Množina prirodzených čísel N

1. Mgr. Jozef Vozár 2010 Množina prirodzených číselN

2. Sú to pravdepodobne najdlhšie používané čísla. Používajú sa na určenie počtu vecí, ľudí, zvierat ... . V tejto množine sú definované dve binárne operácie „+“ a „.“ V množine neexistuje neutrálny a inverzný prvok pre sčítanie a tiež ani inverzný prvok pre násobenie. V obmedzenej miere možno používať aj „opačné“ operácie „-“ a „:“ . Úvodné poznámky

3. Peanove axiómy: Existuje najmenšie prirodzené číslo 1 (0). Na množine prirodzených čísel je definovaná unárna operácia "nasledovník", označovaná S(a) = a+1. Neexistuje žiadne prirodzené číslo, ktorého nasledovníkom je 1 (0). Rôzne prirodzené čísla majú rôznych nasledovníkov. (ak a ≠ b, potom S(a) ≠ S(b)). Ak číslo 1(0) spĺňa nejakú vlastnosť a súčasne ju spĺňa každý nasledovník prirodzeného čísla, potom túto vlastnosť spĺňajú všetky prirodzené čísla (princíp matematickej indukcie). Jedna z možností konštrukcie

4. Množina N má reláciu „=„ a „<„ a tiež má aj najmenší prvok. Množiny s takýmito vlastnosťami sa nazývajú „dobre usporiadané množiny“. Množina N patrí medzi množiny nekonečné, ale spočítateľné. Vlastnosti

5. Ak prvky N umiestnime na číselnej osi, tak je vidieť, že tvoria množinu izolovaných bodov Grafické znázornenie

6. V N je možné používať niektoré vzorce: 1) Vzorce z algebry

7. Princíp matematickej indukcie vychádza z Peanovýchaxiómov a mierne upravený vyzerá takto: 1 je najmenšie prirodzené číslo Ak n je prirodzené číslo, potom aj n+1 je prirodzené číslo Matematická indukcia

8. Používa sa v množinách, v ktorých platí princíp matematickej indukcie na dôkaz viet typu: Pre každé n platí V(n) Overíme platnosť V(n0), pre najmenšie možné n0 . Dokážeme vetu: Ak V(n) potom V(n+1) Vyslovíme záver V(n) platí pre všetky n. Dôkaz matematickou indukciou

9. Aj keď operácia delenie nemá v N veľmi dobré vlastnosti, predsa len sa v praxi často využíva. Pre ľahšie rozoznávanie deliteľnosti prirodzených čísel niektorými, často používanými deliteľmi boli objavené kritériá pre deliteľnosť: Deliteľnosť v N

10. Znak pre deliteľnosť je „Ι“. Teda zápis 2Ιn čítame delí n, alebo n je deliteľné dvomi. Kritérium: Prirodzené číslo n je deliteľné dvomi, ak posledná číslica v jeho zápise je z množiny {0, 2, 4, 6, 8} Pr.: 2 Ι 128, 2 Ι 346, 2 Ι 1200 Ale 2nedelí číslo 123. Deliteľnosť 2

11. Kritérium: Prirodzené číslo n je deliteľné tromi, ak súčet číslic, ktorými je zapísané je deliteľný tromi. Pr.: 3 Ι 27 lebo2+7=9 3 Ι 2001 lebo 2 + 0 + 0 +1 = 3 3 nedelí 257 lebo 2+ 5 + 7 = 14 (1+4=5) Deliteľnosť 3

12. Kritérium: Prirodzené číslo n je deliteľné štyrmi, ak jeho posledné dvojčíslie je deliteľné štyrmi Deliteľnosť 4

13. Kritérium: Prirodzené číslo n je deliteľné piatimi, ak jeho posledná číslica je končiace 0 alebo 5 Deliteľnosť 5

14. Kritérium: Prirodzené číslo n je deliteľné šiestimi, ak je súčasne deliteľné dvoma a troma zároveň Deliteľnosť 6

15. Kritérium: Prirodzené číslo n je deliteľné ôsmimi, ak jeho koncové trojčíslie je deliteľné ôsmimi Deliteľnosť 8

16. Kritérium: Prirodzené číslo n je deliteľné deviatimi, ak jeho ciferný súčet je deliteľný deviatimi Deliteľnosť 9

17. Kritérium: Prirodzené číslo n je deliteľné desiatimi, ak jeho posledná číslica musí byť 0 Deliteľnosť 10

18. Ku každému prirodzenému číslu n môžeme vytvoriť: Množinu násobkov {n,2n,3n,4n, …} je nekonečná Množinu deliteľov - je konečná Násobky a delitele

19. Najmenším spoločným násobkom prirodzených čísel a,b je také najmenšie prirodzené číslo n(a,b), ktoré je deliteľné súčasne obidvomi číslami a,b. Pr.: n(15,20)= 60 N(15)= {15,30,45,60,75,90,…} N(20)= {20,40,60,80,120,…} Je vidieť, že n(15,20) je prienik N(15) a N(20) Najmenší spoločný násobok

20. Najväčším spoločným deliteľom prirodzených čísel a,b je prirodzené číslo D(a,b), ktoré je zo všetkých spoločných deliteľov a,b najväčšie. Pr.: D(24,36) = 12 d(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24} d(36) = {1,2,3,4,6,9,12,18,36} d(24) d(36) = {1,2,3,4,6,12} Najväčší spoločný deliteľ

21. Prvočíslo je prirodzené číslo, ktorého jedinými deliteľmi sú 1 a ono samo. Prirodzené čísla, ktoré nie sú prvočíslami sa s výnimkou čísla 1 nazývajú zložené čísla. Čísla 0 a 1 nie sú považované ani za prvočísla ani za zložené čísla. Každé prirodzené číslo väčšie ako 1 je buď prvočíslom, alebo zloženým číslom. Prvočísla a zložené čísla

22. Každé prirodzené číslo sa dá jediným spôsobom rozložiť na súčin mocnín prvočísel n = (p1)a.(p2)b . ... .(pk)x kde pi sú prvočísla, a a,b,..x sú prirodzené čísla Základná veta aritmetiky prirodzených čísel

23. Najmenší spoločný násobok n(a,b) dvoch čísel dostaneme rozložením oboch čísel na ich delitele, z väčšieho vyberieme všetky delitele a doplníme ich tými deliteľmi z druhého čísla, ktoré sa medzi nimi nenachádzajú a všetky ich spolu vynásobíme. Napríklad 10 a 15: 10 = 2x5 15 = 3x5 Najväčšie je 15, takže vezmeme 3 a 5 a pridáme k nemu neopakujúce sa číslo, v našom prípade 2. Vynásobíme ich a máme výsledok. n(10,15) = 2x3x5 = 30 n(16,6): rozklad 16: 16 = 2x8 = 2x2x4 = 2x2x2x2= 24 rozklad 6 : 6 = 2x3 n(16,6) = 2x2x2x2 x 3 = 48 n(129,162): Rozklad 129: 129 = 3x43 Rozklad 162: 162 = 2x81 = 2x3x3x3x3 n(129,162) = 2x3x3x3x3 x 43 = 2x 34 x43 = 6966 n(a,b) pomocou prvočísel

24. Najväčší spoločný deliteľ dvoch alebo viacerých čísel získame tak, že z prvočíselných rozkladov čísel vyberieme tie prvočísla, ktoré sa vyskytujú v každom rozklade aspoň raz, a to s najnižšou mocninou každého z prvočísel, ktorá sa v rozkladoch vyskytuje. Tieto mocniny prvočísel medzi sebou vynásobíme. Napríklad 10 a 15:10 = 2x5 , 15 = 3x5Vidíme, že sa v týchto číslach opakuje len 5 (v oboch číslach len raz). Preto NSD(10,15) = 5 Napríklad 100 a 36:100= 2x2x5x5 = 22x 52 , 36 = 2x2x3x3 = 22x32Aspoň raz sa vyskytuje len 2, a to 2-krát. Preto NSD (100,36) = 4 D(a,b) pomocou prvočísel