物体的旋转

1. 物体的旋转 初二数学 主讲教师：林冬

2. 图1 A B C D [例1]（2003年山东淄博中考题）以图1的右边缘所在直线为轴将该图形向右翻转180后，在按顺时针方向旋转180，所得到的图形是( )。

3. 以右边缘为轴 顺时针 翻转180 图2 旋转180 解：本题综合考查轴对称和旋转两种变换，将图1按要求翻转180，图形变换最终得到图2，故选A。

4. B’ A A’ B O D [例2] 如图所示，ΔAOB旋转到ΔA’OB’的位置，指出旋转中心是哪个点？点B、点A的对应点是什么？线段AB的对应线段是什么？A的对应角是什么？画出点D的对应点D’。

5. B’ A A’ D’ B O D 解：旋转中心是点O，点B、点A的对应点是点B’、点A’。线段AB的对应线段是A’B’, A的对应角是A’,在OB’上截取OD’ OD ，则D’就是D的对应点。

6. 12 9 3 6 [例3]如图 （1）指出钟表上时针和分针的旋转中心。 （2）经过20min后，时针、分针分别旋转了多少度？

7. 解： （1） 它的旋转中心是钟表的轴心（图中表盘面的中心 位置）。 （2） 时针旋转了 分针旋转了304 = 120。

8. [例4] 在下图中，将大写字母W绕图中点O按逆时针方向旋转180°，做出旋转后的图形。 o

9. o 解：如图所示，在上面“W”的图案中选取五个关键点，将旋转中心和这些点连结成直线，再在O的另一侧取各个点的对应点，使每一对对应点与O的距离相等，从而得到这些点的对应点，然后连结旋转后的“M”图案。

10. A D P B C P’ [例5] 如图，P是正方形ABCD内一点，将ΔABP绕点B顺 时针旋转90，使AB与CB重合，BP到达BP’处，AP到达 CP’处，若AP的延长线正好经过P’点，探求APB的度数。

11. A D P B C P’ 解：由旋转的性质及特征可知PBP’=90，APP’C， BPBP’，故在ΔBPP’中， 又因为AP的延长线正好经过P’点， AP’C90 BP’CAP’CBP’P135 从而可得APB135

12. D F B’ C E B A [例6]如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且EAF45。说明EFBEDF的理由。

13. D F B’ C E B A ∵EABB’AD，EBB’D，ABAD， B’AFB’ADDAFDAFBAE。 又∵EAF45，四边形ABCD是正方形。 B’AFEAF45。 从而由B’AFEAF，AFAF，AB’AE这三个条件可 推出，四边形AEFB’为轴对称图形，对称轴为AF。根据 轴对称图形的性质，可知EFB’F。 又因为B’FB’DDFBEDF。 EFBEDF

14. A D 1 2 3 F F’ C B E [例7]已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点， AF平分EAD交CD于点F，说明AEBEDF的理由。

15. A D 1 2 3 F F’ C B E 解：把ΔADF绕点A顺时针方向旋转90，则点D转到了点B 的位置，点F转到了点F’的位置。根据旋转的性质得31， F’BFD，AF’BAFD， ∵ABCD为正方形，DABF’90， F’、B、E、C在一条直线上， 又∵12EAB90， 32EAB90， F’AE290， 又∵AFD190，AF’B 190， 又∵1 2，F’AEAF’B AEF’EF’BBEFDBE

16. H M A D N O E G P B C F [例8]如图所示，将正方形ABCD绕其中心旋转45°可 得到正方形EFGH，如果正方形ABCD的边长为2，试 求旋转后两个正方形的重叠部分面积。

17. H M A D N O E G P B C F 如图所示，设EH与AD，AB分别交于M、N，AB与EF 交于P，设AMANBPx，MNNP x 又ABANNPBP2x x(2 ) x2  故 由旋转的定义及旋转角度可知，图中四个小直角三角形 是全等的，故重叠部分面积为：

18. A D E B C F [例9]如图所示，正方形ABCD中， E为BC边上一点，将ΔABE旋转 后得到ΔCBF。 （1）指出旋转中心及旋转的角度。 （2）判断AE与CF的位置关系。 （3） 如果正方形的面积是18cm2， ΔBCF的面积是5cm2。问四边形 AECD的面积是多少？ C

19. A D E B C F 解：(1)点B是旋转中心，旋转了90的角度， (2)由旋转的特征，得FAEB 又因为ABE90，所以AEBBAE90 所以FBAE90，即AECF。

20. A D E B C F (3) 由旋转的特征，ΔABE与 ΔCBF的形状和大小相同。 故ΔABE与ΔCBF的面积相等。 又因为ΔBCF的面积为5cm2,所以ΔABE的面积为5cm2， 所以四边形AECD的面积正方形ABCD的面积ΔABE的 面积18cm25cm213cm2。 即四边形AECD的面积为13cm2。

21. A P B C [例10]如图，已知点P为正三角形ABC内的一点，APB113, APC123。 试说明以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确 定所构成的三角形各内角的度数。

22. A P B C D 解：以点C为中心，将ΔAPC逆时针旋转60，得如图所示的图形。连PD，因旋转不改变图形的形状和大小，所以CPCD, PCD60，

23. A P B C D ΔPCD为等边三角形， PDCP，APBD, ΔBPD就是以BP、APBD、 CP=PD为三边构成的三角形。 因为BDCAPC123，CPDCDP60 BDPBDCCDPAPC601236063 又BPC360113123124 所以BPDBPCCPD124 60 64 因此PBD180636453

24. A D C B [例11]如图ΔABC与ΔABD都是等边三角形，则ΔABD可由ΔABC经过旋转而得。若按逆时针方向旋转，则旋转中心是哪一点？旋转了多少角度？

25. A D C B 分析：本题只考虑按逆时针方向旋转，以点A为旋转中心，旋转了60°；以点B为旋转中心，旋转了300°；以AB的中心为旋转中心，旋转了180°，这里的旋转中心不止一个，有的同学往往考虑不周全。

26. 圆是一个重要的旋转对称图形，它绕圆心无论旋转多少角度始终与原图形重合，在设计有关旋转对称图形时，应结合圆和正多边形考虑，可根据旋转角度的要求先将圆周进行等分，再根据设计要求配以其他图形，就可得到优美和谐的图案。圆是一个重要的旋转对称图形，它绕圆心无论旋转多少角度始终与原图形重合，在设计有关旋转对称图形时，应结合圆和正多边形考虑，可根据旋转角度的要求先将圆周进行等分，再根据设计要求配以其他图形，就可得到优美和谐的图案。

27. 在学习“旋转的意义”时应注意： 1.旋转中心在旋转的过程中是静止不动的； 2.旋转形成的图形是由旋转中心和旋转角共同决定的。 在学习“旋转的特征”时应注意： 1.旋转的特征主要是指图形经过旋转后的对应点、对应 线段、对应角之间的位置关系与数量关系； 2. 旋转角与对应角是不同的。 在学习“旋转对称图形”时应注意： 1.这里的一定角度是指大于0°而小于360°的角度； 2.一个旋转对称图形的旋转角度不一定只有一个。

28. 下面我们来做规律总结： 1、旋转的特征：旋转不改变图形的大小和形状，旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应点位置的排列次序相同。任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；对应点到旋转中心的距离相等、对应线段相等、对应角相等。

29. 2. 确定旋转后的图形的条件： 要确定旋转后的图形，除要知道原图形外，还要知道绕那个点旋转，朝什么方向旋转多少度（即旋转角）或其中一个点的对应点。 3. 作旋转图形的步骤： （1）找出关键点； （2）作出这些点旋转后的图形； （3）将所作的对应点按原来方式连结。

30. 4. 对应点的做法： （1）先作出由原图形各个点与旋转中心构成的旋转角，再在它们的另一边上分别截取对应相等的线段； （2）可先确定旋转后的图形两个对应点，再利用三角形全等的知识分别作出其余各点的对应点。

31. 5.一个图形绕一点旋转一定的度数后能与自身重合，这种图形称为旋转对称图形，一个旋转对称图形旋转的度数可能不止一种，如果一幅旋转对称图形中有n个基本图案，那么这个图形旋转 的整数倍后，均能与自身重合。

32. 6. 旋转既可表示物体（图形）运动的过程，也可表示物体（图形）运动后最终的位置与原来的位置的关系，前者是一种运动状态，后者是两个物体（图形）之间的关系，而旋转对称图形研究的是一个物体，是指一个物体具有“绕一点旋转一定度数后与自身重合”这一性质，不是两个物体之间的关系。