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9.3- 2 直线与平面垂直. 【 教学目标 】. 正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理,并能运用它解决有关垂直问题. O. B. A. C. D. . 【 知识梳理 】. 1 .斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中, ① 射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长; ② 相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长; ③ 垂线段比任何一条斜线段都短.. 2 .重要公式
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【教学目标】 正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理,并能运用它解决有关垂直问题
O B A C D 【知识梳理】 1.斜线长定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中, ①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长; ②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长; ③垂线段比任何一条斜线段都短. 2.重要公式 如图,已知OB平面于B,OA是平面的斜线,A为斜足,直线AC平面,设OAB=1,又CAB=2,OAC=.那么 cos=cos1cos2.
【知识梳理】 3.直线和平面所成的角 ①平面斜线与它在平面内的射影所成的角,是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角. ②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平面内,那么就说直线和平面所成的角是0的角.
4.三垂线定理和三垂线定理的逆定理 【知识梳理】
【知识梳理】 重要提示 三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直,尤其是证明两条异面直线垂直,此外,还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角.在应用这两个定理时,要抓住平面和平面的垂线,简称“一个平面四条线,线面垂直是关键”.
【点击双基】 1.下列命题中,正确的是 ( ) (A)垂直于同一条直线的两条直线平行 (B)平行于同一平面的两条直线平行 (C)平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线 (D)a、b在平面外,若a、b在平面内的射影是两条相交直线,则a、b也是相交直线 2.直线a、b在平面内的射影分别为直线a1、b1,下列命题正确的是 ( ) (A)若a1b1,则ab (B)若ab,则a1b1 (C)若a1b1,则a与b不垂直 (D)若ab,则a1与b1不垂直
【点击双基】 3.直线a、b在平面外,若a、b在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线,则a与b是 ( ) (A)异面直线 (B)相交直线 (C)异面直线或相交直线 (D)异面直线或平行直线 4.P是△ABC所在平面外一点,若P点到△ABC各顶点的距离都相等,则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 5.P是△ABC所在平面外一点,若P点到△ABC各边的距离都相等,且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内部,则射影是△ABC的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
【点击双基】 6.P是△ABC所在平面外一点,连结PA、PB、PC,若PABC,PBAC,则P点在平面ABC内的射影是△ABC的 ( ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 7.从平面外一点向这个平面引两条斜线段,它们所成的角为.这两条斜线段在平面内的射影成的角为(90<180),那么与的关系是 ( ) (A)< (B)> (C) (D) 8.已知直线l1与平面成30角,直线l2与l1成60角,则l2与平面所成角的取值范围是 ( ) (A)[0,60] (B)[60,90] (C)[30,90] (D)[0,90]
A C a b D B O C 【典例剖析】 例1.如果四面体的两组对棱互相垂直,求证第三组对棱也互相垂直. 已知:四面体ABCD中,ABCD,ADBC; 求证:ACBD;
P M N A B Q l 28 D 【典例剖析】 例2.如图,在三棱锥PABC中,ACB=90,ABC=60,PC平面ABC,AB=8,PC=6,M、N分别是PA、PB的中点,设△MNC所在平面与△ABC所在平面交于直线l.(1)判断l与MN的位置关系,并进行证明; (2)求点M到直线l的距离.
【典例剖析】 例3.如图,P 是ΔABC所在平面外一点,且PA⊥平面ABC。若O和Q分别是ΔABC和ΔPBC的垂心, 试证:OQ⊥平面PBC。
【典例剖析】 例4.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ΔABC是直角三角形,∠ABC=900,2AB=BC=BB1=a,且A1C∩AC1=D,BC1∩B1C=E,截面ABC1与截面A1B1C交于DE。 (1)A1B1⊥平面BB1C1C;(2)求证:A1C⊥BC1;(3)求证:DE⊥平面BB1C1C。
【典例剖析】 例5.如图P是ABC所在平面外一点,PA=PB,CB平面PAB,M是PC的中点, N是AB上的点,AN=3NB (1)求证:MNAB;(2)当APB=90,AB=2BC=4时,求MN的长。 (1)证明:取的中点,连结,∵是的中点,
【知识方法总结】 运用三垂线定理及其逆定理的关键在于先确定线、斜线在平面上的射影,而确定射影的关键又是“垂足”,如果“垂足”,定了,那么“垂足”和“斜足”的连线就是斜线在平面上的射影。