ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ

1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Εκθετική Κατανομή, Κατανομή Poisson, Διαδικασίες Markov 04-4-2013

2. ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (1): Παράμετροι συστημάτων αναμονής • Ένταση φορτίου (traffic intensity) • Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή ρ = E{Χρόνος εξυπηρέτησης}/Ε{Χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων} = (1/μ)/(1/λ) = λ/μ (Erlangs) • Διεκπεραίωση πελατών – Ρυθμoαπόδοση (Throughput) γπελάτες/sec • Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή γ =< λ, γ < μ Για σύστημα χωρίς χώρο αναμονής γ=λ(1-Pbl), όπου Pblείναι η πιθανότητα να χαθεί ένας πελάτης επειδή βρήκε το σύστημα πλήρες (σε τηλεφωνικά δίκτυα χαρακτηρίζει το βαθμό ποιότητας- Grade of Service - GoS) (σε δίκτυα δεδομένων έχουμε Quality of Service – QoS)

3. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ • Επανάληψη (2):Παράμετροι συστημάτων αναμονής • Μέσος ρυθμός απωλειών, ποσοστό απωλειών, πιθανότητα απώλειας πελάτη • Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή Μέσος ρυθμός απωλειών: λ – γ Ποσοστό απωλειών: (λ-γ)/λ • Βαθμός χρησιμοποίησης εξυπηρετητή (server utilization) • Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή u = γ/μ

4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ • Επανάληψη (3): Παράμετροι συστημάτων αναμονής • Αριθμός πελατών (κατάσταση) n(t), στοχαστική ανέλιξη – χρονοσειρά(stochastic process, time series) • Μέσος αριθμός πελατών Ε{n(t)} • Μέσος χρόνος καθυστέρησης (average time delay) = Μέσος χρόνος αναμονής (waiting time) + Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης E(T) = E(W) + E(s)

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ • Παράμετροι συστημάτων αναμονής – Τύπος Little • n(t):Κατάσταση συστήματος αναμονής • nq(t): Αριθμός πελατών στην αναμονή • ns(t) : Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση • n(t) = nq(t) + ns(t) • E{n(t)} = E{nq(t)} + E{ns(t)} • Χρόνος καθυστέρησης: Τ = W + s Ε(Τ) = E(W) + E(s) • Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (ΤύποςLittle)

6. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ • Κατάταξη ουρών αναμονής A/S/N/K • A : Τύπος διαδικασίας εισόδου πελατών • S : Τύπος τυχαίας μεταβλητής χρόνου εξυπηρέτησης • Ν: Αριθμός εξυπηρετητών • Κ : Χωρητικότητα συστήματος αναμονής • Παραδείγματα • Μ/Μ/1: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 1 εξυπηρετητής, αλλά με άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια) • Μ/Μ/4/8: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 8 πελάτες: Μοντέλο κέντρου κλήσεων (call center) με 4 χειριστές – τηλεφωνητές, μέχρι 4 κλήσεις στην αναμονή.

7. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η εκθετική κατανομή • Μια τ.μ. Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ όταν: • Fχ(t) = 1-exp(-λt), fΧ(t) = λ exp(-λt) • E(Χ) =1/λ, var(Χ) = 1/λ2 • Ιδιότητα έλλειψης μνήμης • P[X>t+s/X>t]=P[X>s] • Κατανομή ελαχίστου μεταξύ ανεξάρτητων τ.μ. εκθετικά κατανεμημένων • Χ1: με παράμετρο λ1 • Χ2: με παράμετρο λ2 • Χ=min{Χ1,Χ1}είναι εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο λ = (λ1+λ1)

8. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ • Στοχαστικές διαδικασίες • Ανεξάρτητες διαδικασίες • Στάσιμες διαδικασίες • Διαδικασίες Markov • P[X(tn+1)=xn+1/X(tn)=xn,X(tn-1)=xn-1,…,X(t1)=X1]= =P[X(tn+1)=Xn+1/X(tn)=xn] • Εργοδικότητα • Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων: αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την επιπλέον ιδιαίτερη συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις • Διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων • Ανεξάρτητες αυξήσεις – Στάσιμες αυξήσεις

9. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η κατανομή Poisson: • nαφίξεις σε διάστημα Τ με πιθανότητα • Pn (T) = e –λT (λΤ)n / k ! • ET(n) = λT • VarT (n) = λΤ Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής

10. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ιδιότητες διαδικασίας Poisson: • Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με ρυθμό λ, είναι τ.μ εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ • Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poissonλ1, λ2 διαδικασία Poissonλ = λ1+ λ2 • Διάσπαση διαδικασίας Poissonλμε πείραμα Bernoullip, q = 1-p ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson λ1= p λ λ2= q λ