1 .( 第一章 ) 单调增加 ( 或减少 ) 函数的几何解释 : 对应曲线是上升或下降的 .

§4.3函数的单调性 单调性是函数的重要性态之一, 也是本章主要内容. 它既决定着函数递增和递减的状况, 又有助于我们研究函数的极值、证明某些不等式、分析描绘函数的图形等. 一.函数的单调性 1.(第一章) 单调增加(或减少)函数的几何解释: 对应曲线是上升或下降的.

y y y= ƒ(x) y= ƒ(x) o x o x 用定义来判断函数的单调性有比较法、比值法. 但繁! 下面讨论如何用导数来判断函数的单调性.

y y x x o o 从上图可看出:当曲线为上升(或下降)时,其上各点切线与x轴正向夹角为锐角(或钝角),则其切线斜率tanα是非负(或非正)的. 根据导数的几何意义知函数ƒ(x)单调增加(或减少)时, 总有可见函数的单调性与导数的符号有关. 反之, 能否用导数的符号来判断函数的单调性呢?

定理7.(函数单调性的判定方法) 设y =ƒ(x)在区间[a, b] 上连续, 在区间(a, b)内可导. 有即函数导数在区间保号从而此函数在该区间内一定单调.

证根据拉格朗日中值定理, 有

2.定理7的结论对无穷区间也成立. 例15 注1.研究函数的单调性, 就是判断它在哪些区间内递增, 哪些区间内递减.由定理 1 对可导函数的单调性,可根据导数的正负情况予以确定.

3.如果函数的导数仅在个别点处为 0, 而在其余的点处均满足定理1, 则定理1仍成立. 如 y x o 4.此定理可完善为充要条件. 即若ƒ(x)在 (a, b)内可导且单调增加(或减少), 则ƒ(x) 在(a, b)内必有 y o x 5.有些函数在它的定义区间上不是单调的.如但它在部分区间上单调, 那么怎么来求它的单调区间呢?

6.函数y=|x|, x = 0为其连续不可导点. 但它在部分区间上单调, 那么又怎么来求它的单调区间呢? y y=|x| o x 结论:如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数都存在且连续, 那么只要用方程的点(单调区间分界点)来划分函数的定义区间, 就能保证函数在各个部分区间内保持固定符号, 从而可得单调区间及函数的单调性.

确定某个函数y=ƒ(x)的单调性的一般步骤是: (1)确定函数定义域; (2)求出的点, 以这些点为分界点划分定义域为多个子区间; (3)确定在各子区间内的符号, 从而定出ƒ(x)在各子区间的单调性.

例16求函数的单调区间. 解定义域为列表讨论如下: 故是ƒ(x)的递增区间. [1, 2] 是递减区间. (端点可包括也可不包括)

例17讨论函数的单调性. 解定义域为列表讨论如下: 故在内ƒ(x)是递增的. 在内递减.

二.函数单调性的应用 下面利用函数的单调性, 来证明不等式和判断方程的根的存在性及其个数. 1.证明不等式:关键是根据所证不等式及所给区间构造辅助函数,并讨论它在指定区间内的单调性. 例18证明不等式

2.讨论方程根的问题:若 y = ƒ(x)单调且变号, 则方程ƒ(x) = 0一定有根, 而函数曲线与x轴的交点,确就是方程的根.

例19设ƒ(x)在内连续, ƒ(a) < 0当x >a时, 有 (其中k为常数). 求证: 在内, 方程ƒ(x) = 0有且仅有一个实根. y=ƒ(x) y 因当x >a时, 有, 则 ƒ(x)在证 a 内单调增加. x o 在区间上应用拉格朗日中值定理, 得由介值定理知方程ƒ(x) = 0在内至少有一个实根. 故结论得证.

例20证明方程(1) 有且仅有一个正根. (2)内有两个实根. 证(1)

1 .( 第一章 ) 单调增加 ( 或减少 ) 函数的几何解释 : 对应 曲线是上升或下降的 .