Wavelet Transform Chapter 7

1. Wavelet TransformChapter 7 Dr. Mario Chacón DSP & Vision Lab

2. Introduction to the wavelet transform Figura 7. 1 Señal de voz y su espectro de frecuencia

3. Introduction to the wavelet transformSTFT Short time Fourier Transform, Dennos Gabor Figura 7. 2 Espectograma de la señal de voz.

4. Introduction to the wavelet transformSTFT Esta solución resulta en cierto grado satisfactoria, ya que genera información tiempo – frecuencia. Sin embargo, el método incorpora una limitante en la precisión determinada por el ancho de la ventana utilizada. Recordemos que al tomar solo un cierto número de muestras de la señal a transformar equivale a multiplicar nuestra señal por una ventana rectangular lo cual afectará el espectro de frecuencia real de esa porción de la señal. Haciendo la ventana más angosta ganamos en resolución en el tiempo pero perdemos resolución en la frecuencia. Este fenómeno es descrito por el principio de incertidumbre de Heisenberg, el cual establece que es imposible conocer exactamente la frecuencia y el tiempo exacto en que ocurre esta frecuencia en la señal.

5. Introduction to the wavelet transform La transformada Wavelet, nos referiremos a ella en su término en inglés por ser más conocido de esta forma en el ambiente de señales, que será tratada en este capítulo genera en forma natural la información tiempo – sescala (frecuencia), y resuelve el problema establecido en el principio de Heisenberg, mediante la utilización de una ventana modulada completamente escalable. Es por esto que algunos autores relacionan la transformada Wavelet a una partitura,

6. Introduction to the wavelet transform Figura 7. 3 Relación tiempo frecuencia generada por Wavelet.

7. Introduction to the wavelet transform Cabe aclarar que el surgimiento de la transformada Wavelet no desplaza a la transformada de Fourier en sus múltiples aplicaciones, sino que viene a fortalecer el conjunto de herramientas utilizadas en el área de procesamiento digital de señales.

8. Basic Concepts on Wavelets Antes de entrar de lleno a la teoría de Wavelet un comentario sobre sus inicios. Se menciona que tal vez lo que hoy conocemos como onduleta, del inglés wavelet, proviene del trabajo de Alfred Harr, 1909. Pero la presentación del concepto como tal en su forma teórica fue realizada en Francia, por Jean Morlet y el equipo de la Marseille Theoretical Physics Center bajo la dirección de Alex Grossmann.

9. Basic Concepts of TransformationDirect form

10. Basic Concepts of TransformationInverse form

11. Basic Concepts of TransformationTypes of transformation Las transformadas se pueden clasificar en tres tipos (Strang, 1999) 1. Sin pérdida (ortogonal) (matrices ortogonales y unitarias) 2. Invertible (biortogonal) (matriz invertible) 3. Con pérdida (no invertible) En el caso de las transformadas sin pérdida la señal transformada tiene la misma longitud que la original. Su transformada es proyectada sobre ejes perpendiculares. En el caso de las transformadas biortogonales, la longitud y ángulo de la señal cambian. Los ejes de proyección no necesariamente son perpendiculares, sin embargo no existe pérdida de información.

12. Basic Concepts of Transformation Un aspecto importante de las transformadas, como lo cometamos en la sección anterior, es que permiten resaltar información que no es muy obvia en un dominio de la señal.

13. Basic Concepts of Transformation

14. Basic Concepts of Transformation Ahora si fijamos un umbral en los valores obtenidos en la transformada, digamos un valor de 1, como los valores de y son menores a nuestro umbral podemos optar por eliminarlos, es decir ponerlos a cero y obtenemos una

15. Basic Concepts of Transformation Finalmente si utilizamos la modificada para reconstruir nuestra señal original obtenemos ,

16. a) b) c) d) Basic Concepts of Transformation Figura 7. 4 a) x(n) b) y(n) transformada, c) yM(n) modificada, d) xR(n) reconstruida.

17. Wavelet Analysis El análisis con onduletas permite analizar una señal de manera que podamos tener una venta grande para análisis de frecuencias bajas y ventanas cortas para frecuencias altas. Esto nos indica ya el esquema básico del análisis con onduletas. La ventan modulada escalable se desplaza a lo largo de la señal y se calcula el espectro para cada posición. Este procesos se repite varias veces pero cambiando la escala de la ventana, es decir haciéndola más corta o más larga. El resultado de este proceso será la descomposición de la señal bajo análisis en una representación tiempo – escala, note que no es tiempo –frecuencia, ya que el análisis se realiza mediante el cambio de escala de la ventana, sin embargo existe la relación con la frecuencia, siendo la escala opuesta a la frecuencia.

18. A m p l i t u d Tiempo F r e c u e n c i a Tiempo F r e c u e n c i a E s c a l a Amplitud Tiempo Wavelet Analysis Figura 7. 5 a) Señal en el tiempo, b) en la frecuencia, c) tiempo –frecuencia, d) tiempo – escala.

19. Wavelet Analysis Algunas ventajas que nos ofrecen las onduletas en el análisis de señales son: proporcionan información localizada, tendencias en la señal y discontinuidades

20. Wavelet Analysis Figura 7. 6 Ejemplo de información localizada. a) Región de placa, b) proyección de región, c) descomposición en wavelet.

21. Wavelet Analysis Una onduleta es una función limitada en duración y que tiene un valor promedio de cero. Esta es una de las diferencias que tenemos con respecto al análisis de Fourier. En Fourier las funciones bases de la transformada son funciones senoidales que son funciones periódicas, por lo tanto no limitadas en el tiempo, y tienen una forma regular. En cambio una función onduleta es normalmente irregular. En el análisis con onduletas, el análisis se lleva acabo mediante la descomposición de la señal sobre versiones desplazadas y escaladas de la onduleta original, denominada onduleta madre.

22. Wavelet Analysis Figura 7. 7 Ejemplos de funciones onduletas.a) Haar, b)sym2, c) db8 c) Mexhat.

23. Wavelet Analysis Algunos puntos de comparación entre el análisis con onduletas y un análisis con Fourier i)En Fourier una vez que se definen las bases ortogonales ya no hay posibilidad de cambios. En Wavelet la onduleta base o madre se puede escalar. ii)En Fourier no hay un análisis localizado ya que las funciones ortogonales tiene extensión infinita. En Wavelet la duración de la onduleta es finito y se puede reducir lo suficiente dando la posibilidad de análisis de discontinuidades. iii)En la STFT se utilizan ventanas para el análisis las cuales truncan las funciones ortogonales. Como el análisis es realizado con una misma ventan la resolución del análisis es constante en el plano tiempo – frecuencia. En cambio en Wavelet la onduleta puede ser extendida o compactada para capturar distintos aspectos de la señal bajo análisis generando un análisis mutltiresolución.

24. Continuous Wavelet Transform La transformada Wavelet continua, CWT, por sus siglas en inglés, es la descomposición de la función en un conjunto de funciones bases , familia de onduletas . donde es la variable de escala y la variable de corrimiento. El resultado de la CWT son los coeficientes de las onduletas, , que son función de la variable de escala y la variable de corrimiento. Para seguir el esquema de otras transformadas, la definición de la transformada inversa es

25. Continuous Wavelet Transform Las onduletas se generan de la onduleta madre mediante su escalamiento y traslación:

26. Continuous Wavelet TransformScaling Figura 7. 8 Efecto de escalamiento en una función.

27. Continuous Wavelet TransformScaling Figura 7 9 Efecto de escalamiento en una onduleta.

28. Continuous Wavelet TransformShifting Figura 7. 10 Corrimiento de la onduleta.

29. Wavelet Properties Las onduletas poseen dos propiedades importantes, regularidad y admisibilidad. Las funciones cuadráticas integrables que satisfacen la condición de admisibilidad se pueden utilizar para analizar y después reconstruir una señal sin pérdida de información. La propiedad de admisibilidad implica que la transformada de Fourier de es cero para frecuencia cero (7.6) Esta característica en la frecuencia nos hace ver que las onduletas tienen un espectro parecido a un pasa bandas. Al mismo tiempo la ecuación (7.6) indica que la onduleta tiene un valor promedio de cero en el dominio del tiempo. Recordar que el valor de la transformada en frecuencia cero de una función es el valor promedio de la función en el tiempo. Además, si su valor promedio es cero entonces implica que es una onda que oscila.

30. Wavelet Properties La propiedad de regularidad se relaciona con el rápido decaimiento de la transformada de onduletas al disminuir la escala . Las condiciones de regularidad indican que la onduleta debe tener un comportamiento de suavizado y concentrado tanto en el tiempo como en la frecuencia.

31. Wavelet Analysis Tenemos pues, que la condición de admisibilidad nos garantiza la ondulación y regularidad se asocia con el decaimiento rápido necesario en la onduleta. Para que una función se acepte como una onduleta madre, o base, debe: i)Ser continua y absolutamente sumable. ii)Tener transformada de Fourier iii)Satisfacer las condiciones  Que stablece que la transformada Wavelet de un término constante es cero y que la integral es limitada

32. Computation of the Continuous Wavelet Transform • Seleccione una onduleta • Obtenga la correlación entre la onduleta y la parte inicial de la señal, este • será el coeficiente para la escala original, , de la onduleta. Si • tiene un valor alto indicará que la onduleta y la señal son muy similares. • 3. Traslade la onduleta a la derecha y repita el paso 2 para obtener un • nuevo coeficiente . • 4. Repita los pasos 2 y 3 hasta cubrir toda la señal. Al finalizar, los • coeficientes representarán a la señal en la escala . • 5. Ahora escale la onduleta, cambie a escala , y repita los pasos 2,3, y • 4. • 6. Repita los pasos 2,3,4 y 5 para todas las escalas.

33.  . . .  Computation of the Continuous Wavelet Transform Figura 7. 11 Ilustración del cálculo de la transformada Wavelet continua.

34. Computation of the Continuous Wavelet Transform Figura 7. 12 a) Señal en el tiempo, b) y c) coeficientes de la transformada Wavelet continua.

35. Discrete Wavelet TransformDiscrete wavelet

36. 3 2 1  Discrete Wavelet Transform Considerando el efecto de escalamiento sobre la onduleta y usando propiedades de Fourier, tenemos que la compresión en el tiempo corresponde a una expansión y corrimiento en la frecuencia

37. c  1 2 Discrete Wavelet Transform Podemos notar que cada onduleta en la frecuencia es un filtro pasa banda, por lo tanto un conjunto de onduletas dilatadas generarán un banco de filtros. Cada filtro tendrá un factor de fidelidad Q constante. Este factor Q corresponde a la razón entre la frecuencia central del espectro de la onduleta, c, y el ancho del espectro, (1, 2), Figura 7.15. Como característica tendremos que todos los filtros tendrán la misma Q. Figura 7. 15 Pasa banda con factor Q.

38.  3 2 1  Discrete Wavelet Transform Cada vez que la onduleta es expandida en el tiempo por un factor de 2, el ancho de banda de su espectro se reduce a la mitad. Entonces ¿Cómo lograremos cubrir el espectro hacia la frecuencia cero?¿Se requerirá un número infinito de onduletas?. La solución es no tratar de resolver este problema con las onduletas si no utilizar un pasa bajas. Este filtro pasa bajas corresponde a la función denominada función de escalamiento o filtro de promediado, , Figura 7.16. Figura 7. 16 Función de escalamiento, pasa bajas.

39. Discrete Wavelet Transform Después del análisis anterior, podemos ver el análisis con onduletas como el efecto de pasar una señal a través de un banco de filtros, donde las salidas de los filtros son los coeficientes de las funciones de las onduletas y la función de escalamiento.

40. Discrete Wavelet Transform Forma de multiresolución o relación de escala –dos esta ecuación indica que la función de escalamiento a cierta escala puede expresarse en términos de las funciones de escalamiento en la siguiente escala menor. Los factores se definirán más adelante.

41. Discrete Wavelet Transform Lo anterior manifiesta una relación entre la función de escalamiento y las onduletas que intervienen en el análisis. Por ejemplo una nueva función de escalamiento puede sustituir a un conjunto de onduletas, por lo que podemos expresar las onduletas en términos de las funciones de escalamiento en la siguiente escala. Por ejemplo la onduleta en el nivel j será los factores se definirán más adelante.

42. Discrete Wavelet Transform Como ya tenemos una relación entre las onduletas y la función de escalamiento entonces podemos establecer la descomposición de la señal en términos de la función de escalamiento dilatada y trasladada como podemos realizar la transformación de onduletas sin tener que utilizar las onduletas. Lo que queremos decir es que la transformación mediante onduletas se puede ver como una transformación mediante codificación por bandas.

43. Discrete Wavelet Transform La señal también se puede expresar mediante la combinación de la función de escalamiento y las onduletas para una escala j-1, como Los coeficientes y se pueden obtener mediante el producto escalar si la función de escalamiento y la onduleta son ortogonales

44. Discrete Wavelet Transform Si se sustituyen y por versiones escaladas y trasladadas de se llega a la obtención de los coeficientes y mediante

45. Discrete Wavelet Transform Como los coeficientes provienen de la parte del pasa bajas los factores forman un filtro pasa bajas. De iguala manera, los coeficientes provienen del pasa altas, por lo que los factores forman un filtro pasa altas. Es por esto que en el análisis con onduletas se acostumbra hablar de las aproximaciones y los detalles, donde las aproximaciones corresponden a las escalas altas, frecuencias bajas de la señal bajo análisis y los detalles corresponden a las escalas bajas, componentes de frecuencias altas en la señal.

46. Discrete Wavelet Transform Este análisis nos lleva ahora a ver que la transformada Wavelet discreta, la cual es computacionalmente calculable, se puede obtener mediante la aplicación iterada de un banco de filtros digitales, donde los coeficientes definen el filtro de escalamiento y los el filtro de la onduleta.

47. g(k) 2 h(k) 2 j-1 j j-1 Discrete Wavelet Transform Debido a que en ambas ecuaciones los filtros tienen un paso de 2 con respecto a la variable k. Esto resulta en que solo la mitad de los son usados, dando como resultado que la razón de datos de salida es igual a la de entrada. Figura 7. 17 Propiedad de submuestreo. Esta propiedad de muestreo también resuelve la situación de cómo seleccionar el ancho del espectro de la función de escalamiento, ya que en cada iteración del banco de filtros el número de muestras para la siguiente etapa es reducida a la mitad de manera que al final terminamos con una sola muestra, al llegar a este punto será la culminación del ancho del espectro de la función de escalamiento. En realidad no hay que llegar hasta este punto extremo, lo usual es que en el momento en que el número de muestras llegue a ser menor que la longitud del filtro de escalamiento o que el filtro de la onduleta, el proceso se detiene.

48. Pasa Altas D f Pasa Bajas A One Level wavelet Analysis Figura 7. 18 Transformación Wavelet, aproximaciones y detalles.

49. 2 Ds N/2 coeficientes N muestras f Pasa Bajas As 2 N/2 coeficientes Pasa Altas One Level wavelet Analysis Figura 7. 19. Propiedad de submuestreo de los filtros.

50. One Level wavelet Analysis Figura 7. 20 a) Señal original, b) Aproximación, c) Detalles.