1 / 12

Oppervlakten berekenen

Oppervlakten berekenen. een mogelijke ontstaansgeschiedenis voor integralen... 6de jaar – 3 & 4u wiskunde Pedro Tytgat: Aanpassing Ronny Vrijsen. Vraagstelling. We zoeken de oppervlakte tussen de grafiek van f ( x ) = x ², de X-as en de verticale rechte met vergelijking x = 3.

rae-garza
Download Presentation

Oppervlakten berekenen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Oppervlakten berekenen een mogelijke ontstaansgeschiedenis voor integralen... 6de jaar – 3 & 4u wiskunde Pedro Tytgat: Aanpassing Ronny Vrijsen

  2. Vraagstelling • We zoeken de oppervlakte tussen de grafiek van f(x) = x², de X-as en de verticale rechte met vergelijking x = 3. • Hiervoor is er echter geen bestaande formule... • We benaderen m.b.v. oppervlakten die we wel kennen: rechthoeken. opp = hoogtebreedte

  3. x1 x2 x3 Een eerste benadering • We verdelen [0, 3] in 3 deel-intervallen. • De breedte van elk rechthoekje noemen we x.Bij 3 deelintervallen is x = 1. • De hoogte van elk rechthoekje vinden we door het eindpunt van elk interval in te vullen in de functie: • x1 = 1  f(x1) = 1 • x2 = 2  f(x1) = 4 • x3 = 3  f(x3) = 9

  4. x x x x1 x2 x3 Waarde van de eerste benadering • Totale benaderde oppervlakte: • f(x1) x = 1 1 = 1 • f(x2) x = 4 1 = 4 • f(x3) x = 9 1 = 9 • opp(3) = • opp(3) = 14

  5. x2 x4 x6 x1 x3 x5 Een betere benadering • Verdelen we [0, 3] in 6 deel-intervallen, dan wordt de benadering al iets beter. • Elk rechthoekje is nu half zo breed: x = 0,5. • De hoogte van elk rechthoekje: • x1 = 0,5 : f(x1) = 0,25 • x2 = 1 : f(x2) =1 • x3 = 1,5 : f(x3) = 2,25 • ... • x6 = 3 : f(x6) = 9

  6. x x x x x x x2 x4 x6 x1 x3 x5 Een betere benadering: waarde • De totale benaderde oppervlakte is nu: • f(x1) x = 0,25 0,5 = 0,125 • f(x2) x = 1  0,5 = 0,5 • f(x3) x = 2,25 0,5 = 1,125 • f(x4) x = 4 0,5 = 2 • f(x5) x = 6,25 0,5 = 3,125 • f(x6) x = 9 0,5 = 4,5 • opp(6) = • opp(6) = 11,375

  7. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 Nog meer deelintervallen • Nemen we 12 deelintervallen, dan is x = 0,25 en moeten we 12 hoogtes f(xi) berekenen, waarbij i= 1, 2, 3, ..., 12. • We krijgen nu een som met 12 termen van de vorm: f(xi) x. • Beknopt: • Waarde: opp(12) = 10,15625

  8. f(xi) n deelintervallen! • Voor n deelintervallen (een willekeurig aantal). • n rechthoekjes met • vaste breedte: xen • hoogte: f(xi), met i= 1, 2, ..., n. • Formule: opp(n) = xi

  9. Oneindig veel deelintervallen • Hoe groter n, hoe beter de benadering. Als n nadert tot +, nadert opp(n) tot de exacte oppervlakte S. • Vertalen we deze laatste zin in het ‘wiskundigs’, dan krijgen we: S = 9

  10. De bepaalde integraal • Strikt genomen zou je kunnen zeggen dat de exacte oppervlakte S op het interval [0, b] te schrijven is als: • Men noemt een aldus verkregen oppervlak de bepaalde integraal van de functie f(x) van 0 tot b en noteert dit verkort als:

  11. Oppervlakte op een interval [a, b] • Uit de basisformule op het interval [0, b], kunnen we nu de oppervlakte afleiden voor alle andere intervallen. • Beschouw het interval [a, b], waarbij 0 < a < b:S = Of dus: a b

  12. Algemene uitdrukking • Meer algemeen kan men gemakkelijk aantonen dat deze formule ook geldt voor intervallen [a, b] met • a < b < 0 (het interval ligt volledig links van de Y-as) of • a < 0 < b (het interval begint links en eindigt rechts van de Y-as). • Besluit:

More Related