1.3.2 函数极值与导数

1. 1.3.2函数极值与导数

2. ①求 ②令 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. 知识回顾: 用“导数法” 求单调区间的步骤: ③求单调区间 注意：函数定义域

3. 问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间 变化的函数 的图象 归纳: 函数 在点 处 ,在 的附近, 当 时,函数h(t)单调递增， ; 当 时,函数h(t)单调递减, 。 单调递减 单调递增

4. (图二) （1）函数 在点 的函数值与这些点 附近的函数值有什么关系? （2）函数 在点 的导数值是多少? （3）在点 附近, 的导数的符号有 什么规律? 探究 (图一) 问题：

5. (图二) 探究 极大值f(b) 极小值f(a) (图一) 点a为函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 点b为函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称极值点， 极大值和极小值统称为极值. 思考：极大值一定大于极小值吗？

6. 随堂练习 （2）如果把函数图象改为导函数 的图象? （1）如图是函数 的图象,试找出函数 　　的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？ 答： 1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。 2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x) 的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。

7. 例4：求函数 的极值. 解:∵ ∴ 令 解得x=2,或x=-2. 下面分两种情况讨论: （1）当 ，即x＞2,或x＜-2时; （2）当 ，即-2 ＜ x＜2时。 当x变化时， 的变化情况如下表： ∴当x=-2时, f(x)的极大值为 当x=2时, f(x)的极小值为

8. y f (x)x3 O x • 若寻找可导函数极值点,可否只由f(x)=0求得即可? • 探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点? f(x)=3x2当f(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点. f(x0)=0 x0是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0是函数f(x)的极值点 f(x0)=0 注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

9. y x 0 归纳：求函数y=f(x)极值的方法是: (最好通过列表法) 解方程 ，当 时： （1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ， 那么 是极大值； （2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ， 那么 是极小值 B 练习： 下列结论中正确的是（ ）。 A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0, 那么 f(x0)是极大值。 C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极大值。 Ｄ、极大值一定大于极小值。

10. 解:∵ ∴ 令 ，得 ，或 下面分两种情况讨论： （1）当 ，即 时； （2）当 ，即 ，或 时。 当 变化时， 的变化情况如下表： 巩固练习： 求函数 的极值 ∴当 时, 有极小值，并且极小值为 当 时, 有极大值，并且极大值为

11. 解：（1） ∵ 在 取得极值,∴ 即 解得 ∴ （2） ∵ ， 由 得 ∴ 的单调增区间为 由 得 的单调减区间为 思考：已知函数 在 处取得极值。 （1）求函数 的解析式（2）求函数 的单调区间

12. 函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ） A、 或 B、 或 C、 D、 以上都不对 解:由题设条件得： 解之得 随堂练习 C ， 注意代入检验 注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

13. 课堂小结: 今天我们学习函数的极值,并利用导数求函数的极值 一、方法: (1)确定函数的定义域 (2)求导数f'(x) (3)求方程f'(x)=0的全部解 (4)检查f'(x)在f'(x)=0的根左.右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值 二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题 作业： P32 5 ① ④

14. （2006年天津卷)函数 的定义域为开区间 导函数 在 内的图像如图所示，则函数 在开区间 内有（ ）个极小值点。 A.1 B.2 C.3D. 4 f(x) <0 f(x) >0 f(x) =0 随堂练习 A 注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别