Паралельність прямих і площин у просторі

1. Паралельність прямих і площин у просторі Геометрія, 10 клас Профільний рівень

2. Основні теми розділу • Мимобіжні та паралельні прямі • Паралельність прямої та площини • Паралельність площин • Паралельне проектування та його властивості • Зображення фігур у стереометрії • Методи побудови перерізів многогранників

3. Мета: вчити • Формулювати означення паралельних і мимобіжних прямих, паралельних прямої і площини, паралельних площин; ознаки паралельності прямих і площин; властивості паралельності прямих і площин. • Класифікувати взаємне розміщення прямих, прямих і площин, площин у просторі. • Знаходити і зображати паралельні прямі, прямі та площини на малюнках, будувати зображення фігур. • Розв’язувати задачі на застосування властивостей та ознак паралельності прямих і площин. • Застосовувати метод слідів та проекцій для побудови перерізів многогранників.

4. Дві прямі Лежать в одній площині Не лежать в одній площині Взаємне розміщення двох прямих у просторі перетинаються паралельні мимобіжні

5. перетинаються паралельні мимобіжні а а в в в А а А а в а в а в

6. Пряма і площина у просторі можуть: Мати одну спільну точку а α а Безліч спільних точок α а α Пряма паралельна до площини

7. Паралельність прямої і площини • Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. • Якщо пряма а паралельна площині α, пишуть а||α. а α

8. Ознака паралельності прямої і площини • Якщо пряма , яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій площини, то вона паралельна і самій площині. β b a α b||α

9. Властивість паралельності прямої і площини Якщо площина проходить через пряму, паралельну другій площині , і перетинає цю площину, то пряма їх перетину паралельна даній прямій. β b α a a||b

10.  β Взаємнерозміщеннядвохплощин у просторі. Мають одну спільну точку Не мають спільної точки Мають безліч спільних точок  β   β ║β Накладання площин і β Перетинаються по прямій

11. ∩ 1. a  ∩  b b1 β a ∩ b = C ∩ 2. a1 β ∩ a1 ∩ b1 = C1 Ознакипаралельностідвохплощин Якщо дві прямі, що перетинаються і лежать в одній площині, паралельні двом прямим другої площини, то такі площини паралельні. b C  a => ║β b1 C1 β a1 3. a ║а1 b ║ b1

12. Властивості паралельних площин 1.Площина, яка проходить через прямі АВ і СD, перетинає паралельні площини по паралельних прямих. α AC||BD A C β B D 2.Відрізки паралельних прямих, що відтинаються паралельними площинами, рівні. AB=CD

13. Метод паралельного проектування l А L А1  Нехай дано довільнуплощину, довільну пряму lі точку А. Тоді образ точки А можна побудувати провівши через неї пряму, паралельну прямій lі яка перетинає площину . Точкою перетину прямої з площиною є точка А1.

14. 1. Відрізки фігури зображаються відрізками Зображення Оригінал B K C B1 K1 C1 A M D A1 M1 D1

15. 2. паралельні відрізки - паралельними відрізками B C B1 C1 А1 D1 А D Оригінал Зображення

16. 3. відношення довжин паралельних відрізків або відрізків однієї прямої Оригінал Зображення B K C B1 K1 C1 A1 D1 M1 A M D AB : BC = 1 : 2 A1B1 : B1C1 = 1 : 2 CD : AD = 1 : 2 C1D1 : A1B1 = 1 : 2 BK : KC = B1K1 : K1C1 AM : MD = A1M1 : M1D1

17. Тестове завдання 1. Точка М не лежить у площині прямокутника ABCD. Яке взаємне розташування прямих МА і СD ? А) Перетинаються; Б) паралельні; В) мимобіжні; Г) паралельні або мимобіжні. 2. Пряма а паралельна площині , пряма b належить площині . Яким може бути взаємне розміщення прямих а і b? А) Паралельні; Б) перетинаються; В) мимобіжні; Г) мимобіжні або паралельні. 3.Точка М лежить поза площиною трикутника АВС. Точки К, Р, Е і D – середини відрізків МА, АВ, МС і ВС відповідно. Яке взаємне розміщення прямих КР і ЕD? А) Перетинаються; Б) мимобіжні; В) паралельні; Г) мимобіжні або перетинаються.

18. 4. Сторона АВ паралелограма ABCDналежить площині , а сторона СD не належить цій площині. Яке взаємне розміщення прямої СD і площини ? А) пряма СD перетинає площину ; Б) пряма СD паралельна площині ; В) пряма СD лежить у площині . 5. Пряма а паралельна площині . Скільки площин, паралельних площині можна провести через пряму а? А) Одну; Б) дві; И) жодної; Г) безліч. 6. Як розташовані площини і , якщо пряма а перетинає площину і паралельна площині ? А) Паралельні; Б) перетинаються; В) збігаються; Г) визначити неможливо. 7. Точка М не належить жодній із паралельних площин і . Скільки всього існує площин, які проходять через точку М і паралельні площинам і ? А) Одна; Б) дві; В) жодної; Г) безліч.

19. 8. Площини і паралельні. Пряма а перетинає площину . Як розташована пряма а відносно площини ? А) Паралельна площині; Б) лежить у площині; В) перетинає площину; Г) визначити неможливо. 9. Основи трапеції паралельні площині . Яке взаємне розміщення площини трапеції і площини ? А) Перетинаються; Б) паралельні; В) збігаються; Г) визначити неможливо. 10. Площини і паралельні. Площина перетинається з площиною по прямій а , а з площиною - по прямій b. Яке взаємне розміщення прямих а і b? А) Перетинаються; Б) мимобіжні; В) паралельні; Г) визначити неможливо.

20. Відповіді до тесту 1В , 2Г , 3В , 4Б , 5А , 6Б , 7А , 8В , 9А , 10В

21. В1 С1 N1 М1 А1 D1 В С А D Задача. Побудувати переріз куба АВСDА1В1С1D1 площиною, що проходить через середини ребер АD і СD паралельно до ребра DD1. ММ1 ||DD1 NN1 ||DD1 МM1N1N - шуканий переріз N М

22. F K N Задача. Побудувати переріз тетраедра ABCD площиною, що проходить через середину ребра АС паралельно ребрам AB і DC. D MK || DC MN || AB NF || DC MKFN – шуканий переріз A B M C

23. Методи побудови перерізів Метод слідів Метод внутрішньої проекції Комбінований метод

24. Пряма, по якій січна площина перетинає площину α, називається слідом січної площини в площині α. Точка, в якій січна площина перетинає пряму, -слід січної площини на цій прямій. Задача. Побудуйте переріз куба ABCDA1B1C1D1площиною, що проходить через точки K, P, T.

25. Якщо многогранником, переріз якого будується, є піраміда, то використовується центральне проектування на площину основи. Центром проектування є вершина піраміди, в якій сходяться всі бічні ребра. Задача. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди SABCD площиною, яка проходить через точки M, N, K. S P F N M C B E K N1 M1 O2 R D A O1

26. Задача. Побудуйте переріз призми ABCDA1B1C1D1площиною, яка проходить через точки K, P, T.

27. задача Чотирикутник A1B1C1D1 є зображенням квадрата. Точка М – середина АВ, AC і DM перетинаються у точці N. Побудувати зображення ортоцентра трикутника ANM .

28. Розв'язання B C B1 C1 O M M1 N N1 K1 К A1 D1 A D Оригінал Зображення

29. Дано куб АВСДА1В1С1Д1. Точки L, M, M1 – cередини ребер АВ, АД, А1 Д1 відповідно. Яке взаємне розміщення площин ДВ1Д1 і LMM1? M1 (ДВ1Д1) || (LMM1) MZ || DB як середня лінія ABD MM1 || DD1 за ознакою паралельності площин M L

30. Задача для самостійного розв’язування Дано прямокутниий паралелепіпед , у якого АВ= , ВС= , = . Через вершину зроблено переріз паралелепіпеда, паралельний площині . Знайдіть площу цього перерізу.