Доказательство геометрических теорем координатным методом

1. Доказательство геометрических теорем координатным методом Выполнил Балыбин Степан Научный руководитель: Заслуженный учитель РФ,к.п.н. Уласевич О.Н.

2. Цель: «Показать, что доказательство многих теорем координатным методом проще, чем доказательство геометрическим методом»

3. Докажем координатным методом теорему о средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. • Доказательство. • Пусть ABCD - трапеция, AD || BC, МК - средняя линия. Точку А примем за начало координат. Луч AD примем за положительную полуось абсцисс (рис.). Координаты вершин трапеции будут следующими: • А(0,0), D(X1, 0), С(X2,Y2), В(X3, У2), Тогда координаты точек М и К такие: M(X3/2,Y2/2), K((X1+X2)/2, Y2/2). Видим, что ординаты концов средней линии равны. Следовательно, средняя линия параллельна оси абсцисс. Поскольку основание трапеции лежит на оси абсцисс, то средняя линия параллельна основаниям. • Вычислим длины оснований и средней линии трапеции. AD=X1,ВС=X2-X3,МК=(X1+X2)/2 – X3/2=1/2*(X1+(X2-X3))=1/2*(AD+BC). Теорема доказана. y B(X3;Y2) C(X2;Y2) M K x А(0;0) D(X1;0)

4. Теорема Пифагора • Доказательство. • Пусть ABC – прямоугольный треугольник, угол А прямой. Точку А примем за начало координат. Луч AС примем за положительную полуось абсцисси луч AB примем за положительную полуось ординат (рис.). Координаты вершин треугольника будут следующими: • А(0,0), С(X1,0), В(0, Y1). • Вычислим длины сторон в квадрате: AB² =Y1², AC^2=X1², BC^2=Y1² +X1². видим, что BC² =AB² +AC. Теорема доказана. y B(0;Y1) x А(0;0) C(X1;0)

5. Теорема. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм. • Доказательство. • Пусть ABCD - данный четырехугольник. О - точка пересечения диагоналей (рис). • Решая задачи, доказывая теоремы координатным методом, важно наиболее удачно выбрать систему координат. При одном выборе коор­динатных осей решение задачи может оказаться простым, при другом - более сложным. y D(X3;Y3) C(X2;Y2) O x А(0;0) B(X1;0)

6. Теорема. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм. • Могут существовать и равноценные выборы системы. Выберем, например, вершину A за начало координат. За ось абсцисс возьмем прямую АВ с положительной полуосью АВ. За ось ординат примем перпендикулярную АВ прямую с положительной полуосью, лежащей в той же полуплоскости относительно прямой АВ, что и вершины С и D четырехугольника. Тогда координаты точек А и В будут следующими: • А(О,О), B(Х1,O). Пусть вершины С и D имеют координаты: С(Х2,Y2), D(Х3,У3). Поскольку точка О - середина отрезка АС то ее ордината будет равной Y2/2. Поскольку точка О - середина отрезка BD, то ордината точки О равна Y3/2. Следовательно, Y2/2=Y3/2, т. е. У2=УЗ. Поскольку ординаты точек С и D равны, то прямая CD параллельна оси абсцисс, что означает параллельность сторон АВ и CD данного четырёхугольника.

7. Теорема. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм. • Остается доказать параллельность сторон AD и BC. Это можно сделать по разному. x y 1) 2) y D(X3;Y3) C(X2;Y2) D(X2;Y2) C(X;0) O O B(0;0) А(0;0) B(X1;0) x А(X3;Y3)

8. Теорема. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм. • а) Выберем новую систему координат. За начало координат примем точку В. За ось абсцисс примем прямую BC с положительной полуосью BC. Осью ординат будет прямая, перпендикулярная ВС, проведенная через точку В (рис. 2). Доказательство параллельности ВС и AD проводится аналогично. • б) Параллельность BC и AD можно доказать, опираясь на первую систему координат (рис. 1). В этом случае рассуждаем так. • Поскольку точка О - середина отрезка АС, то ее абсцисса равна X2/2. Поскольку точка О - середина отрезка BD, то ее абсцисса равна (X3+X1)/2. Следовательно, X2/2=(X3+X1)/2. Если X3=0, то X2=X1, а потому отрезок BC параллелен оси ординат. Отрезок AD тогда лежит на оси ординат. Следовательно, отрезки ВС и AD параллельны. • Пусть X3≠0. Тогда X2≠X1, прямые AD и ВС не перпендикулярны оси абсцисс. Поэтому уравнение каждой из этих прямых может быть представлено в виде y=kx+q. Угловой коэффициент k для прямой AD равен Y3/X3, для прямой ВС равен Y2/(X2-X1). НО X3=X2-X1, а УЗ=У2, поэтому угловые коэффициенты равны. Значит, прямые AD и ВС параллельны.

9. Теорема. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. • Доказательство. • Пусть ABCD - данный параллелограмм. Выберем систему координат так, как это показано на рисунке 1). Обратимся к этому рисунку. Y3=Y2, так как прямая DC параллельна оси абсцисс. Координаты середины диагонали АС таковы: (X2/2,Y2/2). Координаты середины диагонали BD следующие: ((X1+X3)/2,Y3/2). Видим, что ординаты середин диагоналей равны. Докажем, что абсциссы середин диагоналей также равны, т. е. X2=X1+X3.

10. Теорема. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. • Если X3=0, то X2=X1, так как тогда сторона AD лежит на оси ординат, и потому сторона ВС перпендикулярна оси абсцисс. • Пусть X3≠О. Тогда уравнение прямых AD и ВС имеет вид y=kx+q. • В силу параллельности угловой коэффициент k у них один и тот же. Но угловой коэффициент прямой AD равен Y3/X3, а прямой ВС равен Y2/(X2-X1). Отсюда , X3=X2-X1, т. е. X2=X1+X3. Получили, что и абсциссы середин диагоналей равны. Середины диагоналей совпали. Следовательно, диагонали параллелограмма пе­ресекаются и точкой пересечения делятся пополам.

11. Вывод: «Многие теоремы доказываются проще, благодаря методу координат»

12. Источник • Семёнов Ефим Евстафьевич«ЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКА ГЕОМЕТРИИ»