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5 La Gravitation

5 La Gravitation. 5.1. La loi de gravitation universelle de Newton. G est la constante gravitationnelle:. Soleil. Terre. 5.2. principe de superposition. Pour un nombre n de particules en interaction, on peut écrire:. est la force résultante exercée sur la particule 1.

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5 La Gravitation

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Presentation Transcript

  1. 5 La Gravitation 5.1. La loi de gravitation universelle de Newton G est la constante gravitationnelle:

  2. Soleil Terre 5.2. principe de superposition Pour un nombre n de particules en interaction, on peut écrire:

  3. est la force résultante exercée sur la particule 1. Quand un objet est très volumineux, il exerce une force gravitationnelle sur une particule qu’on calcul en divisant cette masse en petits éléments dm qui exercent sur la particule la force gravitationnelle , et on somme sur tous ces éléments.

  4. 5.3. La force gravitationnelle d’une distribution sphérique de masse R.sinq.dj R.dq t R dj dq dq R.sinq q

  5. A l r f m c f l B

  6. Dans cette expression, il y a trois variables dépendantes les unes des autres: l, j et q . Il faut donc en exprimer deux en fonction de la troisième. Pour le triangle CmA, on peut écrire que: En utilisant les deux expressions on obtient:

  7. Si on remplace tous: En intégrant entre l = r-R et l = r+R:

  8. 5.3. Les planètes et les satellites: les lois de Kepler Rp Ra m M q F’ F ea ea a

  9. 2. La loi des Aires: Une droite joignant une planète au soleil balaie des aires égales dans le plan de l’orbite durant des intervalles de temps égaux: c’est-à-dire que le taux dA/dt auquel elle balaie l’aire A est constant

  10. r.dq dq dA r Soleil q

  11. DA est approximativement l’aire d’un triangle de base rDqet de hauteur r Cette expression de DA devient plus précise quand Dt tend vers dt Et donc:

  12. Pour obtenir mathématiquement cette loi, considérons une trajectoire circulaire de rayon r ( demi-grand axe). Or avec T la période du mvt donc: L’équation s’applique également aux orbites elliptiques en remplaçant r par le demi-grand axe a.

  13. 5.4. Les satellites: orbites et énergie Quand un satellite décrit une orbite elliptique autour de la Terre, le module de sa vitesse donc son énergie cinétique et sa distance à la Terre donc son énergie potentielle fluctuent. Cependant, son énergie mécanique reste constante. 5.4.1. Energie potentielle

  14. 5.4.2. Energie cinétique 5.4.3. Energie mécanique

  15. 5.4.3. Nature de trajectoire Car

  16. On remarque que: Donc pour simplifier on pose :

  17. En dérivant /q Equation linéaire du 2e ordre à coefficients cst avec 2e membre => sol. générale:

  18. Ou bien:

  19. P b p Périgée q Apogée O F1 a c a(1-e) a(1+e)

  20. Le demi-grand axe a dépend de l’énergie totale E0 Avec E0 <0 Le demi-petit axe b dépend du moment cinétique L0 et de E0 Périhélie Aphélie Excentricité Energie mécanique totale

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