Formules de dérivation (suite)

1. Formules de dérivation (suite) Jacques Paradis Professeur

2. Plan de la rencontre • Rappel : composition de fonctions • Dérivée de fonctions composées • Dérivation en chaîne • Dérivées successives • Application

3. Volet historique (1 de 3) • Origine de l’intérêt porté au calcul différentiel • La période de la Révolution scientifique (1500-1700) • Copernic (1473-1543) place le Soleil au centre de l’univers • Galilée (1564-1642) étudie les lois de la chute des corps • L’époque des grands explorateurs est engagé • Les bateaux européens sillonnent les océans • Mise au point des canons qui révolutionne l’art de la guerre • L’étude du mouvement devient central • Mouvement des corps, des astres • Mouvements des bateaux • Mouvements des boulets de canons

4. Volet historique (2 de 3) • Émergence de trois grands types de problèmes concernant directement le calcul différentiel : • 1. Connaissant la distance parcourue à tout moment, est-il possible de connaître la vitesse et l’accélération à chaque instant? • 2. La direction du déplacement d’un objet en mouvement étant donné par la tangente à la trajectoire de l’objet, est-il possible de déterminer précisément les tangentes à certaines courbes? • Problème sous-jacent : celui de l’optique (la fabrication des miroirs paraboliques et des lentilles  lunettes pour la navigation, l’observation astronomique ou pour la vue)

5. Volet historique (3 de 3) • Émergence de trois grands types de problèmes concernant directement le calcul différentiel :(suite) • 3. Le mouvement impliquant des distances, est-il possible de déterminer des valeurs qui rendent maximales ou minimales ces distances? • Problèmes sous-jacent : • En balistique, quel angle donné au canon permettant d’atteindre une cible la plus éloignée possible? • En astronomie, quelles sont les distances maximale et minimale d’une planète par rapport au Soleil? • En optique, le trajet de la lumière dans un corps transparent peut-il être analysé sous l’angle du plus court chemin entre deux points?

6. g f x g(x) f[g(x)] f ◦g Composition de fonctions (1 de 3) • Soit f(x) et g(x) deux fonctions • La fonction composée, notée f ◦ g, est définie par (f ◦ g)(x) = f[g(x)]

7. Composition de fonctions (2 de 3) • Exemple : • Soit f(x) = x2 – 4x et g(x) = x2 -3x +2 • Alors (f ◦ g)(x) = f[g(x)] = ? • De plus (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = ? • Exercice : • Soit f(x) = x2 – 4x et • Alors (f ◦ g)(x) = f[g(x)] = ? • De plus (g ◦ f)(x) = g[f(x)] = ?

8. Composition de fonctions (3 de 3) • Exemple : • Soit H(x) = (x2 -3x +2)3 • Si H(x) = f[g(x)], définir f(x) et g(x). • Exercice : • Soit H(x) = • Si H(x) = f[g(x)], définir f(x) et g(x).

9. Dérivée de fonctions composées Exemple : Si H(x) = (x3 – x2 + 4)5, alors H’(x) = 5(x3 – x2 +4)4 (3x2 – 2x) Généralisation : Si H(x) = [f(x)]r, où rIR, alors H’(x) = r [f(x)]r-1 f’(x) Exercice : Si f(x) = , trouver f’(x).

10. u=g(x) Si x  0, alors u0 u x x x+x Dérivation en chaîne Soit

11. y Q1 y P x x+x x Définition • Soit f(x) une fonction continue, la fonction dérivée de f(x) est définie par : • f’(x) = • =

12. Dérivation en chaîne (Exemples) • Ex. 1 : Soit y = u3 + u et u = 4x2 – x +16, trouver dy/dx au point d’abscisse x = 1. • Ex. 2 : Une particule se déplace le long d’une courbe y = x2 + x – 4. Son abscisse est donnée par la fonction x(t) = 2t2 – t +2. Trouver dy/dt pour t = 2.

13. Dérivation en chaîne(généralisation) • Si z = f(y), y = g(u) et u = h(x) • Alors • Exemple : Trouver dz/dx pour x = 2 si z = 3y2 + 1, y = 1 – 4u5 et u = 2x - 5.

14. Dérivées successives • Soit y = f(x), une fonction dérivable, • Sa dérivée f’(x) est aussi une fonction qui peut donc être dérivable, et ainsi de suite. • D’où • Dérivée première : y’ f ’(x) • Dérivée seconde : y’’ f ’’(x) • Dérivée troisième : y’’’ y(3) f’’’(x) f(3)(x) • Dérivée ne : y(n) f(n)(x)

15. Exemple • Soit f(x) = x4 – x3 – 7x2 + x + 6 • Alors f’(x) = 4x3 – 3x2 – 14x+ 1 • De plus, f’’(x) = 12x2 – 6x – 14 • Mais encore, f’’’(x) = 24x - 6 • On continue, f(4)(x) = 24 • Pour finir, f(5)(x) = 0

16. Application (rappel) • Soit x(t) la position d’un objet à l’instant t, • La vitesse moyenne de cet objet sur un intervalle de temps [ti , tf] est définie par : • La vitesse instantanée de cet objet au temps t est définie par :

17. Application • Soit x(t) la position d’un objet à l’instant t, • La vitesse instantanée de cet objet au temps t est définie par : v(t) = x’(t) • L’accélération instantanée de cet objet au temps t est définie par la variation instantanée de la vitesse en fonction du temps : • a(t)= = v’(t) = x’’(t)

18. Application (Exemple) • La fonction x(t) décrit la position d’une particule qui se déplace le long d’un axe gradué, où x est en mètres et t, en secondes. • a) Écrire la fonction vitesse et la fonction accélération. • b) Donner la position, la vitesse et l’accélération à t = 1. • c) À quel moment la particule est-elle immobile?. • d) Déterminer la distance totale parcourue par la particule entre les instants t = 0 et t = 5.

19. Devoir • Exercices 4.3, page 155, nos 1, 2, 3, 4a, 4b, 5, 6 (Trouver uniquement f’, f’’ et f’’’), 7a, 7b et 7c. • Exercices 5.1, page 189, nos 1 à 3. • Exercices récapitulatifs, page 164, nos 1(sauf l), 3 (facultatif), 4a, 4b, 4c, 8 et 9 • Réponses pour les exercices récapitulatifs :

20. Réponses

21. Réponses au numéro 3, page 164

22. Une lentille convergente élémentaire composée d'une seule surface sphérique de réfraction

23. Épicicle et déférent : Département de mathématiques 23