高 频谱效率的 波形编码 理论 — OVTDM 及 其应用

1. 高频谱效率的波形编码理论—OVTDM及其应用 北京邮电大学 李道本(lidaoben@vip.sohu.net)

2. 现有数字通信系统是合理的吗？ • 现有基本数字通信系统的组成(不含复用与多址） 信源 信源编码 信道编码 调制映射 发射 干扰，噪声 信宿 信源译码 信道译码 解调制映射 接收 • 对照的基本运输系统组成(不含货物集散）

3. 信道编码的实质 • 货物运输过程必须保证使所传输的货物不受传输过程的破坏。建筑物必须保证其本身不受各种自然与人为的破坏。 • 信息传输过程同样也要保证其传输的“货物”—数据比特不受传输过程的破坏。 • 必要手段： 1）额外增加“禁锢件”— 剩余； 2）构件的紧密咬合 — 重叠复用原理。

4. 重叠复用原理 • 破坏系统性能的干扰与噪声： 1）噪声：与信号无关的破坏因素； 2）干扰：与信号有关的破坏因素。 • 重叠复用原理——系统内部各用户内部与用户间数据符号的相互重叠是一种有益的编码约束关系，而绝不是干扰，只有系统外部来的破坏性因素才是干扰。

5. 电平分割与波形分割 • 仙侬信息论是公认通信的指导性理论，理论中关于在加性噪声干扰下，单个样点所能荷载的最大信息量为 比特/样点（ ~信号噪声功率比SNR）完全正确。因为样点 是“脉冲”，只能用其不同的电平（幅度，相位），即电平分割 方式来表示不同的信息，而随着编码约束长度增加，在加性噪 声干扰下，只要噪声电平不大于信号电平间隔，一个“脉冲”能 被清晰区分的电平数至多逼近，所荷载的最大信息 量只能逼近比特/样点。

6. 电平分割与波形分割 • 仙侬本人只给出了离散无记忆信道的容量公式。后人以电平分割方式，在假定信道满足奈奎斯特（Nyquist）准则的前提下，将带宽为B的连续AWGN（Additive White Gaussian Noise）信道，即加性白高斯噪声信道转换成了速率为2B样点/秒的独立样点序列，即将之转换成了离散无记忆信道。再将单样点荷载的最大信息量乘以2B样点/秒，就轻而易举地得到了AWGN信道的容量公式：比特/秒。 • 这个容量公式被认为是只能逼近而不能超越的极限。但它是以电平分割为基础，利用奈奎斯特准则得到的，若离开电平分割与奈奎斯特（Nyquist）准则的限制，连续AWGN信道的容量应该有完全不同甚至好得多的形式。

7. 电平分割与波形分割 • 比特持续期Tb的K个二元数据的持续期为KTb，共有种组合，需要一一对应的“符号”表示，难道只有一种电平分割的表示方式？即只能使用有种不同电平（幅度，相位），也就是调制星座表示方式？若将连续AWGN信道视作独立样点 (脉冲)序列，当然只能使用电平分割的表示方式，即采用有个星座点的调制星座的表示方式。众所周知目前所有星座的星座点在复平面上都是均匀排列的，它们之间只有电平区别，复包络完全一致。但这些 “符号”不是样点（脉冲）而是连续信号，即使其带宽与持续时间（编码约束长度）都是有限的，信号幅度与相位变化也可组成近乎无穷种波形，为什么不使用有种波形的波形分割方式呢？ • 在十分喧闹的环境中，人们还能区分出相当数量非常微弱的限带声音信号，不正是利用它们波形不同的性质吗？

8. 电平分割与波形分割 • 重要的是：奈奎斯特准则违背了测不准原理，无“符号干扰”的“奈奎斯特信道”物理根本不可实现。事实上，在任何X域 ( X代表时间T，空间S，频率F或混合H等)的传输系统中，相邻符号重叠，即所谓“符号干扰”，是不可避免的客观存在，传信率越高越严重，何不因势利导利用它呢。本人发现的重叠复用原理早已指出：系统内部数据符号间的相互重叠不是干扰，是自然形成的编码约束关系。重叠越严重编码增益越高，只有系统外部来的破坏因素才是干扰。强行用“均衡”等违背信息处理原理的方法，让有编码约束的“符号干扰”信道逼近物理不可实现，编码约束丧失殆尽的“奈奎斯特信道”，只会牺牲信道容量。

9. 电平分割与波形分割 • 离开奈奎斯特准则，以波形分割取代电平分割可能会出现柳暗花明又一村完全不同的崭新景象。所谓波形分割就是表达种信息用种不同的波形来实现，这就是波形分割传输的基本概念。那么问题就变成如何找到一组有种波形且具有良好的性能（频谱效率高和所需能量小）的波形。如何构造这么多波形？从理论直接入手解决这个问题看来非常困难，甚至不知如何下手。另一种方法是从具体的限带波形（我们称之谓复用波形）入手，通过某种编码的方式利用它形成所需的波形码组，分析其性能进而证明这种方式的确优于电平分割方式。本报告介绍的就是这种类型的波形分割。这种编码方式就是反奈奎斯特准则之道而行的人造严重符号间干扰的方式。

10. 奈奎斯特准则错了吗？ • 若奈奎斯特准则条件“成立”（尽管物理不可实现，但在无限延时时可以逼近），奈奎斯特独立样点序列的确可以描述一个“限带波形”（尽管物理上不存在这样的“限带波形”）； • 外观上描述不等于性质上一致。 数码照片能代表所照景物的性质吗？

11. 对编码调制的基本要求 • 众所周知：现有所有编码的输出都要经过调制映射搬到或直接编码到适于传输的复数域中的星座图，这就是编码调制（含纯调制）。基本信息论告诉我们编码调制应满足以下基本条件： • 1）输入与输出序列之间必须满足一一对应关系； • 2）输出序列间的“距离”应最大。其必要条件是编码支路间的“距离”应最大，这将要求输出不同电平（星座点）间的“距离”应最大； • 3）在信道噪声呈复高斯分布时，编码调制输出也应呈现复高斯分布；

12. 对编码调制的基本要求 • 遗憾地是现有大多数编码均是在有限域的编码，其输入输出都是有限域符号，需经映射将其输出搬移到复数域中的星座图。 • 尽管所有编码都是在序列级进行的，本身无可挑剔，但映射却在毫无编码增益的符号级进行。 • 最可悲地是几乎所有现有星座图星座点分布都呈均匀分布，导致映射转换的复域信号也呈现均匀分布，不可能得到最佳的复高斯分布。 • 虽然“Shaping”可使分布向原点集中些，但仅在选定星座图上的修补是不解决根本问题的。

13. 对编码调制的基本要求 尽管目前也有非有限域编码，如部分响应及[10] 等，也有利用“重叠”的如 书中参考文献[9] 等，但其“重叠”根本不是符号“干扰”的移位重叠，且 都离不开电平分割均匀分布的星座图。 只有摈弃电平分割，使用波形分割的编码才可能实现最优编码。OVXDM 属 于波形编码的一种，本报告只是抛砖引玉，相信以后一定会有更好的波形 编码出现。 调制星座根本不需要存在！

14. 广义波形编码—OVXDM • OVXDM波形编码理论的实质是反奈奎斯特准则之道而行，利用X域符号的数据加权移位重叠产生严重“符号间干扰”，利用其编码约束关系，形成X域的波形编码，使编码输出自然呈现与信道匹配的复高斯分布，根本不需要调制映射。 • 本报告将具体介绍时间T域的OVTDM 。 • OVTDM利用数据加权复用波形的移位重叠所产生的严重“符号间干扰”形成时间T域的波形编码，使编码输出有最少的电平数，最大的支路间欧式距离。随着重叠重数的增加，编码输出很快地逼近了最佳的复高斯分布。

15. 一）：波形编码的OVTDM • 并行同步传输的OVTDM模型（每路符号率1/KT，总符号率1/T） 图1-1：并行传输的OVTDM模型

16. 一）：波形编码的OVTDM • 单信源的OVTDM（符号率1/T） 图1-2：单信源的OVTDM模型

17. 一）：波形编码的OVTDM 图1-3: 单信源OVTDM传输模型

18. 一）：波形编码的OVTDM 图1-4：OVTDM重叠传输示意图（帧长L，重叠重数K，移位间隔Ts/K ）

19. 一）：波形编码的OVTDM 显然，在复用波形为实数时，对于独立元数据流，K重重叠OVTDM的输出在任何时刻都只有种电平，频谱效率达到了比特/符号。参见前页图1-4，由于符号宽度延长了K倍，信号频宽将从B将缩窄为B/K，必须使相邻K个符号重叠在一起才能维持原传信率。有L个符号的帧长为 秒，共荷载LQ比特，则系统的频谱效率为 比特/秒/赫。 在时，系统频谱效率与容量都将提高K倍。对于二元数据流（Q=1）其输出的任何时刻都将呈现K阶二项式分布，对于元数据流，其输出的任何时刻都将呈现K阶多项式分布，当K足够大后，任何时刻OVTDM的输出都将逼近实高斯分布。

20. 一）：波形编码的OVTDM 图1-5: 移位重叠 OVTDM的复数卷积波形编码模型

21. 一）：波形编码的OVTDM 图1-6: OVTDM输入输出示意图（不含噪声，移位间隔 ,重叠重数K=3）

22. 一）：波形编码的OVTDM 图1-7：二元（+1，-1）数据输入OVTDM的输入-输出树图表示（K=3）

23. 一）：波形编码的OVTDM 图1-8：OVTDM节点转移关系图（K=3）

24. 一）：波形编码的OVTDM 图1-9：OVTDM的Trellis图（K=3）

25. 一）：波形编码的OVTDM 图1-10：OVTDM的状态图（K=3）

26. 一）：波形编码的OVTDM 图1-11：二元数据序列与OVTDM输出波形序列一一对应关系举例

27. 一）：波形编码的OVTDM • 显然，在复用波形为实数时，对于独立二元（+1，-1）数据流，K重重叠 • OVTDM的输出只有K+1种电平，频谱效率为K比特/符号。输出任何时刻都将 • 呈现K 阶二项式分布，当K足够大以后，OVTDM 的输出将逼近实高斯分布。 • 同样，在复用波形为实数时，对于独立的四元QPSK（+1，-1，+ j，- j）复数据流，K重重叠OVTDM的输出只有种电平，其中I，Q 两信道各有 • 种电平，频谱效率为2K比特/符号。 • 任何时刻的OVTDM的输出将逼近两个正交的实高斯分布，总输出就逼近了复高斯分布。

28. 一）：波形编码的OVTDM • 从输入数据符号与输出符号的对应关系来看，OVTDM的确破坏了它们之间的一一对应关系，若采用逐符号检测肯定差错概率极大。但是从编码输入数据序列与输出序列来看，OVTDM的输入输出之间完全是一一对应的[3,12]。 • 在编码约束长度K之内，二元BPSK（+1，-1）输入数据序列共有2K 种，其OVTDM编码输出序列也有2K 种，它们之间完全是一一对应关系。 • 众所周知：四元OPSK（+1，-1，+j，-j）数据可分解为相互正交的（+1，-1）与（+j，-j）两对二元数据，将它们分别处于相互正交的I，Q 信道上。

29. 一）：波形编码的OVTDM • 在编码约束长度K之内，在I，Q 信道中，对于二元数据输入，它们分别有2K种输入序列，其OVTDM 编码输出对应也分别有2K种波形序列，它们之间当然也完全是一一对应关系。这就是波形编码！ • 因此对OVTDM 必须摈弃逐符号检测，不但应该而且必须像对待卷积编码一 • 样，采用最大似然序列（MLSD）检测，即从全部可能的 2K 种输出波形序 • 列中选择与接收波形序列最接近的数据序列[2]。

30. 一）波形编码的OVTDM-扩展了系统的带宽？ • 编码抽头系数波形与输入数据都是宽带波形，编码输出从而也是宽带的吗？ • OVTDM的编码输出是移位重叠的复用波形，移位，重叠（相加）属于线性变换，线性变换是绝对不会扩展信号带宽的。只有非线性变换才会扩展信号的带宽。 • 付氏变换的时延定理-时延变换改变的只是信号的相位谱，不会改变信号的带宽。 • 多径传输是否扩展了系统带宽？

31. 二）：OVTDM 系统性能 • 2-1：OVTDM信号的功率谱 • 设OVTDM 重叠复用的符号波形与对应频谱分别为与，，它们是一对付氏变换关系。 • OVTDM 的基本传输波形与对应的信号频谱分别为 • 其中：仅有相邻K个复用波形重叠在一起。 • 则OVTDM 输出的功率谱为：

32. 二）：OVTDM 系统性能 • 由于输入数据是相互独立的，，最终得OVTDM 输出的功率谱为： • 由于在OVTDM内只有 K个相邻符号叠加在一起，求和中只有K个有效项，对于独立数据输入，其 OVTDM 功率谱均为： • 总之，OVTDM 信号的功率谱与其重叠复用信号波形的功率谱完全一致！

33. 二）：OVTDM 系统性能 • 2-2：OVTDM与其它编码的区别 • OVTDM采用的不是电平而是波形分割，属于波形编码。它不需要选择编码矩阵与调制映射星座图，所选择的只有复用波形，通过数据加权复用波形的移位重叠，利用波形分割来获取编码增益与频谱效率。所有决定系统性能的因素都由复用波形决定。 • 那么“最佳复用波形”是什么？如果仅仅限定编码约束长度K，没有其它限制，这个问题很简单：因为根据对称性原理，矩形波就是最佳复用波形。只有矩形波相邻数据之间的约束才平等而且最大。

34. 二）：OVTDM系统性能 • 如果有其它条件限制，例如限定频谱效率，而与复用波形的“时间带宽积”有关，则问题就相当复杂。 • 首先选择什么“时间带宽积”？其次目前“带宽”与“持续时间”的定义不下10种（附录），选择那个？还是重新定义？因为根据测不准原理，绝对有限带宽与持续时间的信号物理不存在。“最佳复用波形”在有条件约束时不可能是矩形波。 • 波形变为非平坦后，编码约束长度约束关系都有变化。这是一个牵一发而动全身的复杂问题，绝不是已有编码理论所能解决的。本报告只讨论了矩形波，升余弦频谱波与升余弦波三种基本及其符合复用波形的仿真性能。因为研究矩形波有理论意义，而升余弦波与升余弦频谱波可用滤波去逼近，有实用意义。 • “最优复用波形”将是个待解决的开放问题。

35. 二）：OVTDM系统性能 • 另一个与传统编码不同点是OVTDM属于波形编码，需要一并考虑信道特性，而传统编码一般不考虑信道特性。 • 众所周知：任何信道都存在扩散，其中时间扩散（引起频率选择性衰落）好像会“破坏”复用波形，对系统性能有无影响？ • 事实上，时间扩散只会造成复用波形的附加重叠，增加的重叠对系统频谱效率没有影响，反而会改善系统性能，因为一来编码约束长度增加了，二来在随机时变信道中额外重叠又会产生分集增益，对改善系统性能能有利。代价是译码复杂度的增加（本报告第5-2节）。 • 第三个与传统编码不同点是OVTDM属于毫无编码剩余的编码，而传统编码离不开剩余，其编码效率一定低于OVTDM。

36. 二）：OVTDM系统性能 • 2-3：OVTDM性能估计 • 对OVTDM系统精确差错概率性能的分析，目前也是一个没有真 • 正解决的开放问题。 • 李道本对不同复用波形利用他自己的“修正最小距离球界”得 • 到了乐观的的比特差错概率上界。 而其他作者只对有限符号干 • 扰 ISI( Inter-symbol Interference)在电平分割条件下导出过悲观的比 • 特差错概率界。 • 只要选定复用波形都可用 他的方法导出其比特差错概率上 • 界。其中当复 用波形为矩形波时，他给出了二元（+1，-1）数 • 据输入时OVTDM，比特差错概率 Pb的两个上界为：

37. 二）：OVTDM 系统性能

38. 二）：OVTDM 系统性能 • 其中 是归一化信扰比，K是二元符号重叠重数，也是频谱效率。其它复用波形也有类似的界。 • 深入观察（2-3），（2-4）与 [2] 中其它复用波形的公式可以看出：只要保持不变，比特差错概率Pb就基本不变。也就是说 OVTDM的频谱效率与 间大致呈线性关系。 • 这与本报告第六节的猜想基本一致。 • 由于矩形复用波形在相同频谱效率下，属于约束最短性能最差波形，这从仿真结果和[2]中其它波形的比特差错概率界就可看出。因此（2-3）（2-4）式也可看作是相同频谱效率复用波形的比特差错概率的一个上界。

39. 二）：OVTDM 系统性能 图2-1：OVTDM仿真与理论界的比较 { ~频谱效率（比特/符号）， , BER=10-5，矩形复用波形}

40. 二）：OVTDM 系统性能 图2-2：TPC预编码OVTDM系统的频谱效率 (等效噪声带宽，复用波形h2(t))

41. 二）：OVTDM 系统性能 图2-3：TPC预编码OVTDM系统的频谱效率(等效噪声带宽，复用波形h6(t))

42. 二）：OVTDM 系统性能 图2-4：TPC预编码OVTDM系统的频谱效率 (等效噪声带宽，复用波形h4(t))

43. 三）：串行级联 OVTDM 系统 • 3-1：串行级联OVTDM 的结构 • 本节的目的是将实数二元数据流分别在相互正交的I，Q 信道上变换成多元实数数据流，而多元实数数据流经过OVTDM 移位重叠复用以后将呈现多项式分布。 • 当重叠重数足够高以后，输出的多项式分布将逼近高斯分布。I，Q 信道输出的总体就逼近了复高斯分布。 • 图3-1就是所建议的串行级联OVTDM 编码结构图。

44. 三）：串行级联 OVTDM系统 图3-1：频谱效率为比特/符号的串行OVTDM 级联结构 （第一级复用波形为宽度为的矩形波，第二级复用波形为实数， 波形宽度为，移位间隔为）

45. 三）：串行级联OVTDM系统 • 众所周知：串行级联结构编码的码率和约束长度为各级之积。 • 图3-1的串行级联OVTDM由两级重叠编码组成，第一级是没有相互移位的纯粹重叠OVTDM，称之为P-OVTDM （Pure-OVTDM）。其重叠重数为K1，复用波形为宽度为的矩形波。第二级S-OVTDM是图2-1中跨越收发两端虚线框内的结构，是移位重叠OVTDM，称之谓S-OVTDM（Shift-OVTDM），更简称为OVTDM，其移位间隔为，重叠重数为，复用波形为实 ，持续期为： • ，Tb为数据比特宽度。 • 的长短除了决定于外，还决定于系统的相对于矩形波的波形展宽系数。

46. 三）：串行级联 OVTDM系统 • 抽头系数 是 的个间隔与宽度均 • 为的采样波形，，这里表示大于等于的最小整数。 • 波形展宽系数：若宽度为 T 的矩形波经滤波后宽度展宽为，则其波形展宽系数定义为 。 • 注*：矩形波的，指占总能量99.99%，或99.999%的波形宽度，决定于系统的频谱效率。 • 显然依附于滤波器结构，具体到本 S-OVTDM，其波形展宽系数。

47. 三）：串行级联OVTDM 系统 • 串行级联OVTDM系统的频谱效率： • 在工程上， 成形滤波器的输入“冲击”是数字形成所需的输入脉冲宽度。由于S-OVTDM要求实数复用波形 ，必须由线性相位的有限冲击响应数字FIR滤波器实现。形成精度由输入“冲击”的脉宽决定。“冲击”越窄，形成的越精确。S-OVTDM复用波形为图2-1虚线框内收发总冲击响应 。等效于码率为1，约束长度为的卷积波形编码，其 I，Q 分量均可以简单地以图3-2与图3-3所示的移位重叠结构所表示。

48. 三）：串行级联 OVTDM系统 图3-2：S-OVTDM的等效抽头延时线（卷积编码）模型 移位间隔为 ,输入 元数据 )

49. 三）：串行级联OVTDM 系统 图3-3：S-OVTDM的等效波形移位重叠模型 (移位间隔为 ，输入 元数据)

50. 三）：串行级联 OVTDM 系统 图3-4：49阶升余弦频谱滤波器输入“冲击”与 输出波形示意图