卒業研究 Treedecomposition を生成するヒューリスティックアルゴリズムの幅に関する評価実験

卒業研究Treedecompositionを生成するヒューリスティックアルゴリズムの幅に関する評価実験卒業研究Treedecompositionを生成するヒューリスティックアルゴリズムの幅に関する評価実験４年：山下　由展

目次 • Tree decompositionの定義について • Tree decompositionを生成するヒューリスティックアルゴリズムの紹介 • 卒業研究について

Tree decompositionの定義 グラフG=(V,E)に対して、木TとV（G)のある部分集合族X=｛Xi|i∈V(T)}の対（T,X)を考える。Ｘｐ＝Ｖ（Ｇ）のある部分集合木ＴＸ１１Ｘｐｐ ※ｐはＴの頂点の番号（ここでは１≦ｐ≦|V(G)|)

Tree decompositionの定義 グラフG=(V,E)に対して、木TとV（G)のある部分集合族X=｛Xi|i∈V(T)}の対（T,X)を考える。Ｖ（Ｇ）＝{a,b,c,d,e,f｝だとすると 1 f （Ｔ，Ｘ）（Ｔ，Ｘ）１３ 2 b,c,d,e a,b a,b 3 e,f d 4 c ２ 5 c,d (T,X)は２ｎｍ通りある e,f ｎ＝|V(G)| ｍは木の頂点数 d,e,f

Tree decompositionの定義 グラフGに対して、木TとV（G)のある部分集合族 X=｛Xi|i∈V(T)}の対（T,X)が以下の３つの条件を満たすとき、(T,X)をGのTree decompositionという。（１）∪i∈V(T)Xi=V(G) 頂点集合｛1,2,3,4,5,6,7} G). １２１，２，４（T,X) 1 5 2 ３４７１，３，４４，６，７ 4 3 ４，５，６３，４，５５６

Tree decompositionの定義 グラフGに対して、木TとV（G)のある部分集合族 X=｛Xi|i∈V(T)}の対（T,X)が以下の３つの条件を満たすとき、(T,X)をGのTree decompositionという。（2)∀v,w∈V(G)[(v,w)∈E(G)⇒∃i∈V(T)[v,w∈Xi]] G). １２（T,X) 1，2 ，4 1 5 2 ３４７４，６，７１，３，４ 4 3 ４，５，６３，４，５５６

Tree decompositionの定義 グラフGに対して、木TとV（G)のある部分集合族 X=｛Xi|i∈V(T)}の対（T,X)が以下の３つの条件を満たすとき、(T,X)をGのTree decompositionという。（3)∀i,j,k∈V(T)[jがTにおけるiからｋへの道上にある　　　⇒Xi∩Xk⊆Xj G). １２ 1 １，２，４（T,X) 5 2 ３４７１，３，４４，６，７ 4 3 ４，５，６３，４，５５６

Tree decompositionの定義 • 幅＝maxi∈I|Xi|-1 • 木幅＝グラフＧからつくられるTree decompositionがもつ幅のなかで一番小さい値 1,2,4 4,6,7 1,3,4 幅＝２ 4,5,6 3,4,5

s-t separating set グラフG=(V,E)の頂点ｓから頂点ｔへのどんな道も集合S（⊆V∖｛ｓ、ｔ｝）の頂点を通る時、この集合S をs-tseparating setという。例）ｔＳｓ

Minimum separating vertex setの定義 グラフG＝(V,E)の互いに隣接しない頂点全ての組み合わせでst-separating setをすべて求めた時、その中で位数が最小のものを minimum separatingvertex setと呼ぶ。ｔｓｔｔｓ

Tree decompositionを生成するヒューリスティックアルゴリズム（Aire M.C.A Koster等の論文に載っているもの) G=(V、E) はグラフで、 (T,X)はGのTree Decomposition である(ここで、 T=(I,F)はノードＩと辺Fの木。そして、X＝｛Xi：i∈I} はVの部分集合族 V（G）＝｛ｖ１、ｖ２、…、ｖｎ｝ G=(V、E) （Ｔ，Ｘ）ｖ１、ｖ２、…、ｖｎ |i|=1 かつ X1=Vの Tree decomposition をつくる頂点を分割して幅の小さい Tree decompositionをつくる Tree decompositionをつくる操作をする ∃i∈I: Gi≠クリーク目標の Tree decomposition 完成 no yes

準備ここで、N(i)は頂点ｋに隣接する頂点の集合ここで、Gi＝(Vi、Ei)を次で定める。 Vi＝Xi、Ei＝E(G[Xi])∪E(∪ｋ∈N(i)C(Xi∩Xｋ)) Cはクリーク d i b f k G3 j G). h d a e c g 1 2 3 5 abd acd cde def ・・・ e c ↑ 4 Gの Treedecompositionの作成途中 egh

Tree decompositionを生成するヒューリスティックアルゴリズム（Aire M.C.A Koster等の論文に載っているもの) G=(V、E) はグラフで、 (T,X)はGのTree Decomposition である(ここで、 T=(I,F)はノードＩと辺Fの木。そして、X＝｛Xi：i∈I} はVの部分集合族 G=(V、E) |i|=1 かつ X1=Vの Tree decomposition をつくる Tree decompositionをつくる操作をする ∃i∈I: Gi≠クリーク目標の Tree decomposition 完成 no yes

Tree decompositionを生成するヒューリスティクアルゴリズム Minimum separating vertex set S はグラフ Xi1 S Yi1 i0 i Xi0 Xi はその頂点集合 Xi0 = S Gi Gi[Vi/S] Yim-1 Xim-1 i1 i2 im Xi1 Xi2 Xim Yi2 ･･････ S ･･･ Xi2 Yim Xk、ｋ∈N(i) S Xim Gi[Vi/S]はｍ個の連結成分に分割されたとする。 S

グラフからTree decompositionをつくってなにか役にたつの？グラフのTreewidthを定数で押さえることができる場合、最大独立集合問題やハミルトンサイクル問題などのNP困難問題を多項式時間でとくことができる。

実演Java

卒業研究内容 Minimum separating vertex set S 何ペアかの頂点ペアをランダムに選び、その頂点ペアのst separating vertex setの中で位数最小のものはグラフ i Xi はその頂点集合 Gi[Vi/S] Gi ･････････ Xk、ｋ∈N(i) Ｓは何ペアかの頂点ペアの中で位数最小の minimum st separating vertex set 頂点ペアを何ペアか選択する時Ｇｉの頂点数の１割、２割、３，４，５，６，７、８、９，１０割の場合の１０通り試している。それぞれについて、できた Tree decompositionの幅を評価する

この過程を３回繰り返す 現在の状況２００個の Tree decompositionの幅の平均値をそれぞれ求めるＴｒｅｅ decomposition 頂点数１０、２０のグラフそれぞれ２００個 Tree decompositionを作る際、 Minimum separatingvertex setを用いたアルゴリズム, 頂点数の１割をランダムに選び、その頂点ペアの st separating setの位数の最小のものを採用したアルゴリズム、頂点数の２割の・・・、頂点数の３割の・・・、・・・、頂点数の１０割の・・・。

現在の状況 ４．６頂点数１０のグラフ２００個をそれぞれの方法で Tree decompositionに変えて、その幅の平均を求める操作をそれぞれ３回ずつ行った時の幅の平均値の分布幅４．５ minimum sepaの幅４．４１割ペア１０割ペア

現在の状況 １２頂点数２０のグラフ２００個をそれぞれの方法で Tree decompositionに変えて、その幅の平均を求める操作をそれぞれ３回ずつ行った時の幅の平均値の分布幅１１．９１１．８ minimum sepaの幅１１．７１割ペア１０割ペア

これからの課題 グラフの頂点数と生成数を増やしていったり、ランダムに生成したグラフだけではなく、ある特定の種類のグラフにたいしても同様のことをやってみるなど、いろいろな場合を試してみる。

Fin

卒業研究 Treedecomposition を生成するヒューリスティックアルゴリズムの幅に関する評価実験

卒業研究 Treedecomposition を生成するヒューリスティックアルゴリズムの幅に関する評価実験

Presentation Transcript