PC クラスタ上での連立一次方程式の解の精度保証

PCクラスタ上での連立一次方程式の解の精度保証PCクラスタ上での連立一次方程式の解の精度保証大石進一，荻田武史（早稲田大学）

概要 • 分散並列計算環境（PCクラスタ）において連立一次方程式の数値解の精度保証を行う • 並列計算用の数値計算ライブラリScaLAPACKを用いる • 大規模な問題（行列サイズ：最大1万次元）で高速かつシャープに精度保証する • 現状での問題点と解決に向けて

線形問題 非線形問題固有値問題連立一次方程式密行列疎行列高速・安定な数値計算ライブラリ PC: LAPACK(BLAS, ATLAS) スーパーコン: LAPACK, ScaLAPACK PCクラスタ: ScaLAPACK(MPI, PVM)

ScaLAPACKの構成 ScaLAPACK PBLAS Global Local LAPACK BLACS BLAS MPI, PVM ATLAS

連立一次方程式と精度保証(1) : 倍精度浮動小数点数の集合に対しを解く

連立一次方程式と精度保証(2) [1] S. Oishi and S. Rump (2000) [2] T. Ogita, S. Oishi and Y. Ushiro (2001)

LU分解を利用した精度保証 のとき，ならば LU分解の結果を利用して上限を高速に計算なら精度保証可能

数値実験 目的 • 行列乗算（PDGEMM）の性能評価 • 連立一次方程式の数値解の精度保証コンピュータ環境 • PC (Pentium III 800MHz, Memory 256MB) • 最大64台，LAN接続(Gigabit ether)

行列乗算（PDGEMM） • を計算 • PDGEMM(PBLAS)を使用 • DGEMM(BLAS)はATLASで高速化： 10000×10000 のランダム行列

行列乗算（PDGEMM）の性能

連立一次方程式の精度保証 • 係数行列の次元数： 100～10000 • 数値解の計算： PDGESV(ScaLAPACK) • 数値解の精度保証： LU分解を用いた高速精度保証法

連立一次方程式の数値解の精度保証

LU分解を用いたの上限の計算

参考文献 1) S. Oishi, S. Rump: Fast Verification of Solutions of Matrix Equations, Numer. Math., to appear (2001) 2) ScaLAPACK HomePage: http://www.netlib.org/scalapack/ 3) ScaLAPACK Tutorial（日本語版） http://phase.etl.go.jp/phase/lapack-j/ScaLAPACK/

PC クラスタ上での連立一次方程式の解の精度保証