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統計學

統計學. 郭信霖 許淑卿. 第五章隨機變數與機率分配 ■ 5-1 隨機變數 ■ 5-2 機率分配 ■ 5-3 期望值與變異數 ■ 5-4 共變異數（ Covariance ） ■ 5-5 流程圖. 5-1 隨機變數（ Random Variable ， r.v. ）. 一、定義 隨機變數： 對應於樣本空間的實數值函數，一般以大寫字母 X ， Y ， Z ， …… 等，而以小寫字母 x ， y ， z ， …… 表其函數值，即 X ： S → X ( S ) = x 。 二、種類

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  1. 統計學 郭信霖 許淑卿

  2. 第五章隨機變數與機率分配 • ■5-1隨機變數 • ■ 5-2機率分配 • ■ 5-3期望值與變異數 • ■ 5-4共變異數（Covariance） • ■ 5-5流程圖

  3. 5-1 隨機變數（Random Variable，r.v.） 一、定義 隨機變數： • 對應於樣本空間的實數值函數，一般以大寫字母X，Y，Z，……等，而以小寫字母x，y，z，……表其函數值，即X：S → X(S) = x。 二、種類 1. 間斷隨機變數（Discrete random variable） 2. 連續隨機孌數（Continuous random variable）

  4. 5-2 機率分配（Probability distribution） (一) 間斷機率分配 1. 定義： • 設X為間斷隨機變數，對xR，令f (x) = P(X = x) • 則稱f (x) = P(X = x)為X之間斷機率分配（或間斷機率函數）。

  5. 2. 性質： (1) 若X為一間斷隨機變數，則X之機率分配 f (x)需滿足下列兩條件：0 f (x)  1f (x) = 1 (2) P(a X b) =　　　，a, bR，a < b 3. 繪圖：線圖，機率直方圖。

  6. (二) 連續機率分配 定義： • 假設X為一連續隨機變數，其f (x)為一連續函數且f (x)曲線下的面積為1，則f (x)稱為連續隨機變數X之機率密度函數（probability density function），簡稱p.d.f.。

  7. 2. 性質： • (1) 設X為一連續隨機變數，f (x)為一連續機密度函數，需滿足兩條件：f (x)  0曲線下總面積為1，即 • (2)任一點之機率為0，即P(X = x) = 0，對所有xR。 • (3) F(x) = P(X x)，表小於等於x之面積和。 3. 繪圖

  8. (三) 聯合機率分配 1. 聯合機率分配（Joint discrete probability distribution） • 當X，Y為間斷時，則f (x, y) = P(X = x, Y = y)。 • 當X，Y為連續時，f (x, y)為xy平面上之一曲面且P((X，Y )A)等於A區域與此曲面所圍成之體積，其中A為xy平面上之任一區域。

  9. 聯合間斷機率分配： (1) 定義： • 設X與Y為二間斷隨機變數，則f (x, y) = P(X = x, Y = y)稱為X與Y之聯合間斷機率分配。 (2) 性質：f (x, y)  0，對所有(x, y) = 1。

  10. 2.邊際機率分配（Marginal probability distribution） 已知X，Y兩間斷隨機變數之聯合機率分配f (x, y)可列表如下：

  11. 其中f (xi)與f (yi)分別稱為X與Y的間斷邊際機率分配亦可列表如下：

  12. 4.獨立隨機變數（Independent random variable） • 隨機變數X與Y為獨立 　　 f (x, y) = f (x) f (y)， • 即P(X = x，Y = y) = P(X = x) P(Y = y)，以X Y表之。

  13. 5-3 期望值及變異數 • 1. 期望值（Expected value） • (1) 隨機變數的期望值： • (2) 雙變數函數的期望值： E(X ) = = X =  = (g(x)) E(g(X )) = E(g(X, Y )) = f (x, y) = (g(x, y))

  14. 2. 變異數（Variance） (1)隨機變數的變異數： Var(X ) =  f (x) =  2 = E(g(X )- g(x))2 = = E(X - X)2 = f (x) Var(g(X )) =  (2)雙變數函數的變異數： Var(g(X, Y )) = E(g(X, Y ) - g(x, y) )2 = f (x, y)

  15. 性質a. Var(g(X, Y )) = E(g2(X, Y )) -  b. Var(XY ) =  =  2Cov(X, Y ) +  c. 若X，Y獨立，則Cov(X, Y ) = 0；反之，不成立。 d. 若X Y，則Var(X Y ) =  +  e. Var(aX bY c) = a2 + b2 2abCov(X, Y ) f. 若X Y，則Var(aX bY c) = a2 + b2 式中Cov(X, Y ) = E((X - X )(Y - Y))= E(XY ) - X Y稱為X與Y之共變異數（Covariance）。

  16. 5-4 共變異數（Covariance） 1. 共變異數 Cov( X , Y )= ( y - Y ) f (x, y) = E( X - X)( Y - Y ) = E(XY ) - X Y 2. 性質(1) Cov( X, Y ) = Cov( Y, X ) (2) Cov( a, X ) = 0，a為常數 (3) Cov( X, X ) = Var(X ) =  (4) Cov( aX + c, bY + d ) = Cov( aX, bY ) = abCov( X, Y ) (5) 若X Y，則Cov( X, Y ) = 0；反之，不成立。

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