constructifs Définition : un circuit est UN-constructif pour des d’entrées stables et un jeu de délais si toutes ses sorties se stabilisent vers les mêmes valeurs dans toute exécution Définition : un circuit est uniformément UN-constructif pour des entrées stables s’il est UN-constructif pour tout jeu de délais. Définition : un circuit est uniformément UN-constructif s’il est uniformément UN-constructif pour toutes entrées stables G. Berry, Collège de France

Les prédicats UN et le modèle temporel  : R d R  Bn: région  prédicat booléen à n variables booléennes ex. : xyyzouencoreØ(vide, faux) (n.b. : symboles utilisés pour les prédicats) ht,u⊨R : sit,u. hR i.e., l’histoire h reste dans la région R entre t et u ht,u⊨x dans h,x est stable à 1 entret et u ht,u⊨x dans h,x est stable à0 entret et u ht,u⊨x y dans h, x est stable à1 et y stable à 0 ht,u⊨x y entret et u G. Berry, Collège de France

Conjonction, disjonction et délai ht,u⊨ssiht,u⊨etht,u⊨ ht,u⊨ssiht,u⊨ouht,u⊨ ht,u⊨dssitd u ethtd,u⊨ est constamment satisfait après un délaiddanst,u 1 0 0 t td u u ht,u⊨ x ht,u⊨dx G. Berry, Collège de France

La négation constructive • Objectif : représenter la porte not • x stable à 1 : ht,u⊨x • opposé logique : ht,u⊨x • mais l’opposé logique est satisfait par tout signal instable • or nous voulons x stable à 0, i.e. x  x, ce qui est différent! 1 ht,u⊨ssit’,u’t,u. ht’,u’⊨  n’est jamais satisfaitepar h surt,u différent den’est pas satisfaitepar h! 0 0 t u niht,u)⊨x ni ht,u)⊨x G. Berry, Collège de France

Implication, équivalence • Implication notée  pour éviter la confusion avec  doit utiliser les sous-intervalles, car x  x Ø ht,u⊨sit’,u’t,u. ht’,u’⊨ht’,u’⊨ ht,u⊨sit’,u’t,u. ht’,u’⊨ht’,u’⊨ G. Berry, Collège de France

Résumé des règles de la logique UN ht,u⊨R sit,u. hR ht,u⊨siht,u⊨etht,u⊨ ht,u⊨sit’,u’t,u. ht’,u’⊨  ht,u⊨siht,u⊨ouht,u⊨ ht,u⊨sit’,u’t,u. ht’,u’⊨ ht’,u’⊨ ht,u⊨sit’,u’t,u. ht’,u’⊨ht’,u’⊨ ht,u⊨dsitd u ethtd,u⊨ Notation : ⊨ssih,t,u.ht,u⊨ ht,u⊨  G. Berry, Collège de France

Propriétés de la logique UN • La logique exprime bien la stabilité : xstable dansht,uht,u⊨ xx notéx • La disjonction est intuitionniste : elle choisit son camp ht,u⊨ ht,u ⊨globalement ouht,u ⊨globalement • Le tiers exclu est faux en général ex. : h[t,u ⊨xx si h instable pour x dans [t,u G. Berry, Collège de France

Codage des circuits • Principes : coder les circuits par des formules • coder les valeurs d’une entrée par 0x pour 1 et 0x pour 0 • coder les portes directement par les opérateurs booléens • coder les délais par des « affectations à retard » : y dx défini par x dyyx ou équivalentxdy)xdy • Exemple : z  xy  y s1s2   s1 dy s2ey x z s1 y d e s2 s1 ds1s2 s2 es1s2  : forme normale des délais stabiliser les délais stabilise tous les fils ! G. Berry, Collège de France

 d1 d2 C  s1 d1 x  s2d2 xs1s2 circuit C avec x0 : C,x  C  0x circuit C avec x1 :(C,x  C  0x cas général : circuit C avec valeurs d’entrées I : C,I G. Berry, Collège de France

Théorème 1:bonne représentation des circuits une histoire h est UN-correcte pour C et les entrées I ssi h ⊨ C,I Corollaire :caractérisation UN de la constructivité Un circuit C est constructif pour les délais donnés et une entrée I ssi il existe une unique valeur S des variables d’état et un délai d tels que C,I⊨ dS G. Berry, Collège de France

Formules du calcul déductif : ⊢vs. ⊨  clauses de Horn⊢  • Séquents syntaxiques C,I ⊢  sSs d e)  xI1 0x yI0 0y kKk ? C,I ⊨ modèle : G. Berry, Collège de France Région temporisée :  dR Région temporisée :   kKkpour K fini ou infini

Calculs  déductions (Curry Howard) 1. C,I ⊢ dR ssi il existe une séquence d0R0, d1R1,..., dnRn dR telle que, pour tout i, diest dans (i.e., une entrée) ou dérivable des dj,jipar une règle de déduction 2.C,I ⊢  kKk ssi il existe un kK tel que C,I ⊢ k G. Berry, Collège de France

Les règles de déduction true pourC,I fixé, C,I⊢ ... implicite partout d1 dRd e RS bool affaiblissement eS dR ReS chaîne les transitions yexxey)xey chain deS dS eT join rassemble les entrées d’une porte maxd,eS∩T + règles booléennes pour les régions (valables car appliquées à des signaux stables) + opérations arithmétiques sur les délais G. Berry, Collège de France

d1 d2 C  s1 d1 x  s2d2 xs1s2 0x bool 0x 0xs1s2 chain chain d1s1 d2s2 cas x0 i.e.0x join max(d1,d2)s1s2 x0 régions1s2 atteinteen tempsmax(d1,d2) G. Berry, Collège de France

d1 d2 C  s1 d1 x  s2d2 xs1s2 0x chain bool d1xs1s2 0x cas x1 i.e.0x d1s1 d1s1 chain chain d1d2s2 max(d1,d1d2)s1s2 join x1 régions1s2 atteinteen tempsd1d2 G. Berry, Collège de France

Les théorèmes centraux • Théorème 2 : équivalence de⊨ et⊢ pour les circuits C,I,.C,I ⊨   C,I ⊢  • Théorème 3 : Intuitionnisme de⊨  C,I,.C,I ⊨   . C,I ⊨ Une disjonction, même infinie, ne peut être validée que par un de sens membres (résulte immédiatement du théorème 2 et de la définition de C,I ⊢ ) G. Berry, Collège de France

Le résultat central • Corollaire : déterminisme de la stabilisation • Soit s un délai de C et I un vecteur d’entrées. Alors les histoires h de s dans C,I ont deux comportements possibles : • tous les h se stabilisent à la même valeur • il existe au moins une histoire oscillante • un circuit est constructif ssi ses sorties ne peuvent pas osciller Preuve :soit  1s  1s 2s 2s 3s 3s... Preuve ::alors (infini) dit que s se stabiliseun jour cas 1 :C,I ⊨ . AlorsC,I ⊨ k pour un k par thm.3 (intuitionnisme), par exemple k  ms. Donch. h⊨C,I  h⊢ms, touth devient stable à 1 cas 2 :C,I ⊨ . Alorsh. h ⊨ C,I h⊨  est impossible, donch. h ⊨C,I h⊨ , etcet h oscillepour s G. Berry, Collège de France

Logique Booléenne constructive • Circuit C, vecteur d’entrées : I entrées → {0,1} • Formules : I ⊢eb, abrégées en eb si I constant e0 e1 Ientrée e0 e1 e’0 e’1 II(I) e 1 e 0 e e’0 e e’1 e  e’0 e  e’1 e0 e1 e’0 e’1 e  e’0 e  e’1 X: e  Ceb Xb G. Berry, Collège de France

Exemple de transformation de preuves bool chain chain d2s2 d1s1 join C  s1 d1 x  s2d2 xs1s2 max(d1,d2)s1s2 UN-logic 0x Constructive Boolean Logic 0x 0xs1s2 I(x)0 ⊢x0 s2xs1s xs1s2 1 s1x  C x0 cas x0 i.e.0x s11 s2 1 s11  s21 G. Berry, Collège de France

On arrive au bout ! • Pour des délais fixés, la UN-prouvabilité vs. ⊢est une CNS pour la UN-stabilisation vs. ⊨ • Mais toute preuve avec délais peut être transcrite en preuve Booléenne constructive sans délais, et réciproquement ! Autrement dit : la prouvabilité en logique booléenne constructive sans délais caractérise exactement la UN-constructivité uniforme G. Berry, Collège de France

Conclusion • Etude complète de la stabilisation des circuits cycliques dans le modèle de délais UN, en reliant modèle ⊨ et déduction syntaxique ⊢, et en ignorant transitoires, oscillations, métastabilité etc. (qu’on peut aussi étudier) • stabilisation électrique  prouvabilité constructive booléenne (avec délais) des sorties (sans délais) • A suivre au prochain cours : • constructivité pour toutes entrées • constructivité des circuits séquentiels (avec registres) • algorithmes efficaces de calcul de la constructivité G. Berry, Collège de France

Références Constructive Boolean Circuits and the Exactness of Timed Ternary Simulation M. Mendler, T. Shipleet G. Berry. Formal Methods in System Design, Vol.40, No.3, pp. 283-329, Springer (2012). Constructive Analysis of Cyclic Circuits T. Shiple, G. Berry et H. Touati. Proc. Int. Design and Testing Conference IDTC'96, Paris, France (1996). Asynchronous Circuits J. Brzozowski et C-J. Seger. Springer-Verlag (1995). G. Berry, Collège de France

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