Modélisation de valeurs extrêmes

1. Modélisation de valeurs extrêmes Université de Liège : octobre 2002 Daniel Justens HEFF/Cooremans Bruxelles

2. Positionnement • Utilisation des modèles mathématiques en finance, en gestion et en actuariat. • Ecarts entre les prévisions théoriques et le réel observé : non-adéquation du modèle ? • Cas particulier des valeurs extrêmes

3. Exemple 1 : rendements boursiers • Présentation du cas de l’indice DAX entre 1996 et 2000 : 902 observations journalières. • Moyenne observée : 0,00097151 • Ecart-type observé : 0,01458286 • Modélisation des rendements par une distribution normale ?

4. Rendements journaliers DAX entre 1996 et 2000

5. Aspect des queues de courbe

6. Valeurs centrales

7. Valeurs à droite

8. Distributions de Pareto-Lévy Vilfredo Pareto (1848 - 1923) • Sociologue, qui se consacre dès 1890 à une modélisation « pure » de l’économie qui selon lui doit s’étudier comme la physique. Paul Lévy (1886 - 1971) • Mathématicien, qui étudie les distributions stables vers 1930.

9. Retour aux sources Distributions de Pareto de base : pour x 1 et avec a > 0 On en tire :

10. Moments de la distribution • On vérifie que : lorsque n < a et que : lorsque n a • On en tire (a>2) :

11. Adaptation de la distribution • But : obtenir une fonction de répartition tendant vers 1 en + µ comme 1- x -aet vers 0 en - µ comme |x| - b(a et b > 0). • Idée : travailler avec les fonctions réciproques. En effet, il est facile de représenter la fonction g de R0+ dans R : g(x) = x -1/a - x 1/b

12. Représentation de y = x-1 -x1/2

13. Inversion des axes

14. Construction de la répartition • On a défini une fonction g(x) de manière implicite : x = g(x) -1/a - g(x) 1/b • Cette fonction g(x) a en - µ le comportement de |x|bet en + µ, le comportement de x -a. • Etudions la fonction :

15. Suite... • Cette dernière tend vers 0 en - µ comme |x|-b et vers 1 en + µ comme 1-x -a Conclusion : Forme implicite de la fonction de répartition

16. Cas particulier : a=b • Dans ce cas, on arrive aisément à une forme explicite. En effet, l’équation devient : x = g(x) -1/a - g(x) 1/a Posons g(x) 1/a = Y. L ’équation devient x =1/Y - Y ou encore : (x + Y)Y = 1 Y2 + x Y -1 = 0

17. Suite ... Y2 + x Y -1 = 0 dont la solution est évidente: On en tire :

18. Ajustements • Recherche ouverte : étude théorique de ces distributions avec une paramétrisation • Méthodes d’ajustements autres que moindre carrés de façon à privilégier les queues de courbe

19. Ajustements du DAX : a = 270

20. Ajustements : à gauche avec a = 220

21. Ajustements : à droite avec a = 270 Pareto normale

22. Exemple 2 : tarification automobile • “A priori” clustering and bonus-malus system • The “number of claims” distributions • The problem of the classical models

23. The mixed Poisson distributionsLet X be the number of claims occurring in a unit period.Let L be the risk parameter (expecting number of claims) with probability distribution U(l).We assume that for a given risk parameter l, the random variables pk(l) giving the number of claims follow a Poisson distribution.

24. Moments of mixed Poisson distributions • Mean : E[X] = E[L] • Variance VAR[X] = E[L] + VAR[L]

25. The model of Lemaire (1977) • The underlying distribution follows a Gamma distribution : • In this case, we have :

26. Mixed Poisson family Underlying distribution transition Probabilities Negative exponential Geometrical Erlang P-Erlang Inverse Gaussian P-inverse gaussian

27. Fitting the data (1) • The Belgian case :

28. Underlying distributions

29. Distributions tails

30. Fitting the data (2) • The Italian case :

31. Rational underlying distributions • Let us work with : • We also have :

32. Quadratic case • We put : so that we get : • Which gives :

33. Cubic case • We now put : • And compute :

34. The Belgian case

35. Graphically Negative binomial cubic . observations Quadratic

36. Distributions tails

37. The Italian case

38. Comparison of the models Negative binomial Cubic Quadratic

39. Conclusions • Difference between theoretical and practical point of view : problem of the infinite variance • Many other distributions possible • Mixed geometrical distributions • Open research