1 / 20

עוד מחלקות הסתברותיות More Probabilistic Classes

עוד מחלקות הסתברותיות More Probabilistic Classes. BPL - הגדרות. BPL (תזכורת?): שפות L שקיימים עבורן: מכונה דטרמיניסטית שרצה בזכרון לוגריתמי M ופולינום p(n) כך ש: אם x שייך ל- L אז Pr r [M(x,r) = Accept] ≥ 2/3 אם x לא שייך ל- L אז Pr r [M(x,r) = Accept] < 1/3

quincy
Download Presentation

עוד מחלקות הסתברותיות More Probabilistic Classes

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. עוד מחלקות הסתברותיותMore Probabilistic Classes

  2. BPL - הגדרות • BPL (תזכורת?): • שפות L שקיימים עבורן: • מכונה דטרמיניסטית שרצה בזכרון לוגריתמי M • ופולינום p(n) כך ש: • אם x שייך ל- L אז Prr[M(x,r) = Accept] ≥2/3 • אם xלא שייך ל-L אז Prr[M(x,r) = Accept] < 1/3 • עבור r~Uni[{0,1}p(|x|)] בדומה ל-NL, את הסרט הרנדומי אנחנו קוראים רק משמאל לימין

  3. BPL - הגדרות • נרצה להרחיב את ההגדרה: • לכל p1<p2ϵ [0,1] נגדיר BPL(p1,p2): • אם x שייך ל- L אז Prr[M(x,r) = Accept] ≥p2 • אם xלא שייך ל-L אז Prr[M(x,r) = Accept] < p1 • עבור r~Uni[{0,1}p(|x|)] נתעניין גם (בעיקר?) במחלקות עם טעות חד-צדדית: RL=BPL(0,1/2), coRL=BPL(1/2,1)

  4. BPL - הגדרות • למה דורשים עבור r~Uni[{0,1}p(|x|)]? • נסיון1 - נגדיר RL1: • אם x שייך ל- L אז Prr[M(x,r) = Accept] ≥½ • אם xלא שייך ל-L אז Prr[M(x,r) = Accept] = 0 • עבורr~Uni[{0,1}∞] • האם M תמיד עוצרת?

  5. BPL - הגדרות • למה דורשים עבור r~Uni[{0,1}p(|x|)]? • נסיון2 - נגדיר RL2: • אם x שייך ל- L אז Prr[M(x,r) = Accept] ≥½ • אם xלא שייך ל-L אז Prr[M(x,r) = Accept] = 0 • עבורr~Uni[{0,1}∞] • ולכל x: Prr[M(x,r) = Accept] + Prr[M(x,r) = Reject] = 1 • האם עכשיו M תמיד עוצרת?

  6. NL ⊆RL2 • טענה: NL ⊆RL2 • הוכחה: תהי L ∈ NL ותהי MNL מכונה שמוודאת אותה. צ"ל – M=MRL2 שמקבלת את L בהנתן קלט x וסרט אקראי r: • לכל בלוק riשל r באורך העד (המקסימלי) של MNL: • אם MNL(x,ri) מקבלת – קבל • אחרת, אם ri = 0…0– דחה

  7. NL ⊆RL2 • לכל בלוק ri של r באורך העד (המקסימלי) של MNL: • אם MNL(x,ri) מקבלת – קבל • אחרת, אם ri = 0…0 – דחה • ניתוח: • אם x ∉ L, אז MNL(x,ri) לא מקבלת עבור שום עד, ולכן Prr[M(x,r) = Accept] = 0 • נסמן p = Pr[ri = 0…0] = 2-|ri| Prr[M(x,r) ≠ Reject | after t rounds] = (1-p)t Prr[M(x,r) ≠ Reject] = (1-p)∞= 0 Prr[M(x,r) = Reject] + Prr[M(x,r) = Accept] = 1

  8. NL ⊆RL2 • לכל בלוק ri של r באורך העד (המקסימלי) של MNL: • אם MNL(x,ri) מקבלת – קבל • אחרת, אם ri = 0…0 – דחה • ניתוח: • אם x ∈ L, אזי קיימים k>0 עדים {wj} שעבורם MNL מקבלת: • Prr[M(x,r) = Reject] = Prr[0…0 comes before wj for all j] = Prr[0…0 is the first string from ({wj} ∪ 0...0)] = 1 / (k+1) • Prr[M(x,r) = Accept] = = Prr[0…0 is not the first string from ({wj} ∪ 0...0)] = k / (k+1) ≥ ½

  9. פרוטוקולים הִדּוּדִייםInteractive Protocols

  10. Back to NP LNPiff members have short, efficiently checkable, certificatesof membership. Is  satisfiable? 

  11. Interactive Protocols Two new ingredients: • Several rounds • Randomness

  12. Interactive Proofs Formally Interactive Proof System for L is a game: probabilistic polynomial-time verifier unlimited prover Vs. • Completeness:There is a prover strategy P, s.t for xL, P convinces V with probability  ⅔. • Soundness:For xL, any prover strategy P* convinces V with probability ⅓.

  13. The Players A verifier is a polynomial function: inputrandom-string past-interaction  reply A prover is a function: input past-interaction  reply all previous prover and verifier replies

  14. IP • Definition:IP is the class of all languages having interactive protocols with polynomial number of rounds.

  15. Easy Claims • Claim:NPIP. • Proof’s Idea: Every NP proof is also an IP proof. • Claim: If LIP, and it has a verifier that does not flip coins, then LNP. • Proof’s Idea:P would provide the answers for all V’s questions in advance.

  16. Example: Graph Non-Isomorphism • Input: Two graphs G=(V,E), G’=(V’,E’). • Question: Does for every 1-1 map f of V onto V’ exist v,uV s.t (v,u)E but (f(v),f(u))E’(or (v,u)E, but (f(v),f(u))E’ )?

  17. Are They Isomorphic?

  18. IP for Non-Isomorphism common input 1 2 OK! 2 answers which graph was chosen. • chooses one of the graphs at random. • send P an isomorphic graph.

  19. Correctness • Completeness: non-isomorphic graphs  P can check which is isomorphic to the sent one. • Soundness: isomorphic graphs  both isomorphic to the sent one. P succeeds with probability ½.

  20. IP = PSPACE • משפט (Shamir ‘90):IP = PSPACE • הוכחה:...

More Related