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本章重點. 2-1 有序串列 (Ordered List) 2-2 介紹陣列 (array) 2-3 矩陣 (matrix) 的應用 2-4 陣列與多項式應用. 2-1 有序串列 (Ordered List). 就是一個有序串列，而且序列中元素的資料型態是數字。而有序串列的定義，可以形容如下： 有序串列可以是空集合，或者可寫成 (a 1 ,a 2 ,a 3 ．．． ,a n-1 ,a n ) 。 存在唯一的第一個元素 a 1 與存在唯一的最後一個元素 a n 。
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本章重點 • 2-1 有序串列(Ordered List) • 2-2 介紹陣列(array) • 2-3 矩陣(matrix)的應用 • 2-4 陣列與多項式應用
2-1 有序串列(Ordered List) 就是一個有序串列，而且序列中元素的資料型態是數字。而有序串列的定義，可以形容如下： • 有序串列可以是空集合，或者可寫成(a1,a2,a3．．．,an-1,an)。 • 存在唯一的第一個元素a1與存在唯一的最後一個元素an。 • 除了第一個元素a1外，每一個元素都有唯一的先行者(precessor)，例如ai的先行者為ai-1。 • 除了最後一個元素an外，每一個元素都有唯一的後續者(successor)，例如ai+1是ai的後續者。
8種常見的運算 • 計算串列的長度n。 • 取出串列中的第i項元素來加以修正。 • 插入一個新元素到第i項，並使得原來的第i，i+1...，n項，後移變成i+1，i+2...，n+1項。 • 刪除第i項的元素，並使得第i+1，i+2，…n項，前移變成第i，i+1...，n-1項。 • 從右到左或從左到右讀取串列中各個元素的值。 • 在第i項存入新值，並取代舊值。 • 複製串列。 • 合併串列。
有序串列在電腦中的儲存方式 按照記憶體儲存的方式，可區分為以下兩種方式： • 靜態資料結構： • 或稱為密集串列(dense list)，它是一種將有序串列的資料使用連續記憶空間(contiguous allocation)來儲存。例如陣列型態就是一種典型的靜態資料結構。 • 動態資料結構： • 又稱為鍵結串列(linked list)，它是一種將有序串列的資料使用不連續記憶空間來儲存。例如指標(pointer)型態就是一種典型的動態資料結構。
2-2 介紹陣列(array) 五種屬性： • 起始位址：表示陣列名稱(或陣列第一個元素)所在記憶體中的起始位址。 • 維度(dimension)：代表此陣列為幾維陣列，如一維陣列、二維陣列、三維陣列等等。 • 索引上下限：指元素在此陣列中，記憶體所儲存位置的上標與下標。 • 陣列元素個數：是索引上限與索引下限的差+1。 • 陣列型態：宣告此陣列的型態，它決定陣列元素在記憶體所佔有的大小。
一維陣列(one-dimension array) 陣列A宣告為A(1:u1)，表示A為含n個元素的一維陣列，其中1為下標，u1為上標。 A(1)、A(2) 、 A(3) 、..................A(u1) α 、α＋1*d、α+2*d、.................α+( u1-1)*d Loc(A(i))= α+(i-1)*d (Loc(A(i))表示A(i)所在的位址)
二維陣列(two-dimension array) • 假設陣列A宣告為(1:m,1:n)，表示A為一個含有m*n個元素的二維陣列名稱，且有m 個列與n個行。我們可以把A(i,j)元素想像成平面上矩陣圖
陣列元素與記憶體位址關係 通常依照不同的語言，又可區分為兩種方式： • 以列為主(row-major) Loc(A(i,j))= α+n*(i-1)*d+(j-1)*d • 以行為主(column-major) Loc(A(i,j))= α+(i-1)*d+m*(j-1)*d
三維陣列(three-dimension array) 如果陣列A宣告為A(1:u1,1:u2,1:u3)，表示A為一個含有u1*u2*u3元素的三維陣列。我們可以把A(i,j,k)元素想像成空間上的立方體圖
三維陣列-以列為主 • 以列為主(row-major) Loc(A(i,j,k))=α+(i-1)*u2*u3*d+(j-1)*u3*d+(k-1)*d
三維陣列-以行為主 • 以行為主(column-major) Loc(A(i,j,k))=α+(i-1)*u2*u3*d+(j-1)*u3*d+(k-1)*d
n維陣列 • 以列為主(row-major) Loc(A(i1,i2,i3………,in))= α+(i1-1)u2u3u4……und +(i2-1)u3u4……und +(i3-1)u4u5……und +(i4-1)u5u6……und +(i5-1)u6u7……und : +(in-1-1)und +(in-1)d
n維陣列 • 以行為主(column-major) Loc(A(i1,i2,i3………,in))= α+(in-1)un-1un-2……u1d +(in-1-1)un-2……u1d : : +(i2-1-1)u1d +(i1-1)d
2-3 矩陣(matrix)的應用 • 基本上，數學的矩陣(matrix)是一種用來描述二維陣列的最好方式。 • 許多矩陣的運算與應用，都可以使用電腦中的二維陣列解決，例如討論到兩個矩陣的相加、相乘，或是某些稀疏矩陣(sparse matrix)、轉置矩陣(At)、上三角形矩陣(Upper Triangular Matrix)與下三角形矩陣(Lower Triangular Matrix)等等。
矩陣的相加 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 8 7 6 5 4 13 2 1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 + + 3x3 3x3 3x3 C矩陣 B矩陣 A矩陣
轉置矩陣 • 假設A為mxn矩陣，則At為nxm矩陣，對每一個A(i,j)=At(j,k)則稱At為A的轉置矩陣。
矩陣的乘積 • A為一個mxn矩陣，B為一個nxp矩陣；也就是A矩陣的行數必須與B矩陣的列數相等。 • AxB之後的乘積必須為一個mxp矩陣C。
稀疏矩陣(Sparse Matrix) 稀疏矩陣最簡單的定義就是一個矩陣中大部份的元素為0，即可稱為「稀疏矩陣」。
稀疏矩陣的儲存 • 傳統的方式會浪費記憶體空間。 • 改進方法：假如一個稀疏矩陣有n個非零項目，那麼可以利用一個A(0:t,1:3)的二維陣列來表示。其中A(0,1)代表此稀疏矩陣的列數，A(0,2)代表此稀疏矩陣的行數，而A(0,3)則是此稀疏矩陣非零項目的總數。
上三角形矩陣(Upper Triangular Matrix) • 上三角形矩陣就是一種對角線以下元素皆為0的nxn矩陣。其中又可分為右上三角形矩陣(Right Upper Triangular Matrix)與左上三角形矩陣(Left Upper Triangular Matrix)。
下三角形矩陣(Lower Triangular Matrix) • 與上角形矩陣相反，就是一種對角線以上元素皆為0的nxn矩陣。 • 對映到一維陣列B(1:n(n+1))的方式，也可區分為以列為主及以行為主兩種陣列記憶體配置方式。
2-4 陣列與多項式的應用 多項式使用陣列結構，可以使用底下兩種模式： • 使用一個n+2長度的一維陣列存放，陣列的第一個位置儲存最大指數n，其他位置依照指數n遞減，依序儲存相對應的係數： P=(n,an,an-1,……,a1,a0)儲存在A(1:n+2) 例如P(x)=2x5+3x4+5x2+4x+1，可轉換為成A陣列來表示=>A={5,2,3,0,5,4,1} • 只儲存多項式中非零項目。 P(x)=2x5+3x4+5x2+4x+1，可表示成A(1:2m+1)陣列 =>A={5,2,5,3,4,5,2,4,1,1,0}
