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第四节 最小树问题

第四节 最小树问题. 最小树及其性质 求最小树的 Kruskal 算法 算法步骤 算法复杂性 求最小树的 Dijkstra 算法 算法步骤 算法复杂性. 证明. 最小树及其性质. 支撑树 T 的权（或长） ： 最小树 ： G 中权最小的支撑树 定理 6.4.1 设 T 是 G 的一个支撑树，则 T 是 G 的最小树当且仅当对任意边 e ∈ T * 有. 证明. 最小树及其性质. 续. 定理 6.4.3 设 T 是 G 的支撑树，则 T 是 G 的唯一最小树当且仅当对任意边 e ∈ G T ， e 是 C ( e ) 中的唯一最大边。

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第四节 最小树问题

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  1. 第四节 最小树问题 最小树及其性质 求最小树的Kruskal算法 算法步骤 算法复杂性 求最小树的Dijkstra算法 算法步骤 算法复杂性

  2. 证明 最小树及其性质 支撑树T的权（或长）： 最小树：G中权最小的支撑树 定理6.4.1设T是G的一个支撑树，则T是G的最小树当且仅当对任意边e∈T*有

  3. 证明 最小树及其性质 续 定理6.4.3设T是G的支撑树，则T是G的唯一最小树当且仅当对任意边e∈G\T，e是C(e)中的唯一最大边。 定理6.4.4设T是G的支撑树，则T是G的唯一最小树当且仅当对任意边e∈T，e是Ω(e)中的唯一最小边。

  4. 例 Kruskal算法的步骤 第1步 开始把边按权的大小由小到大排列，即将图的边排序为a1,a2, …,am，使W(a1) ≤W(a2)≤…≤W(am) 置S=Φ，i=0，j=1。 第2步 若|S|=i=n-1，则停止。这时G[S]=T即为所求；否则，转向第3步。 第3步 若G[S∪{aj}]不构成回路，则置ei+1=aj，S=S∪{ei+1}，i:=i+1，j:=j+1，转向第2步；否则，置j:=j+1，转向第2步。

  5. Kruskal算法的复杂性 首先，在第1步中把边按权的大小由小到大排列起来，这约需mlog2m次比较(m为此网络的边数) 其次，第2步最多循环n次 在第3步中，判定加边后是否构成回路总共约需m次比较，而加边后点的重新标号最多需n(n-1)次比较 所以，总的计算量为 mlog2m+n+m+n(n-1)~O(n2log2n)

  6. 例 Dijkstra算法的步骤 第1步 置uj=w1j，T=Φ，R={1}，S={2,3, …,n}

  7. Dijkstra算法的复杂性 执行第2步时，第一次是(n-2)次比较， 第二次为(n-3)次比较， 第三次为(n-4)次比较，…， 因此总的比较为(n-1)(n-2)/2次 执行第3步时，第一次是(n-2)次比较， 第二次为(n-3)次比较， 第三次为(n-4)次比较，…， 因此总的比较为(n-1)(n-2)次 所以，总的计算量约为O(n2)

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