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值有十分密切的联系；故以下以二元函数为例用多元函

§ 8.8 多元函数的极值. 在现代经济管理中，有许多最优化问题属于多元函. 数的极值和最值问题 . 同一元函数类似，其最值也与其极. 值有十分密切的联系；故以下以二元函数为例用多元函. 数微分法先来讨论多元函数的极值，再讨论多元函数的. 最值. 多元函数极值问题有两种基本类型 ( 以二元函数为例 ). 类型 Ⅰ ：讨论 z=ƒ ( x , y ) 的极值 —— 无条件极值. 类型 Ⅱ ：讨论 z=ƒ ( x , y ) 在约束条件 φ ( x , y ) = 0 下的极值 ——. 条件极值. 一 . 无条件极值. 的某个邻域内有定义 ,.

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值有十分密切的联系；故以下以二元函数为例用多元函

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  1. §8.8 多元函数的极值 在现代经济管理中，有许多最优化问题属于多元函 数的极值和最值问题.同一元函数类似，其最值也与其极 值有十分密切的联系；故以下以二元函数为例用多元函 数微分法先来讨论多元函数的极值，再讨论多元函数的 最值. 多元函数极值问题有两种基本类型(以二元函数为例) 类型Ⅰ：讨论z=ƒ(x,y)的极值——无条件极值 类型Ⅱ：讨论z=ƒ(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的极值—— 条件极值

  2. 一.无条件极值 的某个邻域内有定义, 定义10设函数z=ƒ(x,y)在点 若对于其相应去心邻域内的所有点(x,y)，恒有 函数的极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点统称为极值点. 注1与一元函数类似，函数的极值概念是“局部”概念： 与函数极值比较大小的，只是极值点邻近各点的函数值.

  3. 定理8(极值存在的必要条件) 若函数ƒ(x,y)在点 处有极值,且在该点的偏导数存在,则必有 处有极值， 证 因二元函数ƒ(x,y)在点 在点 处也 故固定 时有一元函数 一定有同一极值，故 定义11能使 同时成立的点 称为函数ƒ(x,y)的驻点.

  4. 在偏导数存在条件下,极值点必为驻点. 注2由定理8知： 如点(0,0)是函数 但驻点却不一定是极值点. 的驻点,又是极小值点z(0,0)=0; 的驻点,但却不是极值点. 但点(0,0)是函数 (因z(0,0)=1,而 z(0,y)>1, z(x,0)<1). 怎样判断驻点 是极值点呢？ 同一元函数一样，有如下充分条件： 的某邻域内 定理9 (充分条件) 若函数z=ƒ(x,y)点 是驻点.令 有连续的二阶偏导数，且

  5. 其证明因用到二元一阶泰勒公式等知识，在此略去 . (1,0),(1,2),(－3,0),(－3,2).

  6. 则在点(1,0)处有A=12,B=0,C=6; 则在点(1,2)处有A=12,B=0,C=−6,从而∆>0,故ƒ(1,2)非极值. 则在点(−3,0)处有A=−12,B=0,C=6,从而∆>0,故ƒ(−3,0)非 极值. 则在点(−3,2)处有A=−12,B=0,C=−6,从而∆<0,且A<0故有 极大值ƒ(−3,0). 故此函数的极大值点为(−3,2)，极小值点为(1,0).

  7. 解 方程两边微分得 4xdx+4ydy+2zdz+8zdy+8ydz－dz=0

  8. 故z=z(x,y)在驻点(0, −2)处有极小值z=1. 故z=z(x,y)在驻点(0, 16/7)处有极大值z=−8/7.

  9. 注3 在讨论函数极值问题时，也会遇到函数在个别点 但它们也可能是函数的极值点； 处偏导数不存在的情况； 只是此时定理9失效，只能用定义10给予判定.如函数 即z(0,0)=1为极大值.

  10. 二. 二元函数的最值 定义12设函数z=ƒ(x,y)在区域D上有定义且 若对任意的(x,y)∈D，恒有 函数的最大值、最小值统称为最值. 使函数取得最值的点统称为最值点. 注4极值与最值的区别： 函数z=ƒ(x,y)的极大(小)值是函数ƒ在D(ƒ)的某个邻域内的 最大(小)值；而ƒ的最大(小)值是相对整个区域D来说的.

  11. 从几何角度而言： 函数ƒ的极大(小)值是它所对应的曲面z=ƒ(x,y)在该邻域内 的最高(低)点的竖坐标. 而ƒ的最大(小)值是它所对应的曲 面z=ƒ(x,y)在整个区域D上的最高(低)点的竖坐标. 故多元函数的最值点, 只可能是极值点或边界点. 故欲求闭区域D上多元函数的最值,只须先求出ƒ(x,y)在D 内全部驻点的函数值、一阶偏导不存在的点的函数值以 及区域D的边界上的最值, 再比较大小, 其最大者为最大 值,最小者为最小值. 但此法要求ƒ在区域D的边界上的最值,就是一个相当不 易解决的问题.

  12. 实际问题中,通常用下述原则来确定函数的最值:实际问题中,通常用下述原则来确定函数的最值: (1).若问题本身有最大(小)值且驻点唯一,则该驻点必为 最大(小)值点. (2).若ƒ(x,y)在驻点处有极大(小)值且驻点唯一,则该驻点 必为最大(小)值点. 例31 建筑容积一定的矩形封闭食用水池,问怎样设计才 能使建筑材料最省? 解 设此水池的长、宽、高分别为x、y、z,设容积为V,则 z=V/xy,从而其表面积为S=2(xy+yz+xz) (x>0、y>0)

  13. 由题知使材料最省,只须表面积最小. 时, 而S(x,y)仅有一个驻点,故当 S有最小值,从而所用材料最省.

  14. 例32某厂生产甲产品x吨,乙产品y吨时,总成本为 当甲、乙产量各为多少吨时,总成本C最低? 由题知最低成本总是存在的.而C(x,y)仅有一个驻点, 故(6,20)就是函数C的最小值点.即当生产甲产品6吨,乙产 品20吨时,总成本C达到最小值.

  15. 三.条件极值 前面研究的极值问题,除了自变量须在定义域内取值 外,无其它限制条件;但在实际中遇到的大多极值问题,除 了自变量须在定义域内取值外, 还对各自变量有一定的约 束条件. 我们常将前者称为无条件极值,后者称为条件极值. 条件极值的典型形式是: 在约束条件φ(x,y)=0下,讨论函数z=ƒ(x,y)的极值. 其解法有两种:代入法和拉格朗曰乘数法.

  16. 设z=ƒ(x,y)在D上具有连续偏导数,又若φ(x,y)在D上也设z=ƒ(x,y)在D上具有连续偏导数,又若φ(x,y)在D上也 具有连续偏导数,且 则由定理6知方程φ(x,y)=0 确定了一个可微函数y=ψ(x),且其导数为 1.代入法:将条件极值转化为无条件极值. 若能从φ(x,y)=0中解出y=ψ(x),则可将其代入z=ƒ(x,y) 中得,z=ƒ(x,ψ(x)); 从而原问题变成了讨论一元函数的无条件极值问题.

  17. 例33求函数 的自变量适合条件 φ(x,y)=x+y－2=0 的极大值. 显然z是x的一元函数，则 驻点x=1,对应的y=1. 此一元函数只有一个极大值. 故点(x,y)= (1,1)为原函数满足约束条件下的极大值点, 故 z=ƒ(1,1)=为极大值.

  18. 2.拉格朗曰乘数法:要想从φ(x,y)=0中解出y=ψ(x),很2.拉格朗曰乘数法:要想从φ(x,y)=0中解出y=ψ(x),很 不容易！ 但由一元函数z=ƒ(x,ψ(x))极值存在的必要条件，得 而极值点(x,y)还必须满足φ(x,y)=0,则方程组Ⅰ

  19. 上述确定条件极值问题的可能极值点的方法称为拉上述确定条件极值问题的可能极值点的方法称为拉 格朗曰乘数法. 注5方程组Ⅰ实际上就是函数F(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)对x,y 的一阶偏导数等于零和约束条件φ(x,y)=0构成的方程组； 故用拉格朗曰乘数法求条件极值时，可按下述步骤进行： (1).构造拉格朗曰函数： F(x,y)=ƒ(x,y)+λφ(x,y)； (2).求解方程组Ⅰ，得可能极值点； (3).判断.

  20. 实际问题中可根据问题本身的具体意义来判断是否实际问题中可根据问题本身的具体意义来判断是否 为极值点，并能得出是最大值点还是最小值点. 例34求周长为a而面积最大的长方形. 解 设长方形的长、宽分别为x、y,则其面积为S=xy. 问题变为在约束条件 2x+2y=a 下求函数S=xy的最大值. 则由方程组 令函数F(x,y)=xy+λ(2x+2y-a) 是最大值点. 因问题本身有最大值且驻点唯一,故 故周长为a而面积最大的长方形是边长等于 的正方形.

  21. 解 设所求点为(x,y),到直线2x+3y－6=0的距离为d,则 从而有方程组

  22. 因问题本身有最小值，故 为所求点. 例36某商品的生产函数为 其中Q为产品产 量, L为劳动投入,K为资本投入;又知资本投入价格为4, 劳动力投入价格为3,产品销售价格为p=2.求: (1).该产品利润最大时的投入和产出水平以及最大利润; (2).若投入总额限定在60个单位范围内,求此时取最大利 润时的投入及最大利润. 解 由题意知：成本函数为C(K,L)=4K+3L， 收益函数为R(K,L)=Qp=2Q，则

  23. 利润函数为 G(K,L)= R(K,L)−C(K,L)= (1).此问题属于无条件极值. 则最大利润为 (2).此问题属于条件极值.其约束条件为 C(K,L)=4K+3L=60 则可令函数F(x,y)=G(K,L)+λ(4K+3L−60)

  24. 则由方程组 注6类似地，可建立求三元函数u=ƒ(x,y,z)在约束条件 g(x,y,z)=0，h(x,y,z)=0 (约束条件 的个数应少于自变量的个数) 下的极值的拉格朗曰乘数法. 同学们课后可用用拉格朗曰乘数法去求解例31.

  25. 例37欲造一无盖的长方体容器，已知底部造价为 侧面 造价为 现想用36元造一容积为最大的容器， 求它的尺寸. 解 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,设容积为V,则 V=xyz(x>0,y>0,z>0),且约束条件为3xy+2(yz+xz)=36. 因xyz与lnx+lny+lnz同时在一点取得最大(小)值，则 令函数 F(x,y,z)=lnx+lny+lnz+λ( 3xy+2yz+2xz－36) 则由方程组

  26. 因问题本身有最大值，故(2,2,3)为最大值点. 故长方体的长、宽、高分别为2、2、3时， 长方体的 容积最大. 例38求 w=lnx+lny+3lnz在球面 上的 极大值(x>0,y>0,z>0),并利用此结论证明当a>0,b>0,c>0时， 恒有

  27. 则由方程组 因问题本身有极大值,则

  28. 注7 此例提供了一种证不等式的方法，即利用极值或 最值证明不等式； 当然此不等式也可利用函数凹凸性来证.

  29. 提示：令z=ƒ(x)=−lnx,可证它在(0,x)上是凹函数,从而有提示：令z=ƒ(x)=−lnx,可证它在(0,x)上是凹函数,从而有 两边取反对数得

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