1 / 74

SAVIJANJE TANKIH I DEBELIH PLOČA

SVEUČILIŠTE U SPLITU, FAKULTET GRAĐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE UNIVERSITY OF SPLIT, FACULTY OF CIVIL ENGINEERING, ARCHITECTURE AND GEODESY. SAVIJANJE TANKIH I DEBELIH PLOČA. Nastavnici: Prof. dr. sc. Blaž Gotovac Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić Nives Brajčić Kurbaša

rachel
Download Presentation

SAVIJANJE TANKIH I DEBELIH PLOČA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SVEUČILIŠTE U SPLITU, FAKULTET GRAĐEVINARSTVA, ARHITEKTURE I GEODEZIJE UNIVERSITY OF SPLIT, FACULTY OF CIVIL ENGINEERING, ARCHITECTURE AND GEODESY SAVIJANJE TANKIH I DEBELIH PLOČA Nastavnici: Prof. dr. sc. Blaž Gotovac Prof. dr. sc. Vedrana Kozulić Nives Brajčić Kurbaša Marko Abram Akad. god. 2013/14

  2. SAVIJANJE TANKIH PLOČA 1. Kirchoff-Loweova teorija PRETPOSTAVKE: Točke koje prije deformiranja ploče leže na pravcu okomitom na ravninu ploče i nakon deformiranja ostaju na istom pravcu okomitom na srednju plohu deformirane ploče (modificirana Bernoulli-Navierova hipoteza ravnih presjeka) Progibi ploče su mali u odnosu na njezinu debljinu Mogu se zanemariti izduženja i promjene kuteva u srednjoj ravnini, te se smatra da elementi srednje plohe ostaju nedeformirani. Elastične karakteristike materijala ploče pri rastezanju i sabijanju su iste. Materijal ploče je izotropan. Elastična ploha ploče uzima se u sredini konstantne debljine t, gdje se nalazi i srednja ravnina. Zanemaren je doprinos poprečnih sila na deformiranje ploče.

  3. promatranjem deformacije presjeka ploče x= const Komponente deformacija za element plohe koji se nalazi na udaljenosti z od srednje ravnine i paralelan je s njom:

  4. U smjeru z se pojavljuju deformacije kao rezultat deformiranja u smjerovima x i y, te zbog naprezanja zzkoje na rubu izloženom djelovanju opterećenja ima veličinu p, dok je na rubu koji nije opterećen jednako nuli. Može se uzeti da se po debljini ploče raspodjeljuje linearno Naprezanje zz je relativno malo u odnosu na komponente naprezanja xx yy pase utjecaj tog naprezanja na deformacije u smjeru osi z praktično mogu zanemariti Komponente naprezanja kao funkcije pomaka: POSLJEDICA SAVIJANJA PLOČE U DVA OKOMITA SMJERA APROKSIMATIVNI IZRAZI ZA ZAKRIVLJENOST POSLJEDICA VITOPERENJA POČETNO RAVNE PLOČE VITOPERENJE PLOČE z = 0 – NEUTRALNI SLOJ

  5. zx i yz se pojavljuju zbog poprečnih sila u presjeku! U srednjoj je ravnini rezultanta komponenti jednaka nuli, no svakoj od tih odgovara po jedan moment, odnosno poprečna sila: MOMENTI SAVIJANJA PO JEDINICI DULJINE PLOČE MOMENTI TORZIJE PO JEDINICI DULJINE PLOČE KRUTOST PLOČE NA SAVIJANJE

  6. Jednadžbe ravnoteže: Zanemarene su veličine drugog reda:

  7. Poprečne sile kao funkcije pomaka: NEHOMOGENA PDJ ČETVRTOG REDA KOJOM JE OPISAN OBLIK DEFORMIRANE PLOČE UNUTAR RUBA MOŽE SE RAZVITI U DVIJE DJ 2. REDA :

  8. 1.1 Unutarnje sile u kosim presjecima OPĆI SLUČAJ: - momenti savijanja • momenti torzije • poprečne sile. Raspodjela naprezanja je linearna; Neutralni sloj je u sredini debljine ploče. Raspodjela posmičnih naprezanja je parabolična s maksimalnim naprezanjem u visini neutralnog sloja

  9. Određivanje momenata: INVARIJANTA:

  10. Za momente u pločama se mogu primijeniti konstrukcije Mohrovih kružnica, kako za određivanje smjerova i veličina glavnih momenata kada su poznati Mxx, Myy, Mxy, tako i za određivanje momenata Mnn, Mtt, Mntkada su poznati glavni momenti. veličine GLAVNIH MOMENATA smjerovi GLAVNIH MOMENATA INVARIJANTA:

  11. Određivanje poprečnih sila: kada su poznati Mxx, Myy, Mxy Mogu se za kosi presjek odrediti veličine Mnn, Mtt, Mnt, Qn, Također je moguće provjeriti stanje naprezanja ili deformacija na rubovima ploče ili na mjestima oslanjanja

  12. 1.2 Rubni uvjeti JEDNADŽBA PLOČE Pri rješavanju problema ploče morabiti zadovoljeno: RUBNI UVJETI uvjeti na mjestu oslanjanja ploče ovise o načinu oslanjanja i učvršćenja na rubovima KINEMATIČKI (geometrijski) DINAMIČKI (prirodni) - pomaci (w) - kutovi zaokreta (n) - momenti savijanja (Mn) - poprečne sile (Qn)

  13. Presjek A-A Na slobodno oslonjenom rubu rubni su uvjeti pomak i moment savijanja, a na upetom rubu pomak i kut zaokreta. Presjek B-B Na upetom rubu rubni uvjeti su kut zaokreta i poprečna sila, a za slobodni rub moment savijanja i poprečna sila. MOMENTI TORZIJE SU RAZLIČITI OD NULE, NO NJIHOVE VELIČINE NISU POZNATE. Za slučajeve kada su strogo ispunjeni rubni uvjeti, morale bi se rubne veličine podudarati s vanjskim momentom savijanja, vanjskim momentom torzije i vanjskom poprečnom silom. Kada bi se postavila tri rubna uvjeta, zadatak bi bio previše složen, pa se rješenje ploče w(x,y) može pojednostaviti i odrediti iz samo dva rubna uvjeta .

  14. Prilagodba izvođenja rješenja s dva rubna uvjeta: PRETPOSTAVKA: Rubni momenti torzije se zamjenjuju sa statički ekvivalentnim i ravnomjerno raspodijeljenim dopunskim posmičnim silama koje se superponiraju sa silama posmika na rubu. Umjesto zahtjeva da u pojedinim rubnim točkama momenti torzije i sile posmika moraju pojedinačno biti iste s odgovarajućim vanjskim momentima i silama, traži se samo da to poklapanje postoji kod posmičnih sila povećanih za dopunske sile posmika.

  15. na odsječku ds može se zamijeniti s odgovarajućim spregom sila čiji je krak ds Prilagodba izvođenja rješenja s dva rubna uvjeta: Na rubovima elementa međusobno se poništavaju udjeli Mntiz ovih sila i ostaju diferencijske sile koje po jedinici rubne duljine imaju veličinu U slučaju neizmjerno malih duljina elemenata DOPUNSKE POPREČNE SILE UKUPNE POPREČNE SILE REDUCIRANI RUBNI UVJETI St. Venantov princip: stanje naprezanja se neće značajno promijeniti ako se momenti torzije na rubu zamijene dopunskim poprečnim silama.

  16. Prilagodba izvođenja rješenja s dva rubna uvjeta: UKUPNE POPREČNE SILE REDUCIRANI RUBNI UVJETI St. Venantov princip: stanje naprezanja se neće značajno promijeniti ako se momenti torzije na rubu zamijene dopunskim poprečnim silama.

  17. Na priključne odsječke rubova djeluju momenti torzije Kada se ovi momenti zamijene s ekvivalentnim spregovima sila, na kraju svakog slobodno oslonjenog ruba ostat će po jedna koncentrirana sila. PRAVOKUTNA PLOČA ista na oba kraja REZULTIRAJUĆA KONCENTRIRANA SILA U KUTU SLOBODNO OSLONJENE PRAVOKUTNE PLOČE Ukoliko se želi zadovoljiti uvjet da nema progiba u kutu slobodno oslonjene pravokutne ploče, potrebno je konstruktivno spriječiti odizanje ploče u kutovima, a to se najčešće čini posebnim usidrenjima.

  18. Sile u osloncima su Za slučaj potpuno slobodnog ruba ploče x=const., rubni se uvjeti mogu napisati koristeći izraze: Za slučajslobodno oslonjenog ruba x=const. neće biti progiba i momenta savijanja NAVIEROVI RUBNI UVJETI Za slučaj kada je rub ploče x=const. potpuno upet, tada su rubni uvjeti: nema utjecaja momenata torzije

  19. POMACI w TE ZAOKRETI i MEĐUSOBNO NEZAVISNI Reissner-Mindlinova teorija ploča Osnovne jednadžbe • Kod debelih ili sendvič ploča uključujemo DOPRINOS POSMIKA U ANALIZU DEFORMACIJA I NAPREZANJA. • Autori koji su prvi uveli takvu teoriju ploča su Reissner i Mindlin. • Pored općih pretpostavki linearne teorije elastičnosti, ova teorija se zasniva na sljedećim dodatnim pretpostavkama: • Linijski element ploče koji je prije deformacije bio okomit na srednju ravninu ploče ostaje i nakon deformacije prav i nepromjenjene duljine, ali ne i okomit na srednju plohu deformirane ploče PRESJEK OSTAJE RAVAN ALI NE I OKOMIT NA SREDNJU PLOHU PLOČE. • Komponente naprezanja u ravninama koje su okomite na srednju plohu ploče mogu se zanemariti u odnosu na ostale komponente u ravninama paralelnim srednjoj plohi. ZA OPISIVANJE ZAOKRETANJA POJEDINOG PRESJEKA DOVOLJNA JE SAMO PO JEDNA VELIČINA.

  20. Deformiranje debele ploče

  21. Posmične komponente deformacija i jednake i : za z=0 Neutralna ploha se ne deformira: Pravac linijskog elementa nakon deformacije određen je kutovima: Komponente pomaka u proizvoljnoj točki ploče:

  22. Deformacije se mogu izraziti preko pomaka u sljedećem obliku: Komponente naprezanja dobivaju se preko komponenata deformacija prema općem Hooke-ovom zakonu: DEFORMACIJE USLIJED SAVIJANJA DEFORMACIJE USLIJED SMICANJA

  23. Konvencija pozitivnih predznaka za momente savijanja i poprečne sile

  24. Veza naprezanja i deformacija može se pisati u sljedećem obliku: KOEFICIJENT OBLIKA POPREČNOG PRESJEKA VEZANO ZA UTJECAJ POSMIČNIH NAPREZANJA NA KRIVLJENJE PRESJEKA ZA PRAVOKUTNI POPREČNI PRESJEK Generalizirani vektor pomaka:

  25. Matrična jednadžba ravnoteže konačnog elementa ploče Izraz za totalnu potencijalnu energiju: Predstavlja polaznu osnovu za metodu pomaka kod primjene MKE u analizi savijanja ploča prema Reissner-Mindlinovoj teoriji. Vektor pomaka u sastoji se od tri komponente pomaka: w, x i y SVAKOJ TOČKI PRIPADAJU TRI STUPNJA SLOBODE Pomak u točki: Parabolički izoparametrijski konačni element ploče

  26. Vektor deformacija u proizvoljnoj točki područja elementa ima oblik:

  27. Relativne deformacije su:

  28. Matrica deformacija: Vektor nepoznatih komponenata pomaka čvorova konačnog elementa: Matrica svojstava materijala:

  29. Matrica konačnog elementa: ili Pojedina submatrica dimenzija (3x3) određena je parom indeksa (i,j): Ili odvojeno DOPRINOS OD POSMIKA DOPRINOS OD SAVIJANJA

  30. Npr. • Za izračunavanje vrijednosti članova matrice koji se odnose na doprinos od posmika bolje je koristiti REDUCIRANU NUMERIČKU INTEGRACIJU (za osamčvorni element to je integracija 22) • Reduciranom integracijom se izbjegava prevelika krutost konačnog elementa koja nastaje usljed posmika.

  31. Vektor ekvivalentnih čvornih sila za problem savijanja ploča ima oblik: U pridržanim čvorovima konačnog elementa pojavit će se reakcije: Matrična jednadžba ravnoteže konačnog elementa je:

  32. ZADAVANJE PODATAKA O PRIDRŽANIM ČVOROVIMA x 0 Osim zaokreta u smjeru normale na rub ploče, zadat će se i zaokret u smjeru tangente! x 0 y 0 y 0 Kinematički rubni uvjeti za pravokutnu ploču

  33. Ekvivalentno čvorno opterećenje Kod problema savijanja ploča razmatraju se tri tipa opterećenja: Mogu se zadavati u čvornim točkama komponente opterećenja koje odgovaraju mogućim generaliziranim silama. 1. 2. Može biti zadano stranično kontinuirano opterećenje. Može biti zadano raspodijeljeno opterećenje koje djeluje okomito na ploču (tj. u z smjeru). 3. Generalizirane čvorne sile za element ploče

  34. KONCENTRIRANO OPTEREĆENJE Može se u svakom čvoru zadati opterećenje koncentriranom silom u smjeru osi z i opterećenje momentima savijanja koja djeluju u ravninama xz i yz. P P Ekvivalentne čvorne sile na konačnom elementu:  različito od nule samo za opterećeni čvor Vektor ekvivalentnih čvornih sila u čvoru:

  35. STRANIČNO OPTEREĆENJE Kontinuirano opterećenje mogu tvoriti linijske sile okomite na ravninu ploče ili linijski momenti savijanja u smjeru normale na opterećenu stranicu konačnog elementa. Definira se zadavanjem vrijednosti opterećenja u tri čvorne točke koje određuju stranicu konačnog elementa na koju opterećenje djeluje: (Fz)i i (Mn)i i = 1, 2, 3

  36. Intenzitet distribuiranog opterećenja u bilo kojoj točki duž opterećene stranice: Komponente distribuiranih linijskih momenata savijanja u smjeru x i y osi koji djeluju na inkrementalnoj duljini ds opterećene stranice su: x N1, N2 i N3 - tri bazne funkcije koje se koriste za jednodimenzionalni element y Opterećenje se integrira duž stranice elementa po krivocrtnoj varijabli . Ekvivalentne čvorne sile:

  37. Ekvivalentne čvorne sile za stranično opterećenje: integracija se vrši duž opterećene stranice elementa Se Primjenjuje se Gaussova numerička integracija: Intenzitet distribuiranog opterećenja u Gaussovoj integracijskoj točki mna opterećenoj stranici:

  38. DISTRIBUIRANO OPTEREĆENJE Jednoliko distribuirano opterećenje Intenzitet jednoliko raspodjeljenog opterećenja q može se jednostavno zadati kao svojstvo materijala koje je pridruženo konačnom elementu. Ekvivalentne čvorne sile za čvor i imaju oblik: INTENZITET DISTRIBUIRANOG OPTEREĆENJA INTEGRACIJA SE VRŠI PO POVRŠINI ELEMENTA Primjenjuje se Gaussova numerička integracija: J - matrica preslikavanja Wn i Wm - Gaussovi težinski koeficijenti

  39. Opterećenje raspodjeljeno po bilinearnom zakonu (jednoliko, linearno promjenjivo po smjeru x, linearno promjenjivo po smjeru y te linearno promjenjivo u oba smjera) Opterećenje “pokriva” jedan krivolinijski makroelement (sastavljen od više konačnih elemenata) čiji su vrhovi određeni čvorovima 1 do 4 koji moraju biti uneseni u pozitivnom smjeru na makroelementu. qz Pomoću vrijednosti opterećenja u vrhovima makroelementa, linearnom interpolacijom odredit će se vrijednosti opterećenja u svim čvorovima konačnog elementa: (qz)i i = 1, … , 8

  40. Intenzitet distribuiranog opterećenja u bilo kojoj točki konačnog elementa: Ekvivalentne čvorne sile za bilinearno raspodijeljeno opterećenje na elementu: Primjenjuje se Gaussova numerička integracija:

  41. PRIMJERI Numerička rješenja tankih izotropnih homogenih ploča dobivena kolokacijskom metodom pomoću glatkih finitnih funkcija Slobodno oslonjena kvadratna ploča jednoliko opterećena a) izolinije progiba w(x,y); b) izolinije momenta Mxx c) izolinije momenta Mxy d) izolinije poprečne sile Qx

  42. Slobodno oslonjena kvadratna ploča opterećena koncentriranom silom u sredini Moment savijanja Mxx Moment savijanja Mxx i poprečna sila Qx za upetu kvadratnu ploču opterećenu koncentriranom silom u sredini

  43. Upeta kvadratna ploča jednoliko opterećena

  44. Potpuno upeta kružna ploča opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjem Numeričko rješenje dobiveno pomoću MKE: • Mreža konačnih elemenata za četvrtinu kružne ploče; • progibna ploha; • moment savijanja Mxx; • poprečne sile

  45. Ploča potpuno upeta na rubu i opterećena jednolikim opterećenjem Numeričko rješenje dobiveno pomoću MKE: a) • progibna ploha • raspored momenata savijanja • raspored poprečnih sila Qy b) c)

  46. Funkcija progiba dobivena numerički pomoću glatkih finitnih funkcija Funkcija momenta savijanja Mxx dobivena numerički pomoću glatkih finitnih funkcija

  47. Tanka šuplja ploča sastavljena kombinacijom kružnih plohaupeta na vanjskom i unutrašnjem rubu i opterećena jednoliko raspodijeljenim opterećenjempo cijeloj površini Mreža konačnih elemenata s rasporedom momenata savijanja

More Related