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工程数学 《 复变函数 》 教案

工程数学 《 复变函数 》 教案. 班级： 物理学与电子信息工程学院 专业： 电子信息工程、应用电子技术 层次： 本科、专科 学时： 25 学时. 第一章 复数与复变函数. 教材及主要参考书： 《 复变函数 》《 复变函数 . 积分变换 》. 目的与要求：掌握 复变函数的基本概念、极限和连续的概念. 教学内容与时间安排　 6 学时　 教学方法：讲授与提问结合 教学手段：多媒体 PPT 软件. 教学重点： 极限和连续的概念 教学难点：映射. 第一节 复数及其代数运算. 一、复数的概念. 二、复数的代数运算. 三、小结与思考. 一、复数的概念.

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  1. 工程数学《复变函数》教案 班级： 物理学与电子信息工程学院 专业： 电子信息工程、应用电子技术 层次： 本科、专科 学时： 25学时

  2. 第一章 复数与复变函数 教材及主要参考书：《复变函数》《复变函数.积分变换》 目的与要求：掌握复变函数的基本概念、极限和连续的概念 教学内容与时间安排　6学时　 教学方法：讲授与提问结合 教学手段：多媒体PPT软件 教学重点：极限和连续的概念 教学难点：映射

  3. 第一节 复数及其代数运算 一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考

  4. 一、复数的概念 1. 虚数单位: 对虚数单位的规定:

  5. 虚数单位的特性: ……

  6. 2.复数:

  7. 例1 解 令

  8. 两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等. 复数 z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.

  9. 二、复数的代数运算 1. 两复数的和: 2. 两复数的积: 3. 两复数的商:

  10. 4. 共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. 例2 解

  11. 5. 共轭复数的性质: 以上各式证明略.

  12. 例3 解

  13. 例4 解

  14. 例5 解

  15. 例6 解

  16. 例7 证

  17. 例8 解

  18. 三、小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.

  19. 思考题 复数为什么不能比较大小？

  20. 思考题答案 由此可见, 在复数中无法定义大小关系. 放映结束，按Esc退出.

  21. 第一章全部作业：第31页1， 2， 3， 4.6， 7.6，10， 13， 14.1、14.2， 21，23，26.2，26.4，27

  22. 第二节 复数的几何表示 一、复平面 二、复球面 三、小结与思考

  23. 一、复平面 1. 复平面的定义

  24. 2. 复数的模(或绝对值) 显然下列各式成立

  25. 3. 复数的辐角 说明 辐角不确定.

  26. 辐角主值的定义:

  27. 4. 利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.

  28. 5. 复数和差的模的性质

  29. 6.复数的三角表示和指数表示 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 欧拉介绍 复数可以表示成 复数的指数表示式

  30. 例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三角表示式为

  31. 指数表示式为 故三角表示式为 指数表示式为

  32. 故三角表示式为 指数表示式为

  33. 例2 解 (三角式) (指数式)

  34. 例3 解

  35. 例4 证

  36. 两边同时开方得

  37. 例5 证

  38. 两边平方, 并化简得 下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.

  39. 例6 解 所以它的复数形式的参数方程为

  40. 例7 证

  41. 两边同时平方,

  42. 例8 求下列方程所表示的曲线: 解

  43. 化简后得

  44. 二、复球面 1. 南极、北极的定义

  45. 2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.

  46. 3. 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.

  47. 三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面. 注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点．无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈．

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