离散数学

1. 离散数学 武夷学院数学与计算机系教授 张廷枋 24

2. 第八章 树 8.1无向树 一、无向树的概念 定义 1：连通而不含回路的无向图称为 无向树，简称树。常用 T 表示树。 在树中度数为 1 的顶点称为树叶；度数 大于 1 的顶点称为分支点或内点。规定平凡 图也是树，叫做平凡树。

3. 第八章 树 8.1无向树 一、无向树的概念 定义 2：若无向图至少有两个连通分 支，每一个连通分支是树，则称此图为森 林。 若图 G 是森林，则森林 G 每个连通 分支都是树。 例：

4. 第八章 树 8.1无向树 二、无向树的性质 引理：设 是非平凡的有限 图，且无回路，则 G 至少有一个悬挂点 （即度数为 1 的点）。 证明： （如果 G 是树，则此引理即是说：非平凡 树至少有一片叶。）

5. 第八章 树 8.1无向树 二、无向树的性质 定理：设 是非平凡的 图， 则下述命题等价： （1）图 G 是树； （2）图 G 是无圈的且 m=n-1 ； （3）图 G 是连通的且 m=n-1 ； （4）图 G 中没有回路，但在任何两个不同顶 点之间增加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。

6. 第八章 树 8.1无向树 二、无向树的性质 定理：设 是非平凡的 图， 则下述命题等价： （5）图 G 连通，但是删去任何一边后便不再连通； （6）图 G 任意两个顶点之间存在唯一的路径。 证明：

7. 第八章 树 8.1无向树 二、无向树的性质 推论 1：在任何非平凡的无向 树 T 中至少有两片树叶。 证明： 推论 2：阶大于 2 的树必有割点。 证明： 例：

8. 第八章 树 8.2生成树 一、生成树 1. 生成树的定义 定义：若连通图 的生成子图是 一棵树，则称这棵树为 G 的生成树。 若 T 是 G 的生成树，T 中的边称 T 的树枝。 G 的不在生成树 T 中的边，即 中的边 称为补树边或弦。所有补树边的集合，即 称为 T 的补树，或生成树的 T 补，或 T 的余树，记为 。 例：

9. 第八章 树 8.2生成树 一、生成树 2. 生成树的性质 定理：无向图 G 具有生成树的充分必 要条件是 G 为连通图。 证明：

10. 第八章 树 8.2生成树 一、生成树 2. 生成树的性质 推论 1：无向连通图 G 有 n 个顶点和 m 条边，则边数 。 证明： 推论 2：无向连通图 G 中，一个回路和 任何一棵生成树的补至少有一条公共边。 证明：

11. 第八章 树 8.2生成树 一、生成树 2. 生成树的性质 推论 3：在无向连通图 G 中，一个边割 集和任何一棵生成树至少有一条公共边。 证明：

12. 第八章 树 8.2生成树 二、生成树的应用 1. 赋权图的最小生成树 定义 1：设 为 n 阶赋权图， 若 T 是 G 的一棵生成树，T 的所有边 e 的 权之和称为树 T 的权，记为 。

13. 第八章 树 8.2生成树 二、生成树的应用 1. 赋权图的最小生成树 定义 2：在连通的赋权图 G 的所有生成 树中，权最小的生成树 ，称为图 G 的一 棵最小生成树或最优支撑树，即 满足

14. 第八章 树 8.2生成树 二、生成树的应用 2. Kruskal 算法（避圈法） 设 n 阶连通的赋权图 ， ，Kruskal 算法是求赋权 连通无向图最小的生成树的一个有效算法， 又称为避圈法。每次选取 G 中一条与已选取 的边不构成回路的边，选取的边的总数为 n-1。步骤如下：

15. 第八章 树 8.2生成树 二、生成树的应用 2. Kruskal 算法（避圈法） （1）将 G 中 m 条边按权由小到大的顺序 排列为： ； （2）取 到 T 中； （3）在尚未检查过的边中从左到右依次检 查，若 与 T 中的边不能构成回路，则取 到 T 中，否则跳过； （4）反复做（3），直到所有边都已检查。

16. 第八章 树 8.2生成树 二、生成树的应用 2. Kruskal 算法（避圈法） 定理：由 Kruskal 算法产生的子图是 n 阶连通图 的最小生成树 T 。 证明：（略） 例：

17. 第八章 树 8.3有向树和根树 一、根树及其性质 1. 有向树定义 定义：若一个有向图 G 的基图是树，则 称这个有向图 G 为有向树。 （在所有的有向树中，根树最重要，所 以下面我们只讨论根树。）

18. 第八章 树 一、根树及其性质 2. 根树定义 定义：设一棵非平凡有向树 T ，若有一个顶 点的入度为 0 ，其余所有顶点的入度皆为 1 ，则 称 T 为根树。 入度为 0 的顶点称为树根；入度为 1 出度为 0 的顶点称为树叶；入度为 1 出度不为 0 的顶点 称为内点；出度不为 0 的顶点称为分支点，树根和内点都是分支点。

19. 第八章 树 一、根树及其性质 2. 根树定义 定义：在根树 T 中，从树根到 T 的任意顶点 的路径长度，称为该顶点 的层数；称层数 相同的顶点在同一层上；层数最大的顶点的层数 称为根树 T 的树高。 平凡树也称为根树。 例：

20. 第八章 树 8.3有向树和根树 一、根树及其性质 3. 根树中各顶点之间的关系 定义：在根树 T 中，若 到 有一条 路，则称 是 的祖先， 是 的后 代；若 是根树中的一条边，则称 是 的父亲， 是 的儿子；同一个分支 点的儿子叫兄弟。 例：

21. 第八章 树 8.3有向树和根树 一、根树及其性质 4. 有序树 定义：在根树 T 中，将层数相同的顶点都 标定次序，则称 T 为有序树。 例：

22. 第八章 树 8.3有向树和根树 一、根树及其性质 5. 根子树 定义：根树 T 中的任意顶点 及其他的 所有后代组成的点集导出的子图 称为 T 的以 为根的根子树。

23. 第八章 树 8.3有向树和根树 一、根树及其性质 6. m 叉树 定义：在根树 T 中，若每个分支点至多有 m 个儿子（若任意顶点的出度小于或等于m） 则称 T 为 m 叉树；若 m 叉树 T 是有序的， 则称它为 m 叉有序树 T 。

24. 第八章 树 8.3有向树和根树 一、根树及其性质 6. m 叉树 定义：若每个分支点都恰有 m 个儿子 （如果每个顶点的出度恰等于 0 或 m）， 则称 T 为完全 m 叉树；若它又是有序的，则 称它为 m 叉完全有序树 T 。

25. 第八章 树 8.3有向树和根树 一、根树及其性质 6. m 叉树 定义：若 m 叉树 T 的全部树叶位于同一 层次，则称 T 为正则 m 叉树；若它又是有序 的，则称它为 m 叉正则有序树 T 。

26. 第八章 树 8.3有向树和根树 一、根树及其性质 6. m 叉树 定义： m=2 时，m 叉树称为二叉树；二 叉有序树的每一个分支点 至多有两棵子 树，分别称为 的左子树和右子树。 （注意：以 为树根的子树包含 ，而 的左、右子树不包含 。） 例：

27. 第八章 树 8.3有向树和根树 一、根树及其性质 7. 定理：若 T 是完全 m 叉树，其树叶数为 t ,分支点数为 i ，则 证明： 例：

28. 第七章 图论 作业：P217-P218 , 习题八 8.2（只要画5阶即可）、 8.3、8.12、8.19、8.25 预习：第8章 §8.3

29. 谢谢！Thank you!